浙教版九年级数学下册第2章测试题及答案.docx

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浙教版九年级数学下册第2章测试题及答案

浙教版九年级数学下册第2章测试题及答案

2.1　直线与圆的位置关系

（1）

一、选择题

1．如图，∠O＝30°，C为OB上一点，且OC＝6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是（　　）

A．相离B．相交

C．相切D．以上三种情况均有可能

2．直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（　　）

A．0＜r<6B．r＝6

C．r>6D．r≥6

3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以点C为圆心，r为半径作圆，若⊙C与直线AB相切，则r的值为（　　）

A．2cmB．2.4cm

C．3cmD．4cm

4．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，D，E分别是AC，AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（　　）

A．相切B．相交

C．相离D．无法确定

5．如图，已知点A，B在半径为1的⊙O上，∠AOB＝60°，延长OB至点C，过点C作直线OA的垂线记为l，则下列说法正确的是（　　）

A．当BC等于0.5时，l与⊙O相离

B．当BC等于2时，l与⊙O相切

C．当BC等于1时，l与⊙O相交

D．当BC不为1时，l与⊙O不相切

二、填空题

6．若⊙O的半径为r，点O到直线l的距离为d，且＋＝0，则直线l与⊙O有________个公共点．

7．如图所示，已知∠AOB＝45°，以点M为圆心，2cm为半径作⊙M，若点M在OB边上运动，则当OM＝________cm时，⊙M与射线OA相切．

8．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以点A为圆心，4为半径作的⊙A与直线BC的位置关系是________．

9．在△ABO中，若OA＝OB＝2，⊙O的半径为1，当∠AOB＝________时，直线AB与⊙O相切；当∠AOB满足________时，直线AB与⊙O相交；当∠AOB满足________时，直线AB与⊙O相离.

10．如图，给定一个半径为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM＝d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d＝0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m＝4，由此可知：

（1）当d＝3时，m＝________；

（2）当m＝2时，d的取值范围是________．

三、解答题

11．设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.根据下列条件判断直线l与⊙O的位置关系：

（1）d＝5，r＝4；

（2）d＝，r＝；

（3）d＝2，r＝4sin45°.

12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，以点C为圆心，r为半径画圆．若⊙C与斜边AB只有一个公共点，求r的取值范围．

13．如图，已知⊙O与BC相切，点C不是切点，AO⊥OC，∠OAC＝∠ABO，且AC＝BO，判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由．

14．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD∥BC，E为AB上的一点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？

15．如图，要在某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知点C周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上．请判断公路MN是否会穿过原始森林保护区，并说明理由．（参考数据：

≈1.732）

16阅读学习已知点P（x0，y0）和直线y＝kx＋b，则点P到直线y＝kx＋b的距离d可用公式d＝计算．

例如：

求点P（－1，2）到直线y＝3x＋7的距离．

解：

因为直线y＝3x＋7，其中k＝3，b＝7，

所以点P（－1，2）到直线y＝3x＋7的距离为：

d＝＝＝＝.

根据以上材料，解答下列问题：

（1）求点P（1，－1）到直线y＝x－1的距离；

（2）已知⊙Q的圆心Q的坐标为（0，5），半径r为2，判断⊙Q与直线y＝x＋9的位置关系，并说明理由．

参考答案

1．C　[解析]过点C作CD⊥AO于点D，∵∠O＝30°，OC＝6，∴DC＝3，∴以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是相切．故选C.

2．C

3．B

4．B　过点A作AM⊥BC于点M，交DE于点N，∴AM·BC＝AC·AB，∴AM＝＝2.4.

∵D，E分别是AC，AB的中点，∴DE∥BC，DE＝BC＝2.5，∴AN＝MN＝AM＝1.2.

∵以DE为直径的圆的半径为1.25，1．25>1.2，∴以DE为直径的圆与BC的位置关系是相交．

5．D　[解析]A．∵BC＝0.5，∴OC＝OB＋CB＝1.5.∵∠AOB＝60°，∴∠ACO＝30°，AO＝OC＝0.75＜1，∴l与⊙O相交，故A错误；

B．∵BC＝2，∴OC＝OB＋CB＝3.∵∠AOB＝60°，∴∠ACO＝30°，AO＝OC＝1.5＞1，∴l与⊙O相离，故B错误；

C．∵BC＝1，∴OC＝OB＋CB＝2.∵∠AOB＝60°，∴∠ACO＝30°，AO＝OC＝1，∴l与⊙O相切，故C错误；

D．∵BC≠1，∴OC＝OB＋CB≠2.∵∠AOB＝60°，∴∠ACO＝30°，AO＝OC≠1，∴l与⊙O不相切，故D正确．

故选D.

6．1

7．2[解析]过点M作MD⊥OA，垂足为D.由于⊙M与OA相切，故MD＝2cm.因为∠BOA＝45°，所以OD＝MD＝2cm，所以OM＝＝2（cm）．

8．相切　

9．120°　120°＜∠AOB＜180°　0°＜∠AOB＜120°

[解析]通过画草图，过点O作OC⊥AB于点C，由直线AB与⊙O相切，可得OC＝1，不难求得∠AOC＝60°，故∠AOB＝120°；另两种情况也不难确定．

10．

（1）1　

（2）1＜d＜3

11．解：

（1）∵d>r，∴直线l与⊙O相离．

（2）∵d

（3）∵d＝r＝2，∴直线l与⊙O相切．

12.

解：

如图所示，过点C作CD⊥AB于点D.

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，∴AB＝＝＝10（cm）．

∵S△ABC＝AB·CD＝AC·BC，

∴AB·CD＝AC·BC，

∴10×CD＝6×8，

∴CD＝4.8cm.

观察图知，当⊙C的半径r＝4.8cm时，⊙C与斜边AB只有一个公共点；

当6cm

∴当⊙C与斜边AB只有一个公共点时，半径r的取值范围是r＝4.8cm或6cm

13．解：

相离．

理由：

如图，延长BA至点D，使得BD＝OA，连结OD.

在△OAC与△DBO中，

∴△OAC≌△DBO（SAS），

∴OC＝OD，∠AOC＝∠ODB.

∵AO⊥OC，

∴∠ODB＝90°.

∵⊙O与BC相切，点C不是切点，

∴OC＞半径，

∴OD＞半径，

∴直线AB与⊙O的位置关系是相离．

14．解：

如图，过点E作EF⊥CD于点F.

∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，∠A＝∠B＝90°，∴EA＝EF＝EB＝AB，

∴以AB为直径的圆，即⊙E的圆心E到直线CD的距离等于半径，

∴以AB为直径的圆与边CD相切．

15．[解析]过点C作CH⊥MN，比较CH的长与200米的大小即可，即判断直线MN与以点C为圆心，200米为半径的圆的位置关系．

解：

公路MN不会穿过原始森林保护区．

理由如下：

如图所示，过点C作CH⊥AB于点H.

设CH＝x米，

由已知得∠HAC＝45°，∠HBC＝30°.

在Rt△ACH中，AH＝CH＝x米．

在Rt△HBC中，tan∠HBC＝，

∴BH＝＝＝x（米）．

又∵AH＋BH＝AB，∴x＋x＝600，

解得x＝≈220（米）>200米，

故公路MN不会穿过原始森林保护区．

16.解：

（1）因为直线y＝x－1，其中k＝1，b＝－1，

所以点P（1，－1）到直线y＝x－1的距离为：

d＝＝＝＝.

（2）⊙Q与直线y＝x＋9相切．

理由如下：

圆心Q（0，5）到直线y＝x＋9的距离为：

d＝＝＝2.

因为⊙Q的半径r为2，即d＝r，

所以⊙Q与直线y＝x＋9相切．

2.1直线与圆的位置关系

第2课时切线的判定

一、选择题

1．经过⊙O的直径的一端能作⊙O的切线（　　）

A．0条B．1条

C．2条D．3条

2．以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为（　　）

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．等边三角形

3．在△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，则直线AC与△BDC的外接圆的位置关系是（　　）

A．相离B．相切

C．相交D．无法确定

4．在正方形ABCD中，P是对角线AC上的任意一点（不包括端点），以点P为圆心的圆与AB相切，则AD与⊙P的位置关系是（　　）

A.相离B.相切

C．相交D．不能确定

二、填空题

5．在平面直角坐标系中，以点（2，1）为圆心，1为半径的圆必与________轴相切．

6．如图，⊙O的半径为4cm，BC是直径，若AB＝10cm，则当AC＝________cm时，AC与⊙O相切．

7．如图，已知∠MAN＝30°，O为AN边上一点，以点O为圆心，2为半径作⊙O，交AN于D，E两点，设AD＝x，当x＝________时，⊙O与AM相切．

8．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，需添加的条件是________．（不添加其他字母和线段）

9．阅读下面材料：

在数学课上，老师请同学们思考如下问题：

已知：

如图K－47－4，在△ABC中，∠A＝90°.

求作：

⊙P，使得点P在边AC上，且⊙P与AB，BC都相切．

图K－47－4

小轩的主要作法如下：

如图，

（1）作∠ABC的平分线BF，与AC交于点P；

（2）以点P为圆心，AP长为半径作⊙P.

则⊙P即为所求．

老师说：

“小轩的作法正确．”

请回答：

⊙P与BC相切的依据是________________________________________________.

三、解答题

10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，以点O为圆心，BO的长为半径作圆．

求证：

AC是⊙O的切线．

11．如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，∠CBA＝50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED＝EA.

（1）求∠DOA的度数；

（2）求证：

直线ED与⊙O相切.

12．如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.

（1）求证：

DE是⊙O的切线；

（2）求DE的长．

13．如图，在△ABC中，以BC为直径的圆交AC于点D，∠ABD＝∠ACB.

（1）求证：

AB是圆的切线；

（2）若E是BC上一点，已知BE＝4，tan∠AEB＝，AB∶BC＝2∶3，求圆的直径．

14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F.

（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若BD＝2，BF＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）.

15探究应用：

如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为N，连结AC，点E在AB上，且AE＝CE.

（1）求证：

AC2＝AE·AB；

（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；

（3）设⊙O的半径为4，N为OC的中点，点Q在⊙O上，求线段PQ长的最小值．

参考答案

1．B

2．B

3．B　【解析】∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴BC为△BDC外接圆的直径．又∵∠ACB＝90°，∴AC⊥CB，∴AC是△BCD的外接圆的切线．

4．B

5．x

6．6[解析]已知AC经过半径OC的外端，要使AC成为⊙O的切线，则AC⊥BC，由勾股定理，得AC＝＝＝6（cm）．

7．2

8．答案不唯一，如CD＝BD

9．角平分线上的点到角两边的距离相等；经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线（或：

如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线与圆相切）

[解析]过点P作PD⊥BC于点D，∵BF平分∠ABC，∠A＝90°，∴PA＝PD，∴PD是⊙P的半径，∴点D在⊙P上，∴BC是⊙P的切线．

10．证明：

过点O作OE⊥AC于点E，

∵AO平分∠BAC，∠B＝90°，∴OE＝OB，

∴AC是⊙O的切线．

11．解：

（1）∵OD＝OB，∴∠DBO＝∠ODB＝50°，

∴∠DOA＝2∠DBO＝100°.

（2）证明：

连结OE.

在△EAO与△EDO中，

∴△EAO≌△EDO，∴∠EAO＝∠EDO.

∵∠BAC＝90°，∴∠EDO＝90°，

∴直线ED与⊙O相切．

12．解：

（1）证明：

如图，连结OD.

∵AD平分∠BAC，

∴∠DAE＝∠DAB.

∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠DAO，

∴∠ODA＝∠DAE，

∴OD∥AE.

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE.

又∵OD是⊙O的半径，

∴DE是⊙O的切线．

（2）过点O作OF⊥AC于点F，∴AF＝CF＝3，

∴OF＝＝＝4.

∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，

∴四边形OFED是矩形，∴DE＝OF＝4.

13．解：

（1）证明：

∵BC是直径，∴∠BDC＝90°，

∴∠ACB＋∠DBC＝90°.

∵∠ABD＝∠ACB，

∴∠ABD＋∠DBC＝90°，

∴∠ABC＝90°，

即AB⊥BC，∴AB是圆的切线．

（2）在Rt△AEB中，∵tan∠AEB＝，

∴＝，即AB＝BE＝.

在Rt△ABC中，＝，

∴BC＝AB＝×＝10，

∴圆的直径为10.

14．解：

（1）直线BC与⊙O相切．

理由：

连结OD.∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD＝∠CAD.

又∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，

∴∠CAD＝∠ODA，

∴OD∥AC，

∴∠ODB＝∠C＝90°，

即OD⊥BC.

又∵BC过半径OD的外端点D，

∴直线BC与⊙O相切．

（2）设OF＝OD＝x，则OB＝OF＋BF＝x＋2，

根据勾股定理，得OB2＝OD2＋BD2，即（x＋2）2＝x2＋12，解得x＝2，即OD＝OF＝2，

∴OB＝2＋2＝4.

∵在Rt△ODB中，OD＝OB，∴∠B＝30°，

∴∠DOB＝60°，∴S扇形DOF＝＝，

∴S阴影＝S△ODB－S扇形DOF＝×2×2－π＝2－π.

故阴影部分的面积为2－π.

15解：

（1）证明：

如图，连结BC，

∵CD⊥AB，∴CB＝CA，∴∠CAB＝∠CBA.

又∵AE＝CE，∴∠CAE＝∠ACE，

∴∠ACE＝∠ABC.

又∵∠CAE＝∠BAC，∴△CAE∽△BAC，

∴＝，即AC2＝AE·AB.

（2）PB＝PE.理由如下：

如图，连结BD，OB.

∵CD是直径，∴∠CBD＝90°.

∵BP是⊙O的切线，∴∠OBP＝90°，

∴∠BCD＋∠D＝∠PBC＋∠OBC＝90°.

∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，

∴∠PBC＝∠D.

又∵∠A＝∠D，∴∠PBC＝∠A.

∵∠ACE＝∠ABC，∠PEB＝∠A＋∠ACE，∠PBN＝∠PBC＋∠ABC，

∴∠PEB＝∠PBN，∴PE＝PB.

（3）如图，连结PO交⊙O于点Q，则此时线段PQ的长有最小值．

∵N是OC的中点，∴ON＝2.

∵OB＝4，∴∠OBN＝30°，∴∠PBE＝60°.

又∵PE＝PB，∴△PEB是等边三角形，

∴∠PEB＝60°，PB＝BE.

在Rt△BON中，BN＝＝＝2，

在Rt△CEN中，EN＝＝＝，

∴BE＝BN＋EN＝，∴PB＝BE＝.

∴PQ＝PO－OQ＝－OQ＝－4＝－4.

即线段PQ长的最小值为－4.

2.1　直线与圆的位置关系

第3课时　切线的性质　　　　　　　　　　　　　　　　

一、选择题

1．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若OC＝AB，则∠C的度数为（　　）

A．15°B．30°C．45°D．60°

2．如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA＝4，OB＝3，则cos∠APO的值为（　　）

A.B.C.D.

3．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（　　）

A．25°B．40°C．50°D．65°

4．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB，CD与小圆分别相切于点E，F，则弦AB与CD的大小关系是（　　）

A．AB>CDB．AB＝CD

C．AB

5．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D.若OD＝2，tan∠OAB＝，则AB的长是（　　）

A．4B．2

C．8D．4

二、填空题

6．如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，若∠ABT＝40°，则∠ATB＝________°.

7．如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB＝12，AC＝8，则⊙O的半径为________．

8．如图，点A，B，C均在⊙O上，切线CD与OB的延长线交于点D，连结OC.若∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径为________．

9．如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，切点为C.连结AC，BC，作∠APC的平分线交AC于点D.下列结论正确的是________．（写出所有正确结论的序号）

①△CPD∽△DPA；②若∠A＝30°，则PC＝BC；③若∠CPA＝30°，则PB＝OB；④无论点P在AB延长线上的位置如何变化，∠CDP的度数为定值．

10．某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图．⊙O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且⊙O与矩形上下两边相切（E为上切点），与左右两边相交（F，G为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m，根据设计要求，若∠EOF＝45°，则此窗户的透光率（透光区域与矩形窗面的面积的比值）为________.

三、解答题

11．如图，已知AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C，AB＝3cm，BC＝1cm，求⊙O的半径．

12．如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连结OD.作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F.已知CE＝12，BE＝9.

（1）求证：

△COD∽△CBE；

（2）求半圆O的半径r.

13．如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E.

（1）求证：

∠1＝∠CAD；

（2）若AE＝EC＝2，求⊙O的半径．

14．如图，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD＝AB，AD，BC的延长线相交于点E.

（1）求证：

AD是半圆O的切线；

（2）连结CD，求证：

∠A＝2∠CDE；

（3）若∠CDE＝27°，OB＝2，求的长．

15．综合探究如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AC为直径，过点A作⊙O的切线交CB的延长线于点E，过AC的三等分点F（靠近点C）作CE的平行线交AB于点G，连结CG.

（1）求证：

AB＝CD；

（2）求证：

CD2＝BE·BC；

（3）当CG＝，BE＝时，求CD的长．

参考答案

1．B　[解析]∵BC是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，∴BC⊥OB.又∵OC＝AB＝2OB，

∴sinC＝＝＝，∴∠C＝30°.

2．C　[解析]连结OA，在Rt△OPA中，OP＝＝5，∴cos∠APO＝＝.

3．B　[解析]连结OC.∵⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∴AB是直径．∵∠A＝25°，∴∠BOC＝2∠A＝50°.∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠D＝90°－∠BOC＝40°.故选B.

4．B　[解析]连结OE，OF，OD，OB.∵AB切小圆O于点E，∴AB⊥OE.同理OF⊥CD.

∵OE＝OF，OB＝OD，∴BE＝DF，∴AB＝CD.

5．C　[解析]如图，连结OC.∵大圆的弦AB切小圆于点C，∴OC⊥AB，∴AB＝2AC.∵OD＝2，∴OC＝2.∵tan∠OAB＝，∴AC＝4，∴AB＝8.

6．50

7．5

8．2[解析]依题意得∠COD＝2∠A＝2×30°＝60°.∵CD是⊙O的切线，C为切点，∴∠OCD＝90°，∴∠D＝90°－∠COD＝90°－60°＝30°，∴OC＝CD·tan30°＝2×＝2.

9．②③④

10．

[解析]如图，作OH⊥AD于点H.由切线的性质，得OE⊥AB，又∠A＝90°，可知四边形AHOE是矩形．∵∠EOF＝45°，∴∠HOF＝45°，OH＝OF·cos45°＝1×＝（m），∴此窗户透光区域的面积为（××＋）×4＝（m2），矩形窗面的面积为×（1＋1）＝2（m2）．此窗户的透光率为2＝.

11．解：

连结OA，因为AB是⊙O的切线，

所以∠OAB＝90°.

在Rt△OAB中，设⊙O的半径为rcm，

则有（r＋1）2＝r2＋32，解得r＝4.

故⊙O的半径是4cm.

12．解：

（1）证明：

∵CD切半圆O于点D，OD为半圆O的半径，∴CD⊥OD，∴∠CDO＝90°.

∵BE⊥CD于点E，∴∠E＝90°，

∴∠CDO＝∠E.

又∵∠C＝∠C，

∴△COD∽△CBE.

（2）∵在Rt△BEC中，CE＝12，BE＝9，

∴CB＝15.

∵△COD∽△CBE，∴＝，

即＝，∴r＝.

13．

（1）证明：

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠BDO＝90°.

∵AC为⊙O的切线，∴OA⊥AC，

∴∠OAD＋∠CAD＝90°.

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，∴∠BDO＝∠CAD.

又∵∠1＝∠BDO，∴∠1＝∠CAD.

（2）解：

∵∠1＝∠CAD，∠C＝∠C，

∴△CAD∽△CDE，

∴CD∶CA＝CE∶CD，

∴CD2＝CA·CE.

∵AE＝EC＝2，

∴AC＝AE＋EC＝4，∴CD＝2.

设⊙O的半径为x，则OA＝OD＝x，

在Rt△AOC中，OA2＋AC2＝OC2，

∴x2＋42＝（2＋x）2，解得x＝.

∴⊙O的半径为.

14．

（1）证明：

如图，连结OD，BD.

∵AB是半圆O的切线，

∴AB⊥BC，即∠ABO＝90°.

∵AB＝AD，

∴∠ABD＝∠ADB.

∵OB＝OD，