计算固体06_精品文档.ppt

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第六章热传导和热应力的有限元分析,许多工程结构在高温条件下运行，例燃气轮机，高速柴油机和核动力装置等温度场的存在使结构的材料性质发生变化和产生热应力这些结构往往因热应力导致破坏因此，研究结构在受热情况下的温度场和热应力成为结构分析中的一个重要课题,本章重点介绍不耦合的温度场和热应力计算问题对于不耦合的问题可以先计算温度场，在此基础上计算热应力.温度场有稳态（steady）温度场和瞬态（unsteady）温度场不随时间变化的温度场称为稳态温度场，也称定常温度场，随时间变化的温度场称为瞬态温度场，也称不定常温度场或非稳态温度场,6.1热传导问题的有限元分析,6.1.1导热的基本方程根据热传导理论，正交各向异性固体中导热的微分方程为,式中，oC为物体的瞬态温度，s为过程进行的时间，W/moC为材料三个主轴方向的导热系数，kg/m3为材料的密度，J/kgoC为材料的定压比热，W/m3为材料的内热源强度.这里假定材料的导热系数、密度和定压比热为常数，即与温度和时间无关.,假设物体的材料是各向同性的，即，导热方程化为,式中m2/s称为导温系数,为拉普拉斯算子,假设在物体中没有热源，则方程化为福里叶（Fourier）方程,假设物体处于稳态温度场，则方程化为泊松（Poisson）方程,在没有热源和处于稳态温度场肘，方程化为拉普拉斯（Laplace）方程,为了得到固体导热方程的唯一解，必须附加适当的边界条件和初始条件，边界条件有三类,1.第一类边界条件是指物体边界上的温度函数为已知用公式表示为,式中，为物体第一类边界条件的边界，为已知的边界温度（常数）,为已知的边界温度函数（随时间和位置而变）,2.第二类边界条件是指物体边界上的热流密度W/m2为已知，由于的方向就是边界面外法线的方向，用公式表示为,式中为物体第二类边界条件的边界,W/m2为已知的热流密度（常数），为已知的热流密度函数（随时间和位置而变）,应该注意，式中热流密度的方向是边界外法线方向，亦即热流量是从物体向外流出，因此,在计算分析时，热量从物体向外流出者值取正号，而热量向物体流入者值取负号,3.第三类边界条件是指物体边界上对流或幅射换热条件为已知对于对流换热条件，用公式表示为,式中为物体第三类边界条件的边界,是与物体接触的流体介质的温度,W/（m2.oC）为换热系数，与可以是常数，也可以是某种随时间和空间而变化的函数,如果和不是常数，则在数值计算中经常分段取其平均值作为常数值得注意的是，上式表示热流自物体向外流出，当热流自外界流入物体时，此式仍然正确,式中是两个相互幅射物体的黑度系数乘积，是与两幅射物体形状有关的平均角系数（形状因子），是斯杰潘-波尔兹曼（Stefan-Bolzman）常数，是幅射源的温度,对于幅射换热条件，用公式表示为,初始条件是指传热过程开始时物体整个区域中各点温度的已知值，用公式表示为,从导热的方程和边界条件可以看出，导热问题只有一个偏微分方程，只有一个温度作为未知变量，因此，导热问题实际上就是求解温度场问题,6.1.2稳态温度场的有限元解,假设物体内的温度场不随时间变化，那么就称为稳态温度场或定常温度场稳态温度场问题的基本方程为为,1.第一类边界条件,2.第二类边界条件,3.第三类边界条件,显然，在稳态温度场问题中不需要初始条件,在弹性理论中，建立有限元相关的公式可以用泛函的变分来达到最简单的泛函就是势能在用最小势能原理时，要预先满足位移的边界条件，这种条件在变分原理中称为固定边界条件，也称强加边界条件而外力边界条件是不必预先满足的，它可由变分而得到满足，因此，这个条件称为变分的自然条件,在热传导问题中，将第一类边界条件作为固定边界条件，则可用下列泛函的变分来导出基本方程和第二类和第三类边界条件,式中为第二类边界条件和第三类边界条件为已知的边界,现在对上式进行变分,因为在第一类边界上要预先满足温度边界条件，即在此边界上，所以上式中的第一个边界积分等于零而在域内和另外两类边界上，是任意的，要使上式成立，必定要求这三个积分式的被积项等于零这就是稳态温度场问题的基本方程和第二类边界条件及第三类边界条件在传热学中，上述变分原理称为最小熵产生原理,现在可以用有限元法从泛函式的变分导出稳态温度场问题的有限元方程将域分为个单元，设单元内的温度分布为,式中为单元温度，为单元插值函数，或称形函数，为节点的温度域内的温度可表达为,从上式可得,式中,于是即可得到泛函式中的各项,式中分别引入了下列记号,式中的称为单元导热矩阵，或借用力学中的名称单元刚度矩阵，积分是在单元的域上进行的，是由热源生成的单元热源向量，积分也是在单元的域上进行的.,是第二类边界上已知的热流所生成的热流向量，积分是在第二类边界的单元边界上进行的，是第三类边界条已知所引起的单元刚度矩阵，积分是在第三类边界的单元边界上进行，是第三类边界上的热流向量，积分也是在第三类边界的单元边界上进行的,将前面的泛函变分后,并令其等于零可得出,其中,是通常的有限元刚度矩阵，是第三类边界条件所产生的刚度矩阵，是热源生成的热源向量，相当于弹性力学中的体积力生成的载荷向量，是第二类边界条件上热流生成的热流向量，是第三类边界条件上热流向量，这两项相当于弹性力学中表面力生成的载荷向量.为第二类边界和第三类边界上的单元数.,有限元离散后的热传导方程可写为,上式是线性代数方程组，未知数为节点温度，在有第一类边界条件的情况下，需对该方程组加以修正，以确保所解的温度场满足第一类边界条件,具体做法可以这样：

设在边界上已知温度的节点编号为，已知的温度为，则将总刚度矩阵中节点的主对角元素乘以一个大数（例108），再将上式中右边的行值替换为，这样即可保证所解得的对于其他已知温度的节点都要进行相同的修正这与力学问题中已知位移的边界条件做法相同，在进行所有修改后，即可由上式求出各节点的温度.,顺便指出，若将式中的换成下列矩阵来计算单元刚度矩阵，则上述结果可用于正交各向异性物体中的温度场的计算.,图6.1三角形单元,现以平面问题为例，采用三角形单元给出温度场问题的单元刚度矩阵和边界热流向量的计算公式.为简单起见，设厚度方向为单位长度.设三角形单元的三个节点为（参见图6.1）.,根据第二章的公式,其中为节点的坐标，为三角形的面积.,于是可得,上式表明，三个节点的热流量相同，均为.,前面有三个公式是在边界上计算积分，在三角形单元的情况下，设节点是在边界上，为计算线积分方便起见，可用参变量代替坐标变量.设点处，,温度为，点处，,温度为.为边界的长度，则边界上温度分布为,令，则上式可写为,将上式的温度分布代入前面三个公式可得,上式表明边界上的热流向量是平均分配到两个节点上的.然而，对于八节点的等参数单元，边界上的热流并不是平均分配在边界的三个节点上，需要用形状函数来计算.从上式可以看出，这部分的单元刚度矩阵只影响边界上节点的刚度，对节点的刚度没有影响.,6.1.3瞬态温度场的有限元解,在热传导中，瞬态问题即时间相关的问题是非常普遍的.对于某些时间相关问题，过渡的时间发生在物理过程开始与稳态达到之间.而在某些问题中，根本就达不到稳态条件，这样，整个全过程就是过渡状态.瞬态温度场的基本方程，边界条件和初始条件前面已经给出,与稳态温度场时间的控制方程不同，它含有项，这种偏微分方程在数学上称为抛物型方程这时，除了边界条件必须已知外，初始条件也是已知的.通常称它为初边值问题，求解就从初始温度场开始，每隔一个步长，就求解下一时刻的温度场，这种求解过程称为步进积分（marchingintergration）.这种求解的特点是在空间域内用有限元法，而在时间域内用有限差分法，因此，是有限元法和有限差分法的混合解法.,迄今为止，抛物型方程的泛函变分问题尚未很好解决.现假定时间变量暂时固定，即先考虑在一具体时刻（仅是位置的函数）下对泛函的变分，然而再考虑的变化把用差分展开与瞬态温度场问题等价的泛函为,将上述泛函变分后即可导出瞬态温度场问题的控制方程和第二类边界条件及第三类边界条件推导过程就省略了.,现在用有限元法和差分法来求解瞬态温度场.首先用有限元法将上述泛函的极值问题化为下列方程,上式比稳态温度场多了左边第二项，其余是相同的，式中的称为热容量矩阵或瞬态变温矩阵，它的计算公式为,前面的方程是一个对时间变量的常微分方程.因此，瞬态温度场用有限元对空间离散后，还是一个常微分方程，对时间则可用有限差分法离散化求解.在用差分法求解各时刻的温度场时，大致有下列五种格式:

（1）向前差分格式,向前差分的格式为,这是向前差分的一阶差商，式中是时间差分步长，表示截断误差的数量级.这里是Order的第一个字母，表示量级的意思.括号中的表示误差的量级与的一次方成正比.,将前面的有限元方程式写为时刻的形式,将前式代入上式即可得到,为适当选取的时间步，为初始时刻或前一时刻的温度场，和可由前面的公式计算，可以是时间的函数（相当于随时间变化的热源强度和边界条件）,也可与时间无关.,知道了时刻的解就能从方程组解出时刻的温度场.再由去求，依次类推可求任一时刻的温度场.向前差分格式的特点是能到显式解，但稳定性较差，实用中要求时间步长取得很小，因此，现在已很少采用.,

（2）向后差分格式,向后差分的格式为,这是向后差分的一阶差商，向后差分与向前差分有相同的精度量级.,将前面的方程写为时刻的形式,将前式代入上式即可得到,由上式可见，向后差分得到的是隐式解，必须联立求解线性代数方程组.由于向后差分格式是无条件稳定的，在大的时间步长下也不会振荡，因此，已广为采用.,（3）Crank-Nicolson（简记为C-N）格式,上面介绍的向前差分格式和向后差分格式可统一写成,式中.当时即为向前差分格式，而当时即为向后差分格式.当时就得到C-N格式,它的截断差为的量级，所以具有较高的精度，而且是无条件稳定的.从前面几个公式可以得到,上式即为采用C-N格式计算瞬态温度场的基本方程.,（4）Galerkin格式,在前面公式中取，则得到Galerkin格式,它的截断差也为的量级，所以具有较高的精度，而且是无条件稳定的.,上式即为采用Galerkin格式计算瞬态温度场的基本方程.,（5）三点向后差分格式,可以用泰勒展开式来推导三点后差分格式.这是推导高阶导数多点差分格式的一种常用方法.分别对函数和在处用泰勒级数展开.注意到和均为负值，可得到,式中分别为函数在时刻处的一阶,二阶,三阶偏导数.,从这二个公式可以得到,为了求得的表达式，可令式中项的系数为零.由此得到,将值代入上式后可得,式中是截断误差.这里三阶偏导数是未知量，可以不必求出，而认为这一项的大小与是同一个数量级,并用来表示.于是上式可以写成,由此可以得出,由上式可见，当用三点后差分格式计算瞬态温度场时，同时需要前两个时刻的温度场，所以，它要占用较多的计算机内存.,6.2热弹性应力问题的有限元分析,设物体在温度时,物体处于无应力状态，当物体内发生温度变化时,物体中的微元体就要产生热膨胀，对各向同性体，自由膨胀情况下的应变分量为,其中/oC为热膨胀系数.如果自由膨胀受到某种约束，微元体就要产生热应力，根据线性弹性理论，其应变为两部分相加，一部分是由温度变化引起的，另一部分是由应力引起的，根据虎克定律，应力和应变的关系为,用矩阵形式表示为,其中是弹性本构矩阵,是变温而产生的应变，也可称为初应变.,应力和应变的关系也可写为应变表示应力的形式,上式所表示的应力是考虑变温影响的弹性应力，通常称为热应力现在用最小势能原理来推导热弹性应力问题的有限元方程.弹性体的应变能为,将应力和应变的关系代入上式可得,根据第二章所述的有限元法，单元的位移和应变可写为,代入上式可得,式中第一项与没有温度变化的情况相同，而第二项和第三项则是由变温而产生的,是温度应变引起的载荷向量，称为热载荷向量，是与节点位移无关的项,外力的功与没有温度变化的情况一样，可写