二次根式教学案.docx

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二次根式教学案

第二十一章二次根式

教材内容

1．本单元教学的主要内容：

二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．

2．本单元在教材中的地位和作用：

二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．

教学目标

1．知识与技能

（1）理解二次根式的概念．

（2）理解（a≥0）是一个非负数，（）2=a（a≥0），=a（a≥0）．

（3）掌握·＝（a≥0，b≥0），=·；

=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）．

（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．

2．过程与方法

（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．

（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，并运用规定进行计算．

（3）利用逆向思维，得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．

（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．

3．情感、态度与价值观

通过本单元的学习培养学生：

利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．

教学重点

1．二次根式（a≥0）的内涵．（a≥0）是一个非负数；（）2＝a（a≥0）；=a（a≥0）及其运用．

2．二次根式乘除法的规定及其运用．

3．最简二次根式的概念．

4．二次根式的加减运算．

教学难点

1．对（a≥0）是一个非负数的理解；对等式（）2＝a（a≥0）及=a（a≥0）的理解及应用．

2．二次根式的乘法、除法的条件限制．

3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．

单元课时划分

本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：

21．1二次根式3课时

21．2二次根式的乘法3课时

21．3二次根式的加减3课时

教学活动、习题课、小结2课时

章节测试讲评2课时

21．1《二次根式

（1）》学案

课型:

上课时间：

课时：

学习内容：

二次根式的概念及其运用

学习目标：

1、理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．

2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．

学习过程

一、自主学习

（一）、复习引入

（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：

问题1：

已知反比例函数y=，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是___________．（，）．

问题2：

甲射击6次，各次击中的环数如下：

8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．（.）

（二）学生学习课本知识4、5页

（三）、探索新知

1、知识：

如、、，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，“”称为．

例如：

形如、、是二次根式。

形如、、不是二次根式。

2、应用举例例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．

解：

二次根式有：

；不是二次根式的有：

。

例2．当x是多少时，在实数范围内有意义

解：

由得：

。

当时，在实数范围内有意义．

（3）注意：

1、形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；

2、利用“（a≥0）”解决具体问题

3、要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数。

二、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展

例3．当x是多少时，+在实数范围内有意义

例4

（1）已知y=++5，求的值．（答案:

2）

（2）若+=0，求a2004+b2004的值．（答案:

）

三、巩固练习

教材P练习1、2、3．课本5页练习、8页第1题

四、课堂检测

（1）、简答题1．下列式子中，哪些是二次根式那些不是二次根式

-x

（2）、填空题

1．形如________的式子叫做二次根式．

2．面积为5的正方形的边长为________．

（3）、综合提高题

1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少

2．若+有意义，则=_______．

3.使式子有意义的未知数x有（）个．

A．0B．1C．2D．无数

4.已知a、b为实数，且+2=b+4，求a、b的值．

21．1《二次根式

（2）》学案

课型:

上课时间：

课时：

学习内容：

1．（a≥0）是一个非负数；2．（）2=a（a≥0）．

学习目标：

1、理解（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0），并利用它进行计算和化简．

2、通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．

教学过程

一、自主学习

（一）复习引入

1．什么叫二次根式

2．当a≥0时，叫什么当a<0时，有意义吗

（二）学生学习课本知识5、6页

（三）、探究新知

1、（a≥0）是一个数。

（正数、负数、零）

因为。

2、重点：

（a≥0）是一个非负数．

3、根据算术平方根的意义填空：

新课标第一网

（）2=_______；（）2=_______；（）2=______；（）2=_______；

同理可得：

（）2=2，（）2=9，（）2=3，（）2=，（）2=0，所以（）2=a（a≥0）

（4）例1计算

1、（）2=2、（3）2=3、（）2=4、（）2=

（5）注意：

1、（a≥0）是一个非负数；（）2=a（a≥0）及其运用．

2、用分类思想的方法导出（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出（）2=a（a≥0）．

二、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展

例2计算1．（）2（x≥0）2．（）23．（）2

例3在实数范围内分解下列因式:

（1）x2-3

（2）x4-4（3）2x2-3

三、巩固练习

（一）计算下列各式的值：

（）2=（）2=（）2=（）2=（4）2=

（二）课本P7、1

四、课堂检测

（一）、选择题

1．下列各式中、、、、、，二次根式的个数是（）．

A．4B．3C．2D．1

（二）、填空题

1．（-）2=________．2．已知有意义，那么是一个_______数．

（三）、综合提高题

1．计算

（1）（）2

（2）--（）2（3）（-3）2（4）

========

2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:

（1）5=

（2）=（3）（4）x（x≥0）=

3．已知+=0，求xy的值．

4．在实数范围内分解下列因式:

（1）x2-2

（2）x4-93x2-5

21．1《二次根式（3）》学案

课型:

上课时间：

课时：

学习内容：

＝a（a≥0）

学习目标：

1、理解=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．

2、通过具体数据的解答，探究=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．

教学过程

一、自主学习

（一）、复习引入

1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式；

2．（a≥0）是一个非负数；3．（）2＝a（a≥0）．

那么，我们猜想当a≥0时，=a是否也成立呢下面我们就来探究这个问题．

（二）、自主学习

学生学习课本知识6、7页

（三）、探究新知

1、填空：

根据算术平方根的意义，

=___；=___；=__；=___；=__；=___．

2、重点：

=a（a≥0）

例1化简

（1）

（2）（3）（4）

解：

（1）==

（2）==

（3）==（4）==

3、注意：

（1）＝a（a≥0）．

（2）、只有a≥0时，＝a才成立．

二、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展

例2填空：

当a≥0时，=_____；当a<0时，=_______，并根据这一性质回答下列问题．

（1）若=a，则a可以是什么数因为=a，所以a≥0；

（2）若=-a，则a可以是什么数因为=-a，所以a≤0；

（3）>a，则a可以是什么数因为当a≥0时=a，要使>a，即使a>a所以a不存在；当a<0时，=-a，要使>a，即使-a>a，a<0综上，a<0

例3当x>2，化简-．

三、巩固练习

教材P7练习2．P8习题第2题

四、课堂检测

（一）、选择题

1．的值是（）．A．0B．C．4

（二）、填空题

1．-=________．

2．若是一个正整数，则正整数m的最小值是________．

三、综合提高题

1．先化简再求值：

当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下：

甲的解答为：

原式=a+=a+（1-a）=1；

乙的解答为：

原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17．

两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．

2．若│1995-a│+=a，求a-19952的值．

（提示：

先由a-2000≥0，判断1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值）

3.若-3≤x≤2时，试化简│x-2│++。

21．2二次根式的乘除

（1）

课型:

上课时间：

课时：

学习内容

·＝（a≥0，b≥0），反之=·（a≥0，b≥0）及其运用．

学习目标

理解·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简

学习过程:

一、自主学习

（一）复习引入

1．填空：

（1）×=____，=____；×__

（2）×=____，=___；×__

（3）×=___，=___．×__

（二）、探索新知

1、学生交流活动总结规律．

2、一般地，对二次根式的乘法规定为

·＝．（a≥0，b≥0反过来:

=·（a≥0，b≥0）

例1．计算

（1）×

（2）×（3）3×2（4）·

========

例2化简

（1）

（2）（3）（4）（5）

==========

二、巩固练习

（1）计算：

①×②3×2③·

======

（2）化简:

;;;;

==========

（3）教材P11练习

三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展

（一）例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

（1）

（2）×=4××=4×=4=8

（二）归纳小结

（1）·＝=（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）及其运用．

（2）要理解（a<0,b<0）=，如=或==×．

四、课堂检测

（一）、选择题新课标第一网

1．若直角三角形两条直角边的边长分别为cm和cm，那么此直角三角形斜边长是（）．A．3cmB．3cmC．9cmD．27cm

2．化简a的结果是（）．A．B．C．-D．-

3．等式成立的条件是（）

A．x≥1B．x≥-1C．-1≤x≤1D．x≥1或x≤-1

（二）、填空题1．=_______．

2．自由落体的公式为S=gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．

三、综合提高题

1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米

21．2二次根式的乘除

（2）

课型:

上课时间：

课时：

学习内容:

=（a≥0，b>0），反过来=（a≥0b>0）及利用它们进行计算和化简．

学习目标:

理解=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．

教学过程

一、自主学习

（一）复习引入

1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．

2．填空

（1）=____，=____；规律：

______；

（2）=____，=____；______；

（3）=____，=____；_______；

（4）=____，=___．_______．

（二）、探索新知

一般地，对二次根式的除法规定：

=（a≥0，b>0）反过来，=（a≥0，b>0）

下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．

二、巩固练习

1、计算：

（1）

（2）（3）（4）

========

2、化简：

（1）

（2）（3）（4）

========

3、巩固练习

教材P14练习1．

三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展

1、例3．已知，且x为偶数，求（1+x）的值．

2、归纳小结

（1）本节课要掌握=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及其运用．

并利用它们进行计算和化简．

四、课堂检测

（一）、选择题

1．计算的结果是（）．A．B．C．D．

2．阅读下列运算过程：

，

数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，请化简的结果是（）．

A．2B．6C．D．

（二）、填空题

1．分母有理化:

（1）=______;

（2）=_____;（3）=______.

2．已知x=3，y=4，z=5，那么的最后结果是_______．

三、综合提高题

（1）·（-）÷（m>0，n>0）

二次根式的乘除（3）

课型:

上课时间：

课时：

学习内容

最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．

学习目标

理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．

学习过程

一、自主学习

（一）复习引入

1．计算

（1）==，

（2）==，（3）==

2．现在我们来看本章引言中的问题：

如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径的比是_________．

（二）、探索新知

观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：

1．被开方数不含分母；

2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

那么上题中的比是否是最简二次根式呢如果不是，把它们化成最简二次根式．

==.

例1．化简：

（1）;

（2）;（3）

======

例2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．

二、巩固练习

教材P14练习2、3

三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展

1、观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：

==-1，

==-，

同理可得：

=-，……

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算

（+++……）（+1）的值．

==

2、归纳小结

（1）．重点：

最简二次根式的运用．

（2）．难点关键：

会判断这个二次根式是否是最简二次根式．

四、课堂检测

（一）、选择题

1．将（y>0）化为最简二次根式是（）．

A．（y>0）B．（y>0）C．（y>0）D．以上都不对

2．把（a-1）中根号外的（a-1）移入根号内得（）．

A．B．C．-D．-

3．化简的结果是（）A．-B．-C．-D．-

二、填空题1．化简=_________．（x≥0）

2．a化简二次根式号后的结果是_________．

三、综合提高题

若x、y为实数，且y=，求的值．

二次根式的加减

（1）

课型:

上课时间：

课时：

学习内容：

二次根式的加减

学习目标：

1、理解和掌握二次根式加减的方法．

2、先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．

学习过程

一、自主学习

（一）、复习引入

计算．

（1）2x+3x；

（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a3

========

以上题目，是我们所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．

（二）、探索新知

学生活动：

计算下列各式．

（1）2+3

（2）2-3+5

====

（3）+2+3（4）3-2+

====

由此可见，二次根式的被开方数相同也是可以合并的，如2与表面上看是不相同的，但它们可以合并吗也可以．

3+=3+2=53+=3+3=6

所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．

例1．计算

（1）+

（2）+

========

例2．计算

（1）3-9+3

（2）（+）+（-）

=======

归纳：

第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；

第二步，将相同的最简二次根式进行合并．

二、巩固练习教材P19练习1、2．

三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展

1、例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值．

2、归纳小结

本节课应掌握：

（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；

（2）相同的最简二次根式进行合并．

重难点关键1．重点：

二次根式化简为最简根式．

2．难点关键：

会判定是否是最简二次根式．

四、课堂检测

（一）、选择题

1．以下二次根式：

①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（）．

A．①和②B．②和③C．①和④D．③和④

2．下列各式：

①3+3=6；②=1；③+==2；④=2，其中错误的有（）．

A．3个B．2个C．1个D．0个

二、填空题

1．在、、、、、3、-2中，与是同类二次根式的有________．

2．计算二次根式5-3-7+9的最后结果是________．

三、综合提高题

1．已知≈，求（-）-（+）的值．（结果精确到）

2．先化简，再求值．（6x+）-（4x+），其中x=，y=27．

二次根式的加减

（2）

课型:

上课时间：

课时：

学习内容：

利用二次根式化简的数学思想解应用题．

学习目标：

1、运用二次根式、化简解应用题．

2、通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题．

学习过程

一、自主学习

（一）、复习引入

上节课，我们已经学习了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：

第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，

（二）、探索新知

例1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：

几秒后△PBQ的面积为35平方厘米PQ的距离是多少厘米（结果用最简二次根式表示）

分析：

设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，根据三角形面积公式就可以求出x的值．

解：

设x后△PBQ的面积为35平方厘米．

则有PB=x，BQ=2x

依题意，得：

求解得：

x=

所以秒后△PBQ的面积为35平方厘米．

PQ=

答：

秒后△PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为5厘米．

例2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）

分析：

此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，只需知道这四段的长度．

解：

由勾股定理，得AB=

BC=

所需钢材长度为：

AB+BC+AC+BD==

二、巩固练习

教材P19练习3

三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展

1、例3．若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值．（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）

分析：

同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的根式；解：

首先把根式化为最简二次根式：

=

由题意得方程组：

解方程组得：

2、本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．

四、课堂检测

（一）、选择题

1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（）．（结果用最简二次根式）A．5B．C．2D．以上都不对

2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米．（结果同最简二次根式表示）A．13B．C．10D．5

（二）、填空题（结果用最简二次根式）

1．有一长方形鱼塘，已知鱼塘长是宽的2倍，面积是1600m2，鱼塘的宽是_______m．

2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为，那么该等腰直角三角形的周长是____．

（三）、综合提高题

1．若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值．

2．同学们，我们观察下式：

（-1）2=（）2-2·1·+12=2-2+1=3-2

反之，3-2=2-2+1=（-1）2

∴3-2=（-1）2∴=-1

求：

（1）；

（2）；（3）你会算吗

二次根式的加减（3）

课型:

上课时间：

课时：

学习内容：

含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．

学习目标：

1、含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．

2、复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．

学习过程

一、自主学习

（一）复习引入

1．计算

（1）（2x+y）·zx==

（2）（2x2y+3xy2）÷xy===

2．计算

（1）（2x+3y）（2x-3y）

（2）（2x+1）2+（2x-1）2

======

（二）、探索新知

如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢以上的运算规律是否仍成立呢仍成立．

例1．计算:

（1）（+）×

（2）（4-3）÷2

======

例2．计算

（1）（+6）（3-）

（2）（+）（-）

======

二、巩固练习

课本P20练习1、2．

三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展

1、例3．已知，X==2化简+，并求值．

解：

原式==+

==+

==（x+1）+x-2+x+2

==4x+2

当X==2时∴原式=4X2+2=10

2、、归纳小结

本节课应掌握二次根式的乘、除、乘