C.{x|0≤x≤1或x≥2}
D.{x|0≤x≤1或x>2}
(2)如果集合A满足若x∈A,则-x∈A,那么就称集合A为“对称集合”.已知集合A={2x,0,x2+x},且A是对称集合,集合B是自然数集,则A∩B=________.
[解析]
(1)因为A={x|0≤x≤2},B={y|y>1},A∪B={x|x≥0},A∩B={x|12},故选D.
(2)由题意可知-2x=x2+x,∴x=0或x=-3.而当x=0时不符合元素的互异性,所以舍去.当x=-3时,A={-6,0,6},所以A∩B={0,6}.
[答案]
(1)D
(2){0,6}
[名师点评] 解决集合创新型问题的方法
(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在.
(2)用好集合的性质.集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础,也是突破口,在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的性质.
1.(2015·安徽安庆一中、安师大附中联考)设集合S={A0,A1,A2},在S上定义运算⊕:
Ai⊕Aj=Ak,其中k为i+j被3除的余数,i,j∈{1,2,3},则使关系式(Ai⊕Aj)⊕Ai=A0成立的有序数对(i,j)总共有( )
A.1对 B.2对
C.3对D.4对
解析:
选C.i=1时,j=1符合要求;i=2时,j=2符合要求;i=3时,j=3符合要求,所以使关系式(Ai⊕Aj)⊕Ai=A0成立的有序数对(i,j)有(1,1),(2,2),(3,3),共3对.
2.(2015·广东揭阳模拟)对于集合M,定义函数fM(x)=
对于两个集合A,B,定义集合A△B={x|fA(x)·fB(x)=-1}.已知A={2,4,6,8,10},B={1,2,4,8,12},则用列举法写出集合A△B的结果为________.
解析:
要使fA(x)·fB(x)=-1,必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}={1,6,10,12},所以A△B={1,6,10,12}.
答案:
{1,6,10,12}
1.(2015·河南省洛阳市统一考试)已知集合A={1,2,4},则集合B={(x,y)|x∈A,y∈A}中元素的个数为( )
A.3 B.6
C.8D.9
解析:
选D.集合B中元素有(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2),(4,4),共9个.
2.已知集合A={x|y=
,x∈R},B={x|x=m2,m∈A},则( )
A.ABB.BA
C.A⊆BD.B⊆A
解析:
选B.由题意知A={x|y=
,x∈R},∴A={x|-1≤x≤1},∴B={x|x=m2,m∈A}={x|0≤x≤1},∴BA,故选B.
3.(2014·高考江西卷)设全集为R,集合A={x|x2-9<0},B={x|-1<x≤5},则A∩(∁RB)=( )
A.(-3,0)B.(-3,-1)
C.(-3,-1]D.(-3,3)
解析:
选C.由题意知,A={x|x2-9<0}={x|-3<x<3},
∵B={x|-1<x≤5},∴∁RB={x|x≤-1或x>5}.
∴A∩(∁RB)={x|-3<x<3}∩{x|x≤-1或x>5}={x|-3<x≤-1}.
4.(2015·福建南安一中期末)全集U=R,A={x|x2-2x≤0},B={y|y=cosx,x∈R},则图中阴影部分表示的集合为( )
A.{x|x<-1或x>2}B.{x|-1≤x≤2}
C.{x|x≤1}D.{x|0≤x≤1}
解析:
选D.阴影部分表示的集合是A∩B.依题意知,A={x|0≤x≤2},B={y|-1≤y≤1},∴A∩B={x|0≤x≤1},故选D.
5.(2015·山东临沂期中)已知全集U=R,集合A={x|x2-3x+2>0},B={x|x-a≤0},若∁UB⊆A,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1)B.(-∞,2]
C.[1,+∞)D.[2,+∞)
解析:
选D.∵x2-3x+2>0,∴x>2或x<1.
∴A={x|x>2或x<1},∵B={x|x≤a},
∴∁UB={x|x>a}.
∵∁UB⊆A,借助数轴可知a≥2,故选D.
6.已知集合A={x|x2-2x+a>0},且1∉A,则实数a的取值范围是________.
解析:
∵1∉{x|x2-2x+a>0},∴1∈{x|x2-2x+a≤0},即1-2+a≤0,∴a≤1.
答案:
(-∞,1]
7.(2015·江西八校联考)已知R是实数集,集合M={x|
<1},N={y|y=t-2
,t≥3},则N∩∁RM=________.
解析:
解不等式
<1,得x<0或x>3,所以∁RM=[0,3].令
=x,x≥0,则t=x2+3,所以y=x2-2x+3≥2,即N=[2,+∞).所以N∩∁RM=[2,3].
答案:
[2,3]
8.已知全集U={-2,-1,0,1,2},集合A=
,则∁UA=________.
解析:
因为A=
,
当n=0时,x=-2;n=1时不合题意;
n=2时,x=2;n=3时,x=1;
n≥4时,x∉Z;n=-1时,x=-1;
n≤-2时,x∉Z.
故A={-2,2,1,-1},
又U={-2,-1,0,1,2},所以∁UA={0}.
答案:
{0}
9.已知集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},分别求适合下列条件的a的值.
(1)9∈(A∩B);
(2){9}=A∩B.
解:
(1)∵9∈(A∩B),
∴2a-1=9或a2=9,
∴a=5或a=3或a=-3.
当a=5时,
A={-4,9,25},B={0,-4,9};
当a=3时,a-5=1-a=-2,不满足集合元素的互异性;
当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},
所以a=5或a=-3.
(2)由
(1)可知,当a=5时,
A∩B={-4,9},不合题意,
当a=-3时,A∩B={9}.
所以a=-3.
10.(2015·河北衡水模拟)设全集I=R,已知集合M={x|(x+3)2≤0},N={x|x2+x-6=0}.
(1)求(∁IM)∩N;
(2)记集合A=(∁IM)∩N,已知集合B={x|a-1≤x≤5-a,a∈R},若A∪B=A,求实数a的取值范围.
解:
(1)∵M={x|(x+3)2≤0}={-3},
N={x|x2+x-6=0}={-3,2},
∴∁IM={x|x∈R且x≠-3},
∴(∁IM)∩N={2}.
(2)A=(∁IM)∩N={2},
∵A∪B=A,∴B⊆A,
∴B=∅或B={2},
当B=∅时,a-1>5-a,得a>3;
当B={2}时,
,解得a=3,
综上所述,所求a的取值范围为{a|a≥3}.
1.(2015·河南郑州模拟)已知集合A={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈R},B={(x,y)|x2+y2=1,x,y∈R},则集合A∩B的元素个数是( )
A.0B.1
C.2D.3
解析:
选C.法一:
(解方程组)集合A∩B的元素个数即为方程组
解的个数,
解方程组得
或
有两组解,故选C.
法二:
(数形结合)在同一坐标系下画出直线x+y-1=0和圆x2+y2=1的图象,
如图,直线与圆有两个交点.即A∩B的元素个数是2,故选C.
2.已知数集A={a1,a2,…,an}(1≤a1对任意的i,j(1≤i≤j≤n),aiaj与
两数中至少有一个属于A,则称集合A为“权集”,则( )
A.{1,3,4}为“权集”
B.{1,2,3,6}为“权集”
C.“权集”中可以有元素0
D.“权集”中一定有元素1
解析:
选B.由于3×4与
均不属于数集{1,3,4},故A不正确;由于1×2,1×3,1×6,2×3,
,
,
,
,
,
都属于数集{1,2,3,6},故B正确;由“权集”的定义可知
需有意义,故不能有0,同时不一定有1,C,D错误,故选B.
3.已知集合A={x|x2-2x-8≤0},B={x|x2-(2m-3)x+m(m-3)≤0,m∈R},若A∩B=[2,4],则实数m=________.
解析:
由题知A=[-2,4],B=[m-3,m],因为A∩B=[2,4],故
,则m=5.
答案:
5
4.某校田径队共30人,主要专练100m,200m与400m.其中练100m的有12人,练200m的有15人,只练400m的有8人.则参加100m的专练人数为________.
解析:
用Venn图表示
A代表练100m的人员集合,
B代表练200m的人员集合,
C代表练400m的人员集合,
U代表田径队共30人的集合,
设既练100m又练200m的人数为x,则专练100m的人数为12-x.
∴12-x+15+8=30,
解得x=5.
所以专练100m的人