学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义第二章 点直线平面之间的位置关系221.docx
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学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义第二章点直线平面之间的位置关系221
2.2.1 直线与平面平行的判定
学习目标
1.通过直观感知、操作确认,归纳出直线与平面平行的判定定理.2.掌握直线与平面平行的判定定理,并能初步利用定理解决问题.
知识点 直线与平面平行的判定定理
思考1 如图,一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内,把这块木板绕AB转动,在转动过程中,AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系?
答案 平行.
思考2 如图,平面α外的直线a平行于平面α内的直线b.这两条直线共面吗?
直线a与平面α相交吗?
答案 由于直线a∥b,所以两条直线共面.直线a与平面α不相交.
梳理 线面平行的判定定理
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直线与平面平行的判定定理
平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行
⇒a∥α
类型一 直线与平面位置关系的判定
例1 如果两直线a∥b,且a∥α,则b与α的位置关系是( )
A.相交B.b∥α
C.b⊂αD.b∥α或b⊂α
答案 D
解析 由a∥b,且a∥α,知b与α平行或b⊂α.
反思与感悟 用判定定理判定直线a和平面α平行时,必须具备三个条件:
(1)直线a在平面α外,即a⊄α;
(2)直线b在平面α内,即b⊂α;
(3)两直线a、b平行,即a∥b,这三个条件缺一不可.
跟踪训练1 下列说法正确的是( )
A.若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α
B.若直线a在平面α外,则a∥α
C.若直线a∩b=∅,直线b⊂α,则a∥α
D.若直线a∥b,b⊂α,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线
答案 D
解析 A错误,直线l还可以在平面α内;B错误,直线a在平面α外,包括平行和相交;C错误,a还可以与平面α相交或在平面α内.故选D.
类型二 直线与平面平行的证明
例2 如图,S是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别是SA,BD上的点,且
=
.
求证:
MN∥平面SBC.
证明 连接AN并延长交BC于P,连接SP.
因为AD∥BC,所以
=
,
又因为
=
,所以
=
,所以MN∥SP,
又MN⊄平面SBC,SP⊂平面SBC,
所以MN∥平面SBC.
引申探究
本例中若M,N分别是SA,BD的中点,试证明,MN∥平面SBC.
证明 连接AC,由平行四边形的性质可知AC必过BD的中点N,在△SAC中,M,N分别为SA,AC的中点,所以MN∥SC,又因为SC⊂平面SBC,MN⊄平面SBC,所以MN∥平面SBC.
反思与感悟 利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键,其常用方法有:
利用三角形、梯形中位线的性质;利用平行四边形的性质;利用平行线分线段成比例定理.
跟踪训练2 如图,四边形ABCD是平行四边形,P是平面ABCD外一点,M,N分别是AB,PC的中点.求证:
MN∥平面PAD.
证明 如图,取PD的中点G,连接GA,GN.
∵G,N分别是△PDC的边PD,PC的中点,
∴GN∥DC,GN=
DC.
∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点,
∴AM=
DC,AM∥DC,∴AM綊GN,
∴四边形AMNG为平行四边形,∴MN∥AG.
又∵MN⊄平面PAD,AG⊂平面PAD,
∴MN∥平面PAD.
例3 如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AB的中点,证明:
BC1∥平面A1CD.
证明 如图,连接AC1交A1C于点F,则F为AC1的中点.
又∵D是AB的中点,连接DF,
则BC1∥DF.
∵DF⊂平面A1CD,BC1⊄平面A1CD,
∴BC1∥平面A1CD.
反思与感悟 证明以柱体为背景包装的线面平行证明题,常用线面平行的判定定理,遇到题目中含有线段中点,常利用取中点去寻找平行线.
跟踪训练3 如图所示,已知长方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)求证:
BC1∥平面AB1D1;
(2)若E,F分别是D1C,BD的中点,求证:
EF∥平面ADD1A1.
证明
(1)∵BC1⊄平面AB1D1,AD1⊂平面AB1D1,BC1∥AD1,∴BC1∥平面AB1D1.
(2)∵点F为BD的中点,∴F为AC的中点,又∵点E为D1C的中点,∴EF∥AD1,∵EF⊄平面ADD1A1,AD1⊂平面ADD1A1,∴EF∥平面ADD1A1.
1.如果直线a平行于平面α,则( )
A.平面α内有且只有一直线与a平行
B.平面α内无数条直线与a平行
C.平面α内不存在与a平行的直线
D.平面α内的任意直线与直线a都平行
答案 B
2.如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,E,F分别为平面ABCD和平面A′B′C′D′的中心,则正方体的六个面中与EF平行的平面有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
答案 D
解析 由直线与平面平行的判定定理知.EF与平面AB′,平面BC′,平面CD′,平面AD′均平行.故与EF平行的平面有4个.
3.如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E是DD1的中点,则A1C1与平面ACE的位置关系为________.
答案 平行
解析 ∵A1C1∥AC,A1C1⊄平面ACE,AC⊂平面ACE,∴A1C1∥平面ACE.
4.如图,P是平行四边形ABCD所在平面外一点,E、F分别是AB、PD的中点.
求证:
AF∥平面PCE.
证明 如图,取PC的中点M,连接ME、MF,
则FM∥CD且FM=
CD.
又∵AE∥CD且AE=
CD,
∴FM綊AE,即四边形AFME是平行四边形,
∴AF∥ME.
又∵AF⊄平面PCE,EM⊂平面PCE,
∴AF∥平面PCE.
1.判断或证明线面平行的常用方法
(1)定义法:
证明直线与平面无公共点(不易操作).
(2)判定定理法:
(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α).
(3)排除法:
证明直线与平面不相交,直线也不在平面内.
2.证明线线平行的常用方法
(1)利用三角形、梯形中位线的性质.
(2)利用平行四边形的性质.
(3)利用平行线分线段成比例定理.
课时作业
一、选择题
1.已知a,b是两条相交直线,a∥α,则b与α的位置关系是( )
A.b∥α
B.b与α相交
C.b⊂α
D.b∥α或b与α相交
答案 D
解析 由题意画出图形,当a,b所在平面与平面α平行时,b与平面α平行,当a,b所在平面与平面α相交时,b与平面α相交.
2.若l是平面α外的一条直线,则下列条件中可推出l∥α的是( )
A.l与α内的一条直线不相交
B.l与α内的两条直线不相交
C.l与α内的无数条直线不相交
D.l与α内的任意一条直线不相交
答案 D
解析 根据直线与平面的位置关系易判断选项D正确.
3.一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等,那么直线l与平面α的位置关系是( )
A.l∥α
B.l⊥α
C.l与α相交但不垂直
D.l∥α或l⊂α
答案 D
解析 l∥α时,直线l上任意点到α的距离都相等.l⊂α时,直线l上所有的点到α的距离都是0;l⊥α时,直线l上有两个点到α的距离相等;l与α斜交时,也只能有两点到α的距离相等.
4.点E,F,G,H分别是空间四面体ABCD的棱AB,BC,CD,DA的中点,则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是( )
A.0B.1C.2D.3
答案 C
解析 如图,由线面平行的判定定理可知BD∥平面EFGH,AC∥平面EFGH.
5.已知直线a∥平面α,P∈α,那么过点P且平行于直线a的直线( )
A.只有一条,不在平面α内
B.有无数条,不一定在平面α内
C.只有一条,且在平面α内
D.有无数条,一定在平面α内
答案 C
解析 由平行公理知过点P作与直线a平行的直线有且只有一条,又由线面平行的判定定理得,该直线一定在平面内.
6.直线a,b为异面直线,过直线a与直线b平行的平面( )
A.有且只有一个
B.有无数多个
C.有且只有一个或不存在
D.不存在
答案 A
解析 在a上任取一点A,则过A与b平行的直线有且只有一条,设为b′,又∵a∩b′=A,∴a与b′确定一个平面α,即为过a与b平行的平面,可知它是唯一的.
7.如图所示,P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线交点为O,M为PB的中点,给出五个结论:
①OM∥PD;②OM∥平面PCD;③OM∥平面PDA;④OM∥平面PBA;⑤OM∥平面PBC.
其中正确的个数有( )
A.1B.2C.3D.4
答案 C
解析 由题意知,OM是△BPD的中位线,∴OM∥PD,故①正确;PD⊂平面PCD,OM⊄平面PDC,∴OM∥平面PCD,故②正确;同理可得:
OM∥平面PDA,故③正确;OM与平面PBA和平面PBC都相交,故④,⑤不正确.故共有3个结论正确.
8.如图,已知三棱柱ABC—A1B1C1中,E是BC的中点,D是AA1上的动点,且
=m,若AE∥平面DB1C,则m的值为( )
A.
B.1C.
D.2
答案 B
解析 如图,取CB1的中点G,连接GE,DG,当m=1时,AD=GE=
BB1且AD∥GE,∴四边形ADGE为平行四边形,则AE∥DG,可得AE∥平面DB1C.
二、填空题
9.过平面外一点,与该平面平行的直线有________条,如果直线m平行于平面,那么在平面内有________条直线与直线m平行.
答案 无数 无数
10.考查下列两个命题,在“________”处都缺少同一个条件,补上这个条件使其构成真命题(其中a、b为不同的直线,α、β为不重合的平面),则此条件为________.
⇒a∥α;
⇒a∥α.
答案 a⊄α a⊄α
解析 根据线面平行的判定定理知,①处横线上应填a⊄α;②处横线上应填a⊄α.
11.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,则BD1与过点A,E,C的平面的位置关系是________.
答案 平行
解析 如图,连接BD,与AC交于点O,连接OE.
∵OE为△BDD1的中位线,∴BD1∥OE.
又BD1⊄平面AEC,OE⊂平面AEC,
∴BD1∥平面AEC.
三、解答题
12.如图所示,已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M为PB的中点.
求证:
PD∥平面MAC.
证明 如图所示,连接BD交AC于点O,连接MO,
则MO为△BDP的中位线,∴PD∥MO.
∵PD⊄平面MAC,MO⊂平面MAC,
∴PD∥平面MAC.
13.如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.
求证:
BD∥平面FGH.
证明 如图,连接DG,CD,设CD∩GF=O,连接OH.
在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DF綊GC,
所以四边形DFCG为平行四边形,
则O为CD的中点,
又H为BC的中点,所以OH∥BD.
又OH⊂平面FGH,BD⊄平面FGH,
所以BD∥平面FGH.
四、探究与拓展
14.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的是( )
A.①③B.①④
C.②③D.②④
答案 B
解析 ①如图(ⅰ),连接BC,则平面ABC∥平面MNP,所以AB∥平面MNP,所以①正确.②如图(ⅱ),连接底面正方形对角线,并取其中点O,连接ON,则ON∥AB,所以AB与平面PMN相交,不平行,所以②不满足题意.③AB与平面PMN相交,不平行,所以③不满足题意.④因为AB∥NP,所以AB∥平面MNP.所以④正确.
故答案为①④.
15.如图,四边形ABCD为正方形,△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,P是线段CD的中点,在直线AE上是否存在一点M,使得PM∥平面BCE.若存在,指出点M的位置,并证明你的结论.
解 如图,存在点M,当点M是线段AE的中点时,
PM∥平面BCE.
取BE的中点N,连接CN,MN,
则MN綊
AB綊PC,
所以四边形MNCP为平行四边形,所以PM∥CN.
因为PM⊄平面BCE,CN⊂平面BCE,
所以PM∥平面BCE.