k12精品高中数学第一章基本初等函数II12任意角的三角函数124诱导公式示范教案新人教B版必修4.docx

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k12精品高中数学第一章基本初等函数II12任意角的三角函数124诱导公式示范教案新人教B版必修4

1.2.4诱导公式

示范教案

教学分析　　　　　

本节教学内容的安排是学生学过的三角函数定义等知识的延续和拓展．根据上一节任意角的正弦、余弦函数的定义，我们知道某角的三角函数值是由该角的终边上点的坐标给出的．我们根据这一点，即三角函数的定义，结合角α的终边与角π＋α，－α，π－α的终边的对称性，找出这些角的三角函数值与角α的三角函数值之间的关系，并利用这些关系求一些角的三角函数值，化简一些三角函数式，即我们不仅要探索出这些关系式，还要掌握并能利用它们解决一些简单的问题．

诱导公式是求三角函数值的基本方法，求三角函数值是三角函数中的重要问题之一．诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值问题．诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化的思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力、掌握数学的思想方法具有重大的意义．

在本节诱导公式的学习中，关键是紧紧抓住单位圆这一图形工具，充分利用数形结合思想，将化归思想贯穿始终，这些典型的数学思想，无论在本节中的分析导入，还是利用诱导公式将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，都清晰地得到体现．在教学中注意数学思想渗透于知识的传授之中，让学生了解化归思想，形成初步的化归意识．

与传统教材不同的是，这里把2kπ＋α写成α＋2kπ，π＋α写成α＋π.这种改写，更容易使学生理解旋转合成与对称之间的关系．另外改写后的表达式与后面三角函数周期性的表达式统一起来．实践证明，这种改写对学生理解诱导公式和三角函数的性质有利．

四组诱导公式可分3课时讲授，3组练习的A组大部分可选作课堂练习．第一组公式描述各三角函数的周期性：

α与α＋2kπ的终边相同，它们的三角函数值分别相等；第二组公式描述各三角函数奇偶性：

余弦函数是偶函数，正弦和正切函数是奇函数，分别由点关于y轴、x轴的对称点之间的坐标关系导出；第三组描述正弦和余弦函数之间的关系，正切和余切函数（课标没作要求）之间的关系．正是有了这些关系，所以我们只要重点研究正弦函数的性质与图象就可以了．根据这些关系，我们很容易知道余弦和正切函数的性质．这组公式的证明或说明，不同的教材各有千秋．最初的证明是把α作为锐角，利用直角三角形的全等证明，虽有缺陷，不能不说这仍是一个很好的选择，因为这样直观易懂，本教材的证明依据是旋转对称的性质：

任一个旋转变换都可以分解为两个轴对称变换的合成．

三维目标　　　　　

1．通过学生的探究，明了三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想．

2．通过诱导公式的具体运用，熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题，体会数式变形在数学中的作用．

3．掌握诱导公式及其表述的几何意义，通过的诱导公式，掌握正弦函数与余弦函数的关系，能把求任一角的三角函数转化为求大于0小于角的三角函数．

重点难点　　　　　

教学重点：

诱导公式的推导及其灵活运用；三角函数式的求值、化简和证明等．

教学难点：

诱导公式的灵活运用．

课时安排　　　　　

3课时

第一课时

导入新课　　　　　

思路1.（设问引入）根据前面所学的终边相同关系，怎样把绝对值大于2π的任意角的三角函数问题转化为研究绝对值小于2π的角的三角函数问题？

由此导入新课．

思路2.（直接引入）在初中，我们已经会求锐角的三角函数值．这一节我们将研究任意角三角函数之间的某些关系，以及如何求任意角的三角函数值．由此直接进入新课．

推进新课　　　　　

活动：

根据三角函数的定义，学生很容易求出以上三个函数值都是.教师适时引导学生推广到余弦、正切，推广到任意角．并板书说明，这就是我们将要学习的诱导公式

（一）．

（一）

事实上，在直角坐标系中，α与α＋k·2π的终边相同，根据三角函数的定义，它们的三角函数值相等，学生不难得出以上公式．

在学生体验探究成功的愉悦中，教师进一步点拨学生得出：

利用公式一，我们可以把绝对值大于2π的任意角的三角函数问题转化为研究绝对值小于2π的角的三角函数问题．其结构特征是：

等式两边的角为终边相同的角，左右两边的函数名称不变．

讨论结果：

（1）都是；

（2）略．

前面我们探究了角α与α＋k·2πk∈Z的三角函数间的关系，你能在单位圆中画出角α与－α吗？

它们的位置关系怎样？

活动：

让学生在单位圆中画出－α与α，通过复习正角和负角的定义，启发学生思考任意角α和－α的终边的位置关系．

有了上述探究过程的经历，学生会想到用类比的思想方法来进一步探究角α与－α的正弦、余弦函数值的关系．教师演示课件，让学生在动态中感知α与－α的位置关系（如图1）．可让学生自己独立探究、归纳发现公式，体验在自己的发现中成功的愉悦感，以提高数学学习的自信心和进一步探究的欲望．事实上，在单位圆中，作∠MOP＝α，∠MOP′＝－α，不难看出，点P（a，b）和P′（a，－b）关于x轴对称．因此，它们的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反．

图1

于是，得　　　　

（二）

教师点拨学生注意：

无论α是锐角还是任意角，公式均成立．并进一步引导学生观察分析公式二的特点，得出公式二的用途：

可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值，其突出特征是函数名没变．

讨论结果：

－α角的终边与角α的终边关于x轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等，纵坐标互为相反数．

思路1

例1求下列三角函数值：

（1）sin；

（2）sin；（3）sin405°.

活动：

这是直接运用公式的题目，让学生熟悉公式，通过练习加深印象，逐步达到熟练、正确应用的程度．先让学生观察题目中的角的范围，将角α表示成α＋2kπ（k∈Z）的形式．

解：

（1）sin＝sin（＋6π）＝sin＝1；

（2）cos＝cos（＋6π）＝cos＝；

（3）tan405°＝tan（45°＋360°）＝tan45°＝1.

变式训练

1．cos330°等于（　　）

A.　　　　　　　　　　　　　　B．－

C.D．－

答案：

C

2．化简：

.

解：

＝

＝＝

＝＝－1.

例2求下列各三角函数值：

（1）sin（－）；

（2）cos（－）；（3）tan（－）；（4）sin（－）．

解：

（1）sin（－）＝－sin＝－；

（2）cos（－）＝cos＝；

（3）tan（－）＝－tan＝－；

（4）sin（－）＝－sin＝－sin（＋2π）＝－sin＝－.

例3化简cos315°＋sin（－30°）＋sin315°＋cos480°.

活动：

这是要求学生灵活运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目．利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数，再求值、合并、约分．

解：

cos315°＋sin（－30°）＋sin315°＋cos480°

＝cos（360°－45°）－sin30°＋sin（360°－45°）＋cos（360°＋120°）

＝cos（－45°）－－sin45°＋cos120°

＝cos45°－－＋cos（180°－60°）

＝－－－cos60°＝－1.

变式训练

　求证：

＝tanθ.

分析：

利用诱导公式化简较繁的一边，使之等于另一边．

证明：

左边＝

＝

＝＝tanθ＝右边．

所以原式成立．

规律总结：

证明恒等式，一般是化繁为简，可以化简一边，也可以两边都化简.

由学生回顾本节课的学习过程，归纳总结本节课所学到的数学知识及数学思想方法．本节的重点是公式的推导过程及应用．在突出重点的同时，要抓住公式结构特点，善于记忆公式．切实掌握利用单位圆探究问题的数形结合思想，掌握由未知向已知转化的化归思想，并且在合作探究中学会交流，提高我们的合作意识和探究能力．

课本本节练习A　1,2.

本课的教学设计是依据新课程标准和学生已有知识水平和思维能力，按照“教师为主导，学生为主体，思维为主线”的原则而设计的．教师的主导作用在于激发学生的求知欲，为学生创设探索的情境，指引探索的途径，引导学生不断地提出新问题，解决新问题．

本教案的设计思路是：

采用问题设疑，观察演示，步步深入，层层引发，引导联想、类比，进而发现、归纳的探究式思维模式．旨在让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程．在教师适时的启发点拨下，学生在类比、归纳的过程中积极主动地去探索、发现数学规律（公式），培养学生的创新意识、创新精神和灵活思维能力．

第二课时

导入新课　　　　　

思路1.（类比引入）首先让学生回忆上一节课探究诱导公式的过程与方法，是怎样借助单位圆导出的？

利用的是单位圆的哪些几何性质？

并让学生默写上节课所学公式．在此基础上，教师提出可否借助单位圆找出角α与（2k＋1）π（k∈Z）的关系？

由此展开新内容的探究，揭示课题．

思路2.（直接引入）教师引导学生对上节内容稍作复习回顾后提出由于与的终边关于y轴对称，它们的三角函数值会有什么关系呢？

本节我们探究角α与α＋（2k＋1）π（k∈Z）的三角函数间的关系，由此引入新课．

推进新课　　　　　

活动：

让学生可自主探究角α与π＋α的正弦、余弦函数值的关系．教师演示课件，动态的表示出α与π＋α的位置关系（如图1）．在单位圆中，作∠MOP＝α，∠MOP′＝π＋α，不难看出，点P（x，y）和P′（－x，－y）关于原点对称．因此，它们的横坐标绝对值相等且符号相反，纵坐标绝对值相等且符号相反．

（1）　　　　　　　　　　　

（2）

图1

易知，α＋π与α－π，α＋3π，α－3π，…，α＋（2k＋1）π（k∈Z）的终边相同，因此它们的三角函数值也相等．由点P与点P′关于原点对称，它们的对应坐标互为相反数，所以

　　　　（三）

教师指出，这就是诱导公式三，并引导学生进一步观察、分析其特征．

由公式

（一）和（三）可以看出，角α与α加上π的偶数倍的所有三角函数值相等；角α与α加上π的奇数倍的余弦、正弦值互为相反数；角α与α加上π的整数倍的正切值相等．即

sin（α＋nπ）＝　

cos（α＋nπ）＝　

tan（α＋nπ）＝tanα，n∈Z.

因为任意角都可化为α＋kπ的形式，并使|α|≤，所以利用公式

（一）

（二）（三），我们可以把任意角的三角函数求值问题转化为0至之间的角的三角函数求值问题．

公式

（一）

（二）（三）都叫做诱导公式．

利用诱导公式可以求三角函数式的值或化简三角函数式．

如图2，设角α与π－α和单位圆分别相交于点P，P′.

图2

由诱导公式

（二）（三）或点P，P′关于y轴对称，可以得到角α与π－α之间的三角函数的关系．

sin（π－α）＝sinα，

cos（π－α）＝－cosα.

公式（三）的最大结构特征仍是函数名不变．

讨论结果：

（1）略．

（2）角α与α＋π的终边互为反向延长线．

（3）角α与α＋π的终边和单位圆的交点关于原点对称．

（4）略．

通过以上探究，我们得到了三组公式，这给我们的三角函数求值、化简、证明带来了极大便利．教师与学生一起观察分析公式的结构特征，找出记忆的诀窍，强调无论α是锐角还是任意角，公式均成立；可以这样概括说明记忆：

－α，π±α，2π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，或者进一步简记为：

“函数名不变，符号看象限”，点拨、引导学生注意公式中α的任意性．

例1求下列各三角函数值：

（1）sin；

（2）cos（－）；（3）tan（－）；（4）sin930°.

活动：

本例是直接运用公式，目的是让学生熟悉公式，初步体会公式的简单应用．通过练习，加深对公式的理解，解答时可让学生观察题目中角的范围，对照公式找出哪个公式适合解决这个问题，可让学生独立解答，对个别有困难的学生教师对其适时的点拨引导．

解：

（1）sin＝sin（π－）＝sin＝.

（2）cos（－）＝cos（－3π）＝－cos＝－.

（3）tan（－）＝tan（－－3π）＝tan（－）＝－tan＝－.

（4）sin930°＝sin（30°＋5×180°）＝－sin30°＝－.

点评：

把负角由公式二变为正角.

变式训练

　下列各选项中，与sin2008°最接近的是（　　）

A．－　　　　　B.　　　　C.　　　　D．－

答案：

A

　例　2求下列各三角函数值：

（1）sin（－）；

（2）cos；（3）tan（－）；（4）sin870°.

解：

（1）sin（－）＝－sin（＋9π）＝－（－sin）＝.

（2）cos＝cos（－＋3π）＝cos（π－）＝－cos＝－.

（3）tan（－）＝tan（－5π）＝tan＝.

（4）sin870°＝sin（－30°＋5×180°）＝sin（180°－30°）＝sin30°＝.

变式训练

　求下列各角的三角函数值：

（1）sin（－）；　

（2）cos；　（3）cos（－）．

解：

（1）sin（－）＝－sin＝－sin（2π－）＝－（－sin）＝sin＝.

（2）cos＝cos（π－）＝－cos＝－.

（3）cos（－）＝cos＝cos（4π＋π＋）＝cos（π＋）

＝－cos＝－.

例3已知函数f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β），其中a，b，α，β都是非零实数，又知f（2007）＝－1，求f（2008）的值．

解：

f（2007）＝asin（2007π＋α）＋bcos（2007π＋β）

＝－asinα－bcosβ＝－（asinα＋bcosβ），

∵f（2007）＝－1，∴asinα＋bcosβ＝1.

∴f（2008）＝asin（2008π＋α）＋bcos（2008π＋β）＝asinα＋bcosβ＝1.

点评：

解决问题的实质就是由未知向已知转化的过程，在这个过程中一定要抓住关键和要害，注意“整体代入”这一思想的应用．解答本题的关键就是求得式子asinα＋bcosβ＝1，它是联系已知和未知的纽带．

例4化简.

活动：

先利用诱导公式变形为角α的三角函数，再进一步化简．

解：

原式＝＝＝tanαtanα＝tan2α.

1．由学生归纳总结本节学习的数学知识和思想方法，是如何探究出诱导公式（三）的？

怎样利用诱导公式对三角函数进行化简、求值和证明？

2．在熟练掌握利用诱导公式进行解题的同时，应归纳有关角的终边的对称性：

角α与α＋π的终边关于原点对称；角α与－α的终边关于x轴对称；角α与角π－α的终边关于y轴对称．

3．利用诱导公式一、二、三，可以把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值．其基本步骤是：

任意负角的三角函数→相应正角的三角函数→0到2π角的三角函数→锐角三角函数．简单地说就是：

负化正，大化小，化为锐角再查表．

课本本节练习A组　1.

（1）

（2）、2.

（1）

（2）、3.

（1）

（2）．

本节课教学方法主要采用了引导、观察、分析、归纳、讨论、类比发现法，在教案设计过程中，一是立足于知识的发生、发展形成过程，不断创设问题情境，让学生从已有的知识及感知中去观察、分析、总结公式的特点提炼公式的含义；二是力求以学生为主体，对课本上内容进行重新处理，特别是通过设疑和学生间互相讨论，以及画图思考来引导学生发展思维，获取新知识，形成技能，这样既注重学生的认知结构培养，也体现数学教学是数学思维活动过程的教学；三是注重数学思想方法，如数形结合、化归、类比等数学思想方法，把握数学中最本质的东西，为学生进一步学习数学奠定坚实的基础．

第三课时

导入新课　　　　　

思路1.（类比引入）首先引导学生回忆上一节探究公式的过程与方法，是怎样借助单位圆导出来的？

利用的是单位圆的哪些性质？

并让学生默写上节课所学公式．在此基础上，教师引导学生思考：

可否借助单位圆找出α与α＋的三角函数间的关系？

由此展开新内容的探究，揭示课题．

思路2.（猜想引入）先引导学生计算，，，的正弦、余弦值，并引导学生观察分析．

sin＝，cos＝－，这里＝＋，sin＝，cos＝－，这里＝＋.

sin＝，cos＝，这里＝＋，sin＝，cos＝，这里＝＋.

猜想：

sin（＋α）＝cosα，cos（＋α）＝－sinα.由此在单位圆中进一步去探寻验证，在学生急欲探究的欲望中展开新课，这样引入很符合新课程理念，也是一个不错的选择．

推进新课　　　　　

1我们知道：

任一个旋转变换都可以分解为两个轴对称变换的合成，那么，你能从旋转的角度在单位圆中找出α与α＋的终边的关系吗？

2怎样验证α与－α的关系呢？

如何由α与α＋的关系，得到α与－α的关系？

3你能用自己的语言概括所学的诱导公式吗？

活动：

教师引导学生画出单位圆，如图3所示，设α的终边与单位圆相交于点P（cosα，sinα），点P关于直线y＝x的轴对称点M的坐标为（sinα，cosα），点M关于y轴的对称点N的坐标为（－sinα，cosα）．

图3

点P经过以上两次轴对称变换到达点N，等同于点P沿单位圆旋转到N，而且旋转角的大小为（图4）．

∠PON＝2（∠AOM＋∠MOB）＝2×＝，

这样，α到α＋的旋转可以分解为两个轴对称的合成．

因此，点N的坐标又为（cos（α＋），sin（α＋）），

教师进一步引导学生思考，因为－α可以看作－α＋，因此求－α的正弦、余弦问题就是利用上节所学公式进行变形的问题．

所以在公式（四）中，以－α替代α，可得另一组公式

由三角函数之间的关系又可得tan（α＋）＝－cotα，cot（α＋）＝－tanα；

tan（－α＋）＝cotα，cot（－α＋）＝tanα.

我们就得到了三角函数的四组诱导公式．

至此，任意一个角都可表示为k·＋α（其中|α|≤）的形式．这样由前面的公式就可以把任意角的三角函数求值问题转化为0到之间角的三角函数求值问题．

下面我们对这四组公式进行概括归纳，概括特征，找出共性，便于记忆．

由k·＋α（|α|≤）知，当k为偶数时，得角α的同名函数值；当k为奇数时，得α相应的余弦函数值．然后前面加上把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为：

“奇变偶不变，符号看象限”．这里特别要弄清“把α看成锐角”的含义，不管α是字母还是数值，不管其多大，仅是“看成”而已．以上公式就这样记忆非常方便，这个规律可以扩展，用在选择题、填空题上也很方便．

教师适时指点学习方法：

如果我们孤立地记忆这么多诱导公式，那么我们的学习将十分苦累，且效率低下．学习过程中，能挖掘各个公式的本质特征，寻求它们之间的共性，那么我们对数学公式的记忆就不再是负担了．因此，要求大家多做这方面的工作，以后的数学学习就不再是枯燥无味的了．

思路1

例1求下列各三角函数值：

（1）sin120°；

（2）cos135°；（3）tan；（3）cos（－）．

活动：

本例是让学生熟悉刚刚学过的诱导公式，让学生自己探究．由于考虑问题的视角不同会有不同的切入方式，这对学生灵活理解公式很有好处．

解：

（1）sin120°＝sin（30°＋90°）＝cos30°＝.

（2）cos135°＝cos（45°＋90°）＝－sin45°＝－.

（3）tan＝tan（＋）＝－cot＝－.

（4）cos（－）＝cos（＋4π）＝cos（＋）＝－sin＝－.

例2将下列三角函数化为0°到45°之间角的三角函数：

（1）sin68°；

（2）cos75°；（3）tan126°.

解：

（1）sin68°＝sin（－22°＋90°）＝cos22°；

（2）cos75°＝cos（－15°＋90°）＝sin15°；

（3）tan126°＝tan（36°＋90°）＝－cot36°.

例3化简.

解：

原式＝

＝＝＝－tanα.

思路2

例1

（1）已知f（cosx）＝cos17x，求证：

f（sinx）＝sin17x；

（2）对于怎样的整数n，才能由f（sinx）＝sinnx推出f（cosx）＝cosnx?

活动：

对诱导公式的应用需要较多的思维空间，善于观察题目特点，要灵活变形．观察本例条件与结论在结构上类似，差别在于一个含余弦，一个含正弦，注意到正弦、余弦转化可借助sinx＝cos（－x）或cosx＝sin（－x）．要善于观察条件和结论的结构特征，找出它们的共性与差异；要注意诱导公式可实现角的形式之间及互余函数名称之间的转移．

证明：

（1）f（sinx）＝f[cos（－x）]＝cos[17（－x）]＝cos（8π＋－17x）＝cos（－17x）＝sin17x，即f（sinx）＝sin17x.

（2）f（cosx）＝f[sin（－x）]＝sin[n（－x）]＝sin（－nx）

＝

故所求的整数n＝4k＋1（k∈Z）.

变式训练

　已知cos（－α）＝m（m≤1），求sin（－α）的值．

解：

∵－α－（－α）＝，

∴－α＝＋（－α）．

∴sin（－α）＝sin[＋（－α）]

＝cos（－α）＝m.

例2求sin（－870°）的值．

解法一：

sin（－870°）＝－sin870°＝－sin（2·360°＋150°）＝－sin150°＝－sin（180°－30°）＝－sin30°＝－.

解法二：

sin（－870°）＝sin（－10·90°＋30°）＝－sin30°＝－.

点评：

以上两种解法中，解法一是按我们常规思路来解的，解法二是按本节介绍的记忆口诀来解的．这样做的目的不是提倡学生寻求奇妙解法，而是想说明对诱导公式的深刻理解及灵活运用，不要死板记忆公式的形式，孤立地记忆这么多诱导公式，要记忆公式的特征、规律等共同的本质的东西．如本例解法二，这里k＝－10是偶数，所以得到同名函数，得到右边的符号是正弦在第三象限（－870°）的符号，为负值．当然，这个方法要求学生的口算能力很好，能很快算出角在第几象限；当然，根据规律，也可以这样：

sin（－870°）＝sin（－9·90°－60°）＝－cos（－60°）＝－cos60°＝－.

例3已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，

求的值．

解：

∵5x2－7x－6＝0的两根x＝2或x＝－，

∵－1≤x≤1，∴sinα＝－.

又∵α为第三象限角，∴cosα＝－＝－.

∴tanα＝.

∴原式＝＝tanα＝.

点评：

化简求值题需充分利用公式变形，而公式变形中可以充分体现数学公式的转化和简化功能，充分体现数学思想和方法，因而备受高考命题人的青睐，成为出题频率较多的题型．解完本例后，教师要引导学生对其探究过程进行反思与总结.

变式训练

　化简：

.

解：

原式＝

＝

＝＝1.

例4化简：

tan10°tan20°tan30°tan45°tan60°tan70°tan80°.

解：

原式＝tan10°tan20°tan30°tan45°cot30°cot20°cot10°

＝（tan10°cot10°）（tan20°cot20°）（tan30°cot30°）tan45°

＝tan45°＝1.

变式训练

　已知α为第二象限角，sinα＝，则tan（α＋）＝__________.

解析：

∵α为第二象限角，且sinα＝，

∴cosα＝－＝－.

∴tan（α＋）＝－cotα＝－＝2.

答案：

2

先由学生回顾本节进程，然后教师与学生一起归纳总结：

本节与上节一样，都是利用单位圆推导诱导公式，并应用这些公式进行三角函数的求值、化简及证明的．这里诱导公式比较多，不可死记硬背，要通过练习来记忆它，再结合公式特征，利用歌诀记忆法记忆诱导公式：

“奇变偶不变，符号看象限”，角的运算总原则是：

“负化正，大化小、化到锐角再查表”．这种转化的思想方法，是我们经常用到的