数学黑龙江省哈尔滨市第一中学学年高二上学期期中考试.docx

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数学黑龙江省哈尔滨市第一中学学年高二上学期期中考试

黑龙江省哈尔滨市第一中学2014—2015学年

高二上学期期中考试数学试卷

命题人：

高二备课组考试时间：

120分钟

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分

第I卷（选择题60分）

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.

1.命题“若，则”的逆否命题为（）

A．若，则B.若，则

C.若，则D.若，则

2．与曲线共焦点，且与曲线共渐近线的双曲线方程为（）

A．B．C．D．

3．已知双曲线的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（）

A．B．C．D．

4．函数在上是单调递减函数的必要不充分条件是（）

A．B．C．D．

5．过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，且A、B在直线上的射影分别M、N，则∠MFN等于（）

A．45°B．60°C．90°D．以上都不对

6．有下列四个命题：

①命题“若，则，互为倒数”的逆命题；

②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；

③命题“若，则有实根”的逆否命题；

④命题“若，则”的逆否命题.

其中是真命题的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

7．方程与的曲线在同一坐标系中的示意图可能是（）

8．已知动点满足，则点P的轨迹是（）

A．两条相交直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆

9．一个圆的圆心为椭圆的右焦点F，且该圆过椭圆的中心交椭圆于点P,直线PF（F为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（）

A．B．C．D．

10．已知点P为抛物线上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是，则的最小值是（）

A．8B．C．10D．

11．若椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是这两条曲线的一

个交点，则的面积是（）

A．4B．2C．1D．

12．已知是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上关于轴对称的两点，直线的斜率分别为，若椭圆的离心率为,则的最小值为（）

A．B．C．D．

第II卷（非选择题90分）

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．过椭圆的焦点F的弦中最短弦长是.

14．过抛物线的焦点作直线,直线交抛物线于两点，若线段AB中点的

横坐标为，则.

15．设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双

曲线中心的距离为.

16．设点是椭圆与圆的一个交点，分别

是椭圆的左、右焦点，且，则椭圆的离心率为.

三、解答题：

本大题共6小题，共70分，解答应有证明或演算步骤

17．（本题满分10分）

已知半径为的圆的圆心M在轴上，圆心M的横坐标是整数，且圆M与直线相切．

求：

（Ⅰ）求圆M的方程；

（Ⅱ）设直线与圆M相交于两点，求实数的取值范围.

18.（本题满分12分）

在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于不同的两点.

（Ⅰ）如果直线过抛物线的焦点，求的值；

（Ⅱ）在此抛物线上求一点P，使得P到的距离最小，并求最小值.

19.（本题满分12分）

已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在轴上，若右焦点到直线的距离为3.

（Ⅰ）求椭圆的方程;

（Ⅱ）设椭圆与直线相交于不同的两点M、N，问是否存在实数使;若存在求出的值；若不存在说明理由。

20.（本题满分12分）

如图,已知四棱锥中,是边长为的正

三角形,平面平面,四边形是菱

形,,是的中点,是的中点.

（Ⅰ）求证:

平面.

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

21.（本题满分12分）

设过点的直线分别与轴和轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若且.

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）过的直线与轨迹交于两点，求的取值范围.

22．（本题满分12分）

如图，椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点F的直线交椭圆于A、B两点，若直线绕点F任意转动，恒有,求的取值范围.

哈一中2014—2015学年度上学期期中考试

高二数学参考答案

一、选择题：

1.D2.A3.D4.D5.C6.B

7.A8.B9.D10.B11.C12.A

二、填空题：

13.14.2415.16.

三、解答题

18．解：

（Ⅰ）由题意：

抛物线焦点为（1，0）

设消去x得

则，

=

（Ⅱ），

19．

（1）依题意可设椭圆方程为，则右焦点F（）由题设

解得故所求椭圆的方程为.

（2）设P为弦MN的中点，由得

由于直线与椭圆有两个交点，即

从而

又，则

即所以不存在实数使

20.（理科）证明

（1）取的中点,连接.

由题意知

且,且

所以且,即四边形是平行四边形,所以,

又平面,平面

所以平面.

（2）以为坐标原点,为轴,为轴,为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,,则,平面的法向量,设是平面的法向量,

由,令,

得

又二面角的平面角是锐角,

所以二面角的平面角的余弦值是

20.（文科）

（1）,为中点,

又,底面为菱形,为中点

所以平面

（2）连接,作于.

为的中点

又平面平面ABCD,

又,.于是,

又,,

V

21.解：

（1）∵过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，∴Q（-x，y），设A（a，0），B（0，b），

∵O为坐标原点，∴=（x，y-b），=（a-x，-y），=（-x，y），，

∵且，

∴，

解得点P的轨迹M的方程为．

（2）设过F（2，0）的直线方程为y=kx-2k，

联立，得（3k2+1）x2-12k2x+12k2-3=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，

=（x1-2，y1），=（x2-2，y2），

∴=（x1-2）（x2-2）+y1y2=（1+k2）（x1-2）（x2-2）=（1+k2）[x1x2-2（x1+x2）+4]

=（1+k2）（-+4）==+，

∴当k2→∞的最小值→；当k=0时，的最大值为1．

∴的取值范围是（，1]．  

22．解法一：

（Ⅰ）设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形，

所以,即1＝

因此，椭圆方程为

（Ⅱ）设

（ⅰ）当直线AB与x轴重合时，

（ⅱ）当直线AB不与x轴重合时，

设直线AB的方程为：

整理得

所以

因为恒有，所以AOB恒为钝角.

即恒成立.

又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对mR恒成立，

即a2b2m2>a2-a2b2+b2对mR恒成立.

当mR时，a2b2m2最小值为0，所以a2-a2b2+b2<0.

a2

因为a>0,b>0,所以a0,

解得a>或a<（舍去），即a>,

综合（i）（ii），a的取值范围为（，+）.

解法二：

（Ⅰ）同解法一，

（Ⅱ）解：

（i）当直线l垂直于x轴时，

x=1代入=1.

因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,2（1+yA2）<4yA2,yA2>1，即>1,

解得a>或a<（舍去），即a>.

（ii）当直线l不垂直于x轴时，设A（x1,y1）,B（x2,y2）.

设直线AB的方程为y=k（x-1）代入

得（b2+a2k2）x2-2a2k2x+a2k2-a2b2=0,

故x1+x2=

因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,

所以x21+y21+x22+y22<（x2-x1）2+（y2-y1）2,

得x1x2+y1y2<0恒成立.

x1x2+y1y2=x1x2+k2（x1-1）（x2-1）=（1+k2）x1x2-k2（x1+x2）+k2

=（1+k2）.

由题意得（a2-a2b2+b2）k2-a2b2<0对kR恒成立.

①当a2-a2b2+b2>0时，不合题意；

②当a2-a2b2+b2=0时，a=;

③当a2-a2b2+b2<0时，a2-a2（a2-1）+（a2-1）<0，a4-3a2+1>0,

解得a2>或a2>（舍去），a>，因此a.

综合（i）（ii），a的取值范围为（，+）.