学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义第二章 点直线平面之间的位置关系221.docx

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学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义第二章点直线平面之间的位置关系221

2.2.1　直线与平面平行的判定

学习目标

　1.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理.2.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题．

知识点　直线与平面平行的判定定理

思考1　如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD（不落在α内）和平面α有何位置关系？

答案　平行．

思考2　如图，平面α外的直线a平行于平面α内的直线b.这两条直线共面吗？

直线a与平面α相交吗？

答案　由于直线a∥b，所以两条直线共面．直线a与平面α不相交．

梳理　线面平行的判定定理

表示

定理

图形

文字

符号

直线与平面平行的判定定理

平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行

⇒a∥α

类型一　直线与平面位置关系的判定

例1　如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是（　　）

A．相交B．b∥α

C．b⊂αD．b∥α或b⊂α

答案　D

解析　由a∥b，且a∥α，知b与α平行或b⊂α.

反思与感悟　用判定定理判定直线a和平面α平行时，必须具备三个条件：

（1）直线a在平面α外，即a⊄α；

（2）直线b在平面α内，即b⊂α；

（3）两直线a、b平行，即a∥b，这三个条件缺一不可．

跟踪训练1　下列说法正确的是（　　）

A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α

B．若直线a在平面α外，则a∥α

C．若直线a∩b＝∅，直线b⊂α，则a∥α

D．若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线

答案　D

解析　A错误，直线l还可以在平面α内；B错误，直线a在平面α外，包括平行和相交；C错误，a还可以与平面α相交或在平面α内．故选D.

类型二　直线与平面平行的证明

例2　如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且

＝

.

求证：

MN∥平面SBC.

证明　连接AN并延长交BC于P，连接SP.

因为AD∥BC，所以

＝

，

又因为

＝

，所以

＝

，所以MN∥SP，

又MN⊄平面SBC，SP⊂平面SBC，

所以MN∥平面SBC.

引申探究

本例中若M，N分别是SA，BD的中点，试证明，MN∥平面SBC.

证明　连接AC，由平行四边形的性质可知AC必过BD的中点N，在△SAC中，M，N分别为SA，AC的中点，所以MN∥SC，又因为SC⊂平面SBC，MN⊄平面SBC，所以MN∥平面SBC.

反思与感悟　利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤

上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：

利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理．

跟踪训练2　如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点．求证：

MN∥平面PAD.

证明　如图，取PD的中点G，连接GA，GN.

∵G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点，

∴GN∥DC，GN＝

DC.

∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点，

∴AM＝

DC，AM∥DC，∴AM綊GN，

∴四边形AMNG为平行四边形，∴MN∥AG.

又∵MN⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，

∴MN∥平面PAD.

例3　如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点，证明：

BC1∥平面A1CD.

证明　如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．

又∵D是AB的中点，连接DF，

则BC1∥DF.

∵DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，

∴BC1∥平面A1CD.

反思与感悟　证明以柱体为背景包装的线面平行证明题，常用线面平行的判定定理，遇到题目中含有线段中点，常利用取中点去寻找平行线．

跟踪训练3　如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1.

（1）求证：

BC1∥平面AB1D1；

（2）若E，F分别是D1C，BD的中点，求证：

EF∥平面ADD1A1.

证明　

（1）∵BC1⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，BC1∥AD1，∴BC1∥平面AB1D1.

（2）∵点F为BD的中点，∴F为AC的中点，又∵点E为D1C的中点，∴EF∥AD1，∵EF⊄平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，∴EF∥平面ADD1A1.

1．如果直线a平行于平面α，则（　　）

A．平面α内有且只有一直线与a平行

B．平面α内无数条直线与a平行

C．平面α内不存在与a平行的直线

D．平面α内的任意直线与直线a都平行

答案　B

2．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为平面ABCD和平面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

答案　D

解析　由直线与平面平行的判定定理知．EF与平面AB′，平面BC′，平面CD′，平面AD′均平行．故与EF平行的平面有4个．

3．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则A1C1与平面ACE的位置关系为________．

答案　平行

解析　∵A1C1∥AC，A1C1⊄平面ACE，AC⊂平面ACE，∴A1C1∥平面ACE.

4．如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别是AB、PD的中点．

求证：

AF∥平面PCE.

证明　如图，取PC的中点M，连接ME、MF，

则FM∥CD且FM＝

CD.

又∵AE∥CD且AE＝

CD，

∴FM綊AE，即四边形AFME是平行四边形，

∴AF∥ME.

又∵AF⊄平面PCE，EM⊂平面PCE，

∴AF∥平面PCE.

1．判断或证明线面平行的常用方法

（1）定义法：

证明直线与平面无公共点（不易操作）．

（2）判定定理法：

（a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α）．

（3）排除法：

证明直线与平面不相交，直线也不在平面内．

2．证明线线平行的常用方法

（1）利用三角形、梯形中位线的性质．

（2）利用平行四边形的性质．

（3）利用平行线分线段成比例定理．

课时作业

一、选择题

1．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是（　　）

A．b∥α

B．b与α相交

C．b⊂α

D．b∥α或b与α相交

答案　D

解析　由题意画出图形，当a，b所在平面与平面α平行时，b与平面α平行，当a，b所在平面与平面α相交时，b与平面α相交．

2．若l是平面α外的一条直线，则下列条件中可推出l∥α的是（　　）

A．l与α内的一条直线不相交

B．l与α内的两条直线不相交

C．l与α内的无数条直线不相交

D．l与α内的任意一条直线不相交

答案　D

解析　根据直线与平面的位置关系易判断选项D正确．

3．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是（　　）

A．l∥α

B．l⊥α

C．l与α相交但不垂直

D．l∥α或l⊂α

答案　D

解析　l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等．l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；l⊥α时，直线l上有两个点到α的距离相等；l与α斜交时，也只能有两点到α的距离相等．

4．点E，F，G，H分别是空间四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

答案　C

解析　如图，由线面平行的判定定理可知BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.

5．已知直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线a的直线（　　）

A．只有一条，不在平面α内

B．有无数条，不一定在平面α内

C．只有一条，且在平面α内

D．有无数条，一定在平面α内

答案　C

解析　由平行公理知过点P作与直线a平行的直线有且只有一条，又由线面平行的判定定理得，该直线一定在平面内．

6．直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面（　　）

A．有且只有一个

B．有无数多个

C．有且只有一个或不存在

D．不存在

答案　A

解析　在a上任取一点A，则过A与b平行的直线有且只有一条，设为b′，又∵a∩b′＝A，∴a与b′确定一个平面α，即为过a与b平行的平面，可知它是唯一的．

7．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：

①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.

其中正确的个数有（　　）

A．1B．2C．3D．4

答案　C

解析　由题意知，OM是△BPD的中位线，∴OM∥PD，故①正确；PD⊂平面PCD，OM⊄平面PDC，∴OM∥平面PCD，故②正确；同理可得：

OM∥平面PDA，故③正确；OM与平面PBA和平面PBC都相交，故④，⑤不正确．故共有3个结论正确．

8．如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1中，E是BC的中点，D是AA1上的动点，且

＝m，若AE∥平面DB1C，则m的值为（　　）

A.

B．1C.

D．2

答案　B

解析　如图，取CB1的中点G，连接GE，DG，当m＝1时，AD＝GE＝

BB1且AD∥GE，∴四边形ADGE为平行四边形，则AE∥DG，可得AE∥平面DB1C.

二、填空题

9．过平面外一点，与该平面平行的直线有________条，如果直线m平行于平面，那么在平面内有________条直线与直线m平行．

答案　无数　无数

10．考查下列两个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中a、b为不同的直线，α、β为不重合的平面），则此条件为________．

　⇒a∥α；

⇒a∥α.

答案　a⊄α　a⊄α

解析　根据线面平行的判定定理知，①处横线上应填a⊄α；②处横线上应填a⊄α.

11．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是________．

答案　平行

解析　如图，连接BD，与AC交于点O，连接OE.

∵OE为△BDD1的中位线，∴BD1∥OE.

又BD1⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，

∴BD1∥平面AEC.

三、解答题

12．如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB的中点．

求证：

PD∥平面MAC.

证明　如图所示，连接BD交AC于点O，连接MO，

则MO为△BDP的中位线，∴PD∥MO.

∵PD⊄平面MAC，MO⊂平面MAC，

∴PD∥平面MAC.

13．如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．

求证：

BD∥平面FGH.

证明　如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH.

在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF綊GC，

所以四边形DFCG为平行四边形，

则O为CD的中点，

又H为BC的中点，所以OH∥BD.

又OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，

所以BD∥平面FGH.

四、探究与拓展

14．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的是（　　）

A．①③B．①④

C．②③D．②④

答案　B

解析　①如图（ⅰ），连接BC，则平面ABC∥平面MNP，所以AB∥平面MNP，所以①正确．②如图（ⅱ），连接底面正方形对角线，并取其中点O，连接ON，则ON∥AB，所以AB与平面PMN相交，不平行，所以②不满足题意．③AB与平面PMN相交，不平行，所以③不满足题意．④因为AB∥NP，所以AB∥平面MNP.所以④正确．

故答案为①④.

15．如图，四边形ABCD为正方形，△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE.若存在，指出点M的位置，并证明你的结论．

解　如图，存在点M，当点M是线段AE的中点时，

PM∥平面BCE.

取BE的中点N，连接CN，MN，

则MN綊

AB綊PC，

所以四边形MNCP为平行四边形，所以PM∥CN.

因为PM⊄平面BCE，CN⊂平面BCE，

所以PM∥平面BCE.