最新电大离散数学任务05答案.docx

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最新电大离散数学任务05答案

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离散数学作业5

离散数学图论部分形成性考核书面作业

本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。

本次形考书面作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业。

要求：

将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求本学期第15周末前完成并上交任课教师（不收电子稿）。

并在05任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。

一、填空题

1．已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是15．

2．设给定图G（如右由图所示），则图G的点割集是

{f},{c,e}．

3．设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则

G的结点V的度数的总和等于边数的两倍．

4．无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且有零个或2个奇数度数的结点．

5．设G=是具有n个结点的简单图，若在G中每一对结点度数之和大于等于n-1，则在G中存在一条汉密尔顿路．

________________________________________________________________________________________________________________________________6．若图G=中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空子集S，在G中删除S中的所有结点得到的连通分支数为W，则S中结点数|S|与W满足的关系式为W（G-S）小于等于|S|．

7．设完全图K

有n个结点（n2），m条边，当n是奇数且大于等于3时，K

中存在欧拉回路．

8．结点数v与边数e满足e=v-1关系的无向连通图就是树．

9．设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去

4条边后使之变成树．

10．设正则5叉树的树叶数为17，则分支数为i=4．

二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）

1．如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路．．

答：

对。

因为结点度数均为偶数，因此必是连通图，根据定理4.1.1,G存在一条欧拉回路。

2．如下图所示的图G存在一条欧拉回路．

答：

对。

图G符合定理4.1.1

3．如下图所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图．

G

答：

对。

因为符合汉密尔顿图的定义。

4．设G是一个有7个结点16条边的连通图，则G为平面图．

答：

不对。

因为G（v,e）如果是平面图，必须有e小于等于3v-6

16不能小于等于3*7-6，因此G不是平面图。

____________________________________________________________________________________________________________________________5．设G是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G有7个面．

答：

对。

因为6-11+7=2符合欧拉定理v–e+r=2。

三、计算题

1．设G=，V={v1，v2，v3，v4，v5}，E={（v1,v3），（v2,v3），（v2,v4），（v3,v4），（v3,v5），（v4,v5）}，试

（1）给出G的图形表示；

（2）写出其邻接矩阵；

（3）求出每个结点的度数；（4）画出其补图的图形．

答：

（1）：

（2）邻接矩阵为：

（3）

deg（v1）=1,deg（v2）=2,deg（v3）=4,deg（v4）=3,deg（v5）=2.

（4）图G的补图为

2．图G=，其中V={a,b,c,d,e}，E={（a,b）,（a,c）,（a,e）,（b,d）,（b,e）,（c,e）,（c,d）,（d,e）}，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试

（1）画出G的图形；

（2）写出G的邻接矩阵；

（3）求出G权最小的生成树及其权值．

答:

（1）：

（2）：

（3）最小生成树：

权W（G）=1+1+2+3=7

3．已知带权图G如右图所示．

（1）求图G的最小生成树；

（2）计算该生成树的权值．

解答:

（1）:

最小生成树

（2）权W（G）=5+1+2+3+7=18

4．设有一组权为2,3,5,7,17,31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权．

解答:

最优二叉树

权W（T）=2*5+3*5+5*4+7*3+17*2+31*1=131

四、证明题

1．设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于3的奇数．证明图G与它的补图

中的奇数度顶点个数相等．

证明：

因为n是奇数，即n阶完全图每个顶点度数为偶数．那么，若G中顶点v的度数为奇数时，在补图

中v的度数一定也是奇数，所以G与

中的奇数度顶点个数相等．

2．设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加

条边才能使其成为欧拉图．

证明：

由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k是偶数．

又根据定理4.1.1的推论，图G是欧拉图的充分必要条件是图G不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图．

故最少要加

条边到图G才能使其成为欧拉图．