清华大学弹性力学冯西桥FXQ-Chapter-05本构关系_精品文档.ppt

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1冯冯西西桥桥清华大学工程力学系清华大学工程力学系2006.11.02第五章第五章本构关系本构关系ConstitutiveRelation2目录Chapter5引言弹性的定义广义胡克定律应变能和应变余能应变能的正定性3Differencebetweensolidsandfluids.MechanicsofSolids,TheNewEncyclopediaofBritannica,15thedition,Vol.23,pp.734-747,2002.“Amaterialiscalledsolidratherthanfluidifitcanalsosupportasubstantialshearingforceoverthetimescaleofsomenaturalprocessortechnologicalapplicationofinterest.”J.R.Rice3Chapter2.1弹性的定义4引言Chapter5应力张量ss应力平衡方程：

位移矢量uu应变张量ee几何方程：

（应变协调方程：

）5本构关系材料的变形与所受应力之间的关系；是材料本身所固有的性质；本构关系的研究是固体力学最重要的课题之一。

引言Chapter56目录Chapter5引言弹性的定义广义胡克定律应变能和应变余能应变能的正定性7Chapter5.1由实验可知当加载到由实验可知当加载到A点后点后卸载，卸载，加载与卸载路径并不加载与卸载路径并不完全重合完全重合，亦即应力与应变，亦即应力与应变之间之间不是单值对应不是单值对应的关系。

的关系。

OBACO称为称为滞后回线滞后回线。

其。

其所包含的面积称为所包含的面积称为滞后面积滞后面积。

弹性的定义8Chapter5.1对大多数材料来讲，当对大多数材料来讲，当应力加载幅值较小时，应力加载幅值较小时，滞后回线非常窄小，可滞后回线非常窄小，可以认为加载与卸载是以认为加载与卸载是重重合合的。

因此应力与应变的。

因此应力与应变间可看作是间可看作是单值对应单值对应关关系。

系。

弹性的定义9弹性本构关系：

弹性本构关系：

其中其中4Chapter2.1弹性的定义10弹性本构关系：

弹性本构关系：

l应力与应变率无关，也不依赖于变形历史；应力与应变率无关，也不依赖于变形历史；l没有迟滞效应。

没有迟滞效应。

小变形弹性本构关系小变形弹性本构关系均匀材料的小变形弹性本构关系均匀材料的小变形弹性本构关系均匀材料的小变形线弹性本构关系均匀材料的小变形线弹性本构关系6Chapter2.1弹性的定义11Chapter5.1各向同性弹性体假设物体是假设物体是均匀均匀、连续连续、各向同性各向同性的，应力和应的，应力和应变间的关系只决定于物体的物理性质，应力和应变之变间的关系只决定于物体的物理性质，应力和应变之间的关系与坐标的位置和方向无关。

间的关系与坐标的位置和方向无关。

下面所研究的物体仅限于下面所研究的物体仅限于完全弹性完全弹性体，即当物体体，即当物体除去外力后变形完全消失而恢复原状，而且应力与应除去外力后变形完全消失而恢复原状，而且应力与应变间成单值的线性关系。

变间成单值的线性关系。

弹性的定义12两个假设两个假设弹性体的响应仅依赖于当前的状态；弹性体的响应仅依赖于当前的状态；弹性体变形可以用一个状态张量关系表示。

弹性体变形可以用一个状态张量关系表示。

7Chapter2.1超弹性（Green）弹性的定义13线弹性:

广义胡克定律:

8Chapter2.1超弹性（Green）弹性的定义14,14Chapter2.2晶体弹性的定义15,15Chapter2.2silicon晶体弹性的定义16,16Chapter2.2晶体三斜单斜正交三角四方六方立方弹性的定义1717Chapter2.2长链高分子弹性的定义18本构关系Chapter5弹性的定义广义胡克定律应变能和应变余能应变能的正定性19广义胡克定律Chapter5.1单向应力状态时的胡克定律是单向应力状态时的胡克定律是式中式中E称为弹性模量。

对于一种材称为弹性模量。

对于一种材料在一定温度下，料在一定温度下，E是常数。

是常数。

杨氏模量20广义胡克定律Chapter5.1在单向拉伸时，在垂直于力作用线的方向发生收缩。

在单向拉伸时，在垂直于力作用线的方向发生收缩。

在弹性极限内，横向相对缩短在弹性极限内，横向相对缩短和纵向相对伸长和纵向相对伸长成正比，因缩短与伸长的符号相反，有：

成正比，因缩短与伸长的符号相反，有：

其中其中是弹性常数，称为是弹性常数，称为泊松比泊松比。

泊松比21广义胡克定律Chapter5.1先考虑在各正应力作用先考虑在各正应力作用下沿下沿x轴的相对伸长，它轴的相对伸长，它由三部分组成，即由三部分组成，即线弹性叠加原理22广义胡克定律Chapter5.1其中其中是由于是由于x的作用所产生的相对伸长的作用所产生的相对伸长是由于是由于y的作用所产生的相对缩短的作用所产生的相对缩短是由于是由于z的作用所产生的相对缩短的作用所产生的相对缩短23广义胡克定律Chapter5.1将上述三个应变相加，即得在将上述三个应变相加，即得在x、y、z同时作用下同时作用下在在x轴方向的应变轴方向的应变同理可得到在同理可得到在y轴和轴和z轴方向的应变轴方向的应变24广义胡克定律Chapter5.1根据实验可知，根据实验可知，xy只引起只引起xy坐标面内的剪应变坐标面内的剪应变xy，而不引起而不引起xz、yz，于是可得，于是可得同理同理25广义胡克定律Chapter5.1于是，得到各向同性材料的应变于是，得到各向同性材料的应变-应力关系：

应力关系：

26广义胡克定律Chapter5.1杨氏模量，泊松比和剪切模量之间的关系为杨氏模量，泊松比和剪切模量之间的关系为将弹性本构关系写成指标形式为将弹性本构关系写成指标形式为27广义胡克定律Chapter5.128广义胡克定律Chapter5.1如用应变第一不变量如用应变第一不变量代替三个正应变之和，用应力第代替三个正应变之和，用应力第一不变量一不变量表示三个正应力之和，则表示三个正应力之和，则其中其中称为体积模量。

称为体积模量。

29广义胡克定律Chapter5.1令则30广义胡克定律Chapter5.1弹性关系的常规形式为弹性关系的常规形式为其中其中G和和称为称为拉梅常数拉梅常数。

31广义胡克定律Chapter5.1将应力和应变张量分解成球量和偏量，得将应力和应变张量分解成球量和偏量，得由于偏量和球量相互独立由于偏量和球量相互独立，所以有，所以有32广义胡克定律Chapter5.1第一式说明弹性体的体积变化第一式说明弹性体的体积变化是由平均应力是由平均应力0引起引起的，相应的弹性常数的，相应的弹性常数K称为体积模量。

称为体积模量。

（体积变化体积变化）第二式说明弹性体的形状畸变第二式说明弹性体的形状畸变是由应力偏量是由应力偏量引起的，相应的弹性常数是剪切模量引起的，相应的弹性常数是剪切模量G的二倍。

的二倍。

（形状形状变化变化）33广义胡克定律常用的三套弹性常数常用的三套弹性常数E、单拉测定单拉测定Lam常数常数：

G、K、G静水压、纯剪静水压、纯剪（扭转）测定（扭转）测定Chapter5.134广义胡克定律Chapter5.1对于给定的工程材料，可以用单向拉伸试验测定对于给定的工程材料，可以用单向拉伸试验测定E和和；用薄壁筒扭转试验来测定；用薄壁筒扭转试验来测定G；用静水压试验来测；用静水压试验来测定定K。

实验表明，在这三种加载情况下物体的变形总。

实验表明，在这三种加载情况下物体的变形总是和加载方向一致的是和加载方向一致的（即外力总在物体变形上做正功即外力总在物体变形上做正功），所以，所以35广义胡克定律Chapter5.1故要上式成立必要求：

故要上式成立必要求：

即即36广义胡克定律Chapter5.1若设若设0.5，则体积模量，则体积模量K，称为，称为不可压缩材料不可压缩材料，相应的剪切模量为相应的剪切模量为对实际工程材料的测定值，一般都在对实际工程材料的测定值，一般都在的范围内。

的范围内。

37本构关系Chapter5.2引言弹性的定义广义胡克定律应变能和应变余能应变能的正定性38广义胡克定律各向同性本构关系各向同性本构关系Chapter5.2p对于各向同性材料，正应力在对应方向上只引对于各向同性材料，正应力在对应方向上只引起正应变，剪应力在对应方向上只引起剪应变，起正应变，剪应力在对应方向上只引起剪应变，它们是互不耦合的。

它们是互不耦合的。

39广义胡克定律各向异性本构关系各向异性本构关系Chapter5.2p对于各向异性材料的一般情况，任何一个应力分量对于各向异性材料的一般情况，任何一个应力分量都可能引起任何一个应变分量的变化。

都可能引起任何一个应变分量的变化。

p广义胡克定律的一般形式是：

广义胡克定律的一般形式是：

C是四阶刚度（弹性）张量。

是四阶刚度（弹性）张量。

D是四阶柔度张量。

是四阶柔度张量。

40广义胡克定律NavierNavier（1785-1836）（1785-1836）PoissonPoisson（1781-1840）（1781-1840）Saint-Saint-VenantVenant（1797-1886）（1797-1886）CauchyCauchy（1789-1857）（1789-1857）NeumannNeumann（1798-1895）（1798-1895）VoigtVoigt（1850-1919）（1850-1919）确确定定线线弹弹性性材材料料常常数数的的历历史史过过程程Chapter5.141广义胡克定律Chapter5.1由于应力应变都是二阶张量，且上式对任意的由于应力应变都是二阶张量，且上式对任意的kl均成立，所以根据商判则均成立，所以根据商判则Cijkl是一个四阶张量，称是一个四阶张量，称弹性张量弹性张量，共有，共有81个分量个分量。

弹性张量的弹性张量的Voigt对称性对称性42广义胡克定律Chapter5.1下节中将证明43广义胡克定律Chapter5.1独立的弹性常数由独立的弹性常数由81个降为个降为36个个44广义胡克定律Chapter5.1其中其中即即c的下角标的下角标1、2、3、4、5、6分别对应于分别对应于C的双指的双指标标11、22、33、12、23、31。

应该指出，改写后的。

应该指出，改写后的cmn（m,n16）并并不是张量不是张量。

由于存在由于存在Voigt对称性，所以对称性，所以对于最一般的各向异性材对于最一般的各向异性材料，独立的料，独立的弹性常数共有弹性常数共有21个个。

45广义胡克定律Chapter5.1

（1）一般各向异性线弹性一般各向异性线弹性：

无弹性对称面无弹性对称面21例：

例：

三斜晶体三斜晶体46广义胡克定律Chapter5.1

（2）具有一个弹性对称面的各向异性线弹性体具有一个弹性对称面的各向异性线弹性体：

13bae2ce1e3e3例：

单斜晶体例：

单斜晶体（正长石和云母等正长石和云母等）e1,e2平面为弹性对称面平面为弹性对称面47广义胡克定律Chapter5.1（3）正交各向异性线弹性体正交各向异性线弹性体：

9例：

正交晶体例：

正交晶体（各种增强纤维复合材料、各种增强纤维复合材料、木材等木材等）互相正交的互相正交的e1-e2，e2-e3,e1-e3平面为弹平面为弹性对称面性对称面ce1e3e2e1ab48广义胡克定律Chapter5.1（4）横观各向同性线弹性体横观各向同性线弹性体：

5例：

六方晶体例：

六方晶体aaac49广义胡克定律Chapter5.1（5）各向同性线弹性体各向同性线弹性体：

2金属（随机排列晶体）、短纤维增强复合