复数代数形式的加减运算及其几何意义.docx

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复数代数形式的加减运算及其几何意义

3.2.1　复数代数形式的加、减运算及其几何意义

[学习目标]　1.熟练掌握复数的代数形式的加、减法运算法则.2.理解复数加、减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.

知识点　复数的加、减法法则及几何意义与运算律

z1，z2，z3∈C，设，分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）相对应，且，不共线

加法

减法

运算法则

z1＋z2＝（a＋c）＋（b＋d）i

z1－z2＝（a－c）＋（b－d）i

几何意义

复数的和z1＋z2与向量＋＝的坐标对应

复数的差z1－z2与向量－＝的坐标对应

运算律

交换律

z1＋z2＝z2＋z1

结合律

（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）

思考　

（1）两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？

（2）若复数z1，z2满足z1－z2＞0，能否认为z1＞z2?

答案　

（1）是复数，唯一确定.

（2）不能，例如可取z1＝3＋2i，z2＝2i.

题型一　复数加、减法的运算

例1　

（1）计算（2＋4i）＋（3－4i）；

（2）计算（－3－4i）＋（2＋i）－（1－5i）.

解　

（1）原式＝（2＋3）＋（4－4）i＝5.

（2）原式＝（－3＋2－1）＋（－4＋1＋5）i＝－2＋2i.

反思与感悟　复数的加、减法运算，就是实部与实部相加减作实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把i看作字母，类比多项式加减中的合并同类项.

跟踪训练1　计算（1－2i）－（2－3i）＋（3－4i）－（4－5i）＋…＋（2011－2012i）－（2012－2013i）.

解　方法一　原式＝（1－2＋3－4＋…＋2011－2012）＋（－2＋3－4＋5＋…－2012＋2013）i＝－1006＋1006i.

方法二　（1－2i）－（2－3i）＝－1＋i，

（3－4i）－（4－5i）＝－1＋i，…，

（2011－2012i）－（2012－2013i）＝－1＋i.

将上列1006个式子累加可得

原式＝1006（－1＋i）＝－1006＋1006i.

题型二　复数加、减法的几何意义

例2　如图所示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.求：

（1）所表示的复数，所表示的复数；

（2）对角线所表示的复数；

（3）对角线所表示的复数及的长度.

解　

（1）因为＝0－（3＋2i）＝－3－2i，

所以所表示的复数为－3－2i.

因为＝，

所以所表示的复数为－3－2i.

（2）因为＝－，

所以所表示的复数为（3＋2i）－（－2＋4i）＝5－2i.

（3）因为对角线＝＋＝＋，

所以所表示的复数为（3＋2i）＋（－2＋4i）＝1＋6i，

所以||＝＝.

反思与感悟　复数z与复平面内的向量是一一对应的关系，复数的加法可以按照向量的加法来进行，即复数的加法符合向量加法的三角形法则、平行四边形法则.

类比实数减法的意义，复数的减法也是加法的逆运算：

减去一个复数等于加上这个复数的相反数.

若用d表示平面内点Z1和Z2之间的距离，则d＝||＝|z1－z2|，其中z1，z2是复平面内的两点Z1，Z2对应的复数.这就是复平面内两点间的距离公式.

跟踪训练2　满足条件|z＋1－i|＝|4－3i|的复数z在复平面内对应的点的轨迹是（　　）

A.一条直线B.两条直线

C.一个圆D.一个椭圆

答案　C

解析　根据复数减法的几何意义，|z＋1－i|表示复平面内复数z对应的点Z到点（－1,1）的距离，而|4－3i|表示复数4－3i的模，等于5，故满足|z＋1－i|＝5的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以（－1,1）为圆心，5为半径的圆.

题型三　复数加、减法的综合应用

例3　已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.

解　方法一　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），

∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，

∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①

（a－c）2＋（b－d）2＝1，②

由①②得2ac＋2bd＝1，

∴|z1＋z2|＝

＝＝.

方法二　设O为坐标原点，

z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.

∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，

∴△OAB是边长为1的正三角形，

又以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，

∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，

且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，

∴|z1＋z2|＝||

＝＝.

反思与感悟　

（1）设出复数z＝x＋yi（x，y∈R），利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x，y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用.

（2）在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：

①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形.

跟踪训练3　已知|z1|＝|z2|＝1，z1＋z2＝＋i，求复数z1，z2及|z1－z2|.

解　由于|z1＋z2|＝＝1，设z1，z2，z1＋z2对应的向量分别为，，，则因||＝||＝||＝1，故A，B，C三点均在以原点为圆心，1为半径的圆上，如图所示，由平行四边形法则和余弦定理易得

cos∠AOC＝＝，

故∠AOC＝60°，所以平行四边形OACB为菱形，且△BOC，△COA都是等边三角形，即∠AOB＝120°.

又∵与x轴正半轴的夹角为60°，故点A在x轴上，即A（1,0）.

而xB＝||cos120°＝－，yB＝||sin120°＝，

∴B的坐标为.

∴或

方法一　|z1－z2|＝＝.

方法二　由结论|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2（|z1|2＋|z2|2）知，|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2－|z1＋z2|2＝3，

∴|z1－z2|＝.

方法三　由余弦定理可得

||2＝||2＋||2－2||||cos120°＝3，

又∵z1－z2＝－＝，

∴|z1－z2|＝||＝||＝.

因对复数加、减法的几何意义理解不到位致误

例4　在平行四边形ABCD中，A，B，C三个顶点所对应的复数分别为3＋3i，－5i，－2＋i，求第四个顶点对应的复数.

错解　∵四边形ABCD为平行四边形，

∴＝，∴－＝－，

∴＝－＋，故对应的复数为3＋3i－（－2＋i）＋（－5i）＝5－3i.

∴第四个顶点D对应的复数为5－3i.

错因分析　＝－，而不是＝－.

正解　∵＝，∴－＝－，

∴＝＋－.

∴对应的复数为3＋3i－2＋i＋5i＝1＋9i.

∴第四个顶点D对应的复数为1＋9i.

防范措施　可依据复数的几何意义，找出相应A，B，C三点的坐标，然后推测D点的大致位置，再依据平行四边形的性质，并结合向量知识确定点D的坐标.

1.若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于（　　）

A.0B.2i

C.6D.6－2i

答案　D

解析　z＝3－i－（i－3）＝6－2i.

2.复数i＋i2在复平面内表示的点在（　　）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案　B

解析　i＋i2＝－1＋i，对应的点在第二象限.

3.在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，则表示的复数为（　　）

A.2＋8iB.－6－6i

C.4－4iD.－4＋2i

答案　C

解析　＝－＝－（＋）＝3＋2i－（1＋5i－2＋i）＝4－4i.

∴表示的复数为4－4i.

4.若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点在（　　）

A.实轴上B.虚轴上

C.第一象限D.第二象限

答案　B

解析　∵|z－1|＝|z＋1|，∴点Z到（1,0）和（－1,0）的距离相等，即点Z在以（1,0）和（－1,0）为端点的线段的中垂线上.

5.已知复数z1＝（a2－2）＋（a－4）i，z2＝a－（a2－2）i（a∈R），且z1－z2为纯虚数，则a＝.

答案　－1

解析　z1－z2＝（a2－a－2）＋（a－4＋a2－2）i（a∈R）为纯虚数，∴解得a＝－1.

1.复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算.

2.复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.

一、选择题

1.复数z1＝2－i，z2＝－2i，则z1＋z2等于（　　）

A.0B.＋i

C.－iD.－i

答案　C

解析　z1＋z2＝－i＝－i.

2.若z＋3－2i＝4＋i，则z等于（　　）

A.1＋iB.1＋3i

C.－1－iD.－1－3i

答案　B

解析　z＝4＋i－（3－2i）＝1＋3i.

3.复数z1＝3＋i，z2＝－1－i，则z1－z2等于（　　）

A.2B.2＋2i

C.4＋2iD.4－2i

答案　C

4.设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为（　　）

A.1＋iB.2＋i

C.3D.－2－i

答案　D

解析　由得∴a＋bi＝－2－i.

5.如果复数z满足|z＋2i|＋|z－2i|＝4，那么|z＋i＋1|的最小值是（　　）

A.1B.

C.2D.

答案　A

解析　设复数－2i,2i，－（1＋i）在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋2i|＋|z－2i|＝4，Z1Z2＝4，所以复数z的几何意义为线段Z1Z2，如图所示，问题转化为：

动点Z在线段Z1Z2上移动，求ZZ3的最小值.

因此作Z3Z0⊥Z1Z2于Z0，则Z3与Z0的距离即为所求的最小值，Z0Z3＝1.故选A.

6.复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作▱ABCD，则||等于（　　）

A.5B.C.D.

答案　B

解析　如图，

设D（x，y），F为▱ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为，

所以即

所以点D对应的复数为z＝3＋3i，

所以＝－＝（3,3）－（1,0）＝（2,3），

所以||＝.

二、填空题

7.若复数z1＋z2＝3＋4i，z1－z2＝5－2i，则z1＝.

答案　4＋i

解析　两式相加得2z1＝8＋2i，∴z1＝4＋i.

8.若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是.

答案　1

解析　由|z－2|＝|z＋2|，知z对应点的轨迹是到（2,0）与到（－2,0）距离相等的点，即虚轴.|z－1|表示z对应的点与（1,0）的距离.∴|z－1|min＝1.

9.如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是.

答案　＋i

解析　设这个复数为x＋yi（x，y∈R），

∴x＋yi＋＝5＋i，

∴∴

∴x＋yi＝＋i.

三、解答题

10.计算：

（1）（－7i＋5）－（9－8i）＋（3－2i）；

（2）＋（2－i）－.

（3）已知z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，求z1＋z2，z1－z2.

解　

（1）（－7i＋5）－（9－8i）＋（3－2i）

＝－7i＋5－9＋8i＋3－2i

＝（5－9＋3）＋（－7＋8－2）i＝－1－i.

（2）＋（2－i）－

＝＋i＋2－i－＋i

＝＋i＝1＋i.

（3）z1＋z2＝2＋3i＋（－1＋2i）＝1＋5i，

z1－z2＝2＋3i－（－1＋2i）＝3＋i.

11.已知ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，求点D对应的复数.

解　方法一　设D点对应的复数为x＋yi（x，y∈R），

则D（x，y），又由已知A（1,3），B（0，－1），C（2,1）.

∴AC中点为，BD中点为.

∵平行四边形对角线互相平分，

∴∴即点D对应的复数为3＋5i.

方法二　设D点对应的复数为x＋yi（x，y∈R）.

则对应的复数为（x＋yi）－（1＋3i）

＝（x－1）＋（y－3）i，

又对应的复数为（2＋i）－（－i）＝2＋2i，

由于＝.∴（x－1）＋（y－3）i＝2＋2i.

∴∴即点D对应的复数为3＋5i.

12.集合M＝{z||z－1|≤1，z∈C}，N＝{z||z－1－i|＝|z－2|，z∈C}，集合P＝M∩N.

（1）指出集合P在复平面上所表示的图形；

（2）求集合P中复数模的最大值和最小值.

解　

（1）由|z－1|≤1可知，集合M在复平面内所对应的点集是以点E（1,0）为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由|z－1－i|＝|z－2|可知，集合N在复平面内所对应点集是以点（1,1）和（2,0）为端点的线段的垂直平分线l，因此集合P是圆面截直线l所得的一条线段AB，如图所示.

（2）圆的方程为x2＋y2－2x＝0，

直线l的方程为y＝x－1.

解得

A（，），B（，－）.

∴|OA|＝，|OB|＝.

∵点O到直线l的距离为，且过O向l作垂线，垂足在线段BE上，∴<.

∴集合P中复数模的最大值为，最小值为.