第四章运输问题.docx
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第四章运输问题
第四章运输问题
本章主要介绍运输问题的及其特殊情形——指派问题的求解方
法，其基本要求为：
1.能用表上作业法求简单
的运输问题的最优解
2.会用匈牙利算法求标准
指派问题的解。
．运输问题线性规划模型的特征
请与课本（102页）引例比较以下，看看模型的结构与形式是否一致，同时注意了解课本103页下面的加工问题和运输问题的联系。
由上面的模型可以看出，运输问题显然是一个线性规划问题，因我们学过的单纯形法求解，但求解时对每一个等式必须加上一个人工变量（参考当约束条件方程为等式约束时求初始基本可行解的方法），这样将使一个很小规模的运输问题变得较为烦琐。
本章主要介绍的表上作业法求解运输问题，要比一般单纯形法简便得多。
三．表上作业法介绍
最优解，若是就停止计算，否则就要对解进行调整、判定，直到求出最优解为止。
因为关于以上计算都可以在产销平衡表中进行，所以叫表上作业法。
第一节运输问题的线性规划模型
我们在这里再给出一个实际的运输问题的模型。
吨。
从各工厂到销售点的单位产品的运价为下表所示，问该公司应该如何调运产品，在满足各销售点需要量的前提下，使总运费最少?
销地
产地运费
Bi
B2
B3
B4
产量
Ai
3
11
3
10
7
A2
1
9
2
8
4
A3
7
4
10
5
9
销量
3
6
5
6
20=20
解：
总产量为20吨，总需求量也为20吨，故产销平衡。
MinZ=3xii+11X12++10+耳囚+9盟竝+2x^5+业碑+7范31
+4^32+10x33+5^34
FX11+孟1?
+孟口+区旧=7
茎21+叢22+梵23+芸24=4
芷31+x卫+x33+x34=9
=3
=6
=5
=6
Xll
勒2
+X2L
+茎23
葢14
i=123;j=1,234
+5^34
设某种货物有m个产地Ai,A2,…，Am,产量分别为ai,a2,…，am
个单位；另外有n个销地Bi,B2,…，Bn,销量分别为bi,b2,…，bn个单位,
又假设产销是平衡的，即
此外，还知道由产地Ai向销地Bj运输每单位货物的运价为Cij。
问应该如何调
运这种货物才能使总的运费为最小?
解设xij为由产地Ai向销地Bj调运这种货物的数量，连同单位运价Cij,
可以列成表6-1及表6-2。
依题设，由Ai运出去的货物总量应该等于Ai的产量，所以有n
2XijF,i=1,2,…
j#
m。
同样，运进Bj的货物总量应该等于Bj的销量，可得
n
SXij=bj,j=1,2,…，n。
j#
产地
B1
B2
…
Bn
产量
A1
X11
X12
…
X1n
a1
A2
X21
X22
…
X2n
a2
1
■
■
Am
1
■
■
Xm1
h
■
■
Xm2
h
■
■
Xmn
h
■
■
am
销量
b1
b2
…
bn
在表6-2中，这两组等式为第i行的未知数Xil,Xi2,…，Xin的和等于第一一
行右端的ai,而第j列的未知数Xlj,X2j，…，Xmj的和等于这一列底下的bj。
从表6-1及表6-2中还可以看出，总的运费应该是
nn
z=ssCijXj。
i=1j=1
因此，我们可以把上面的问题归纳为下述线性规划问题
（6-1）
nn
minz=送送qXij
i壬j丑
n、
=送bj
j^丿
这就是运输问题的数学模型。
观察运输问题线性规划模型约束方程的系数矩阵结构具有以下特点。
元素非1即0
每一列正好有两个非零元素，所有变量在前m个（本例为3个）约束中各出现一
次，在后n个（本例为4个）约束里也都出现了一次。
所有的约束条件（不包括非负约束）都是等式。
（4）产量之和等于销量之和。
除了经常遇到的煤炭、粮食、钢铁、木材等物资的调运问题外，在其它工
作中有时也会遇到类似的问题。
例如设有m台机床，要加工n种零件。
第i台机床必须加工出ai个零件
nn
（i=1，2,…，m），而第j种零件必须有bj个（j=1，2，…，n），且2a^Zbj，cij为第i台机床上加工第j种零件时每一件的加工费。
问这些零件应如何分配给这m台机床，使总的加工费为最小？
显见，当设xij为第i台机床加工第j种零件的个数时，就化为一个运输问题。
运输问题既然是一个线性规划问题，当然可以用单纯形法求解。
但由于这个问题具有一种固定的结构，比较特殊，所以可以采用另外简便的解法。
本章介绍表上作业法及匈牙利方法。
第二节初始基本可行解的求法
和用单纯形法解线性规划问题一样，运输问题的最优解也一定可以在基本可行解中找到。
当找到初始基本可行解以后，要判别是否是最优解，不是最优解时就要进行调整，直到找到最优解为止。
下面先来研究运输问题的基本可行
解所具有的特征。
运输问题有m+n个约束条件，包含m>h个变量。
在讨论线性规划的标准
型式时，一般都假设约束方程组中没有多余方程。
但在产销平衡的运输问题的约束方程组中，其增广矩阵的前m行的和减去后n行的和恰好得到一个零向量。
因此，约束方程组的增广矩阵的行是线性相关的。
也就是说，约束方程组中存在多余方程。
可以证明，在m+n个约束方程式中的任意m+n-1个都是线性无
关的，从而运输问题的每一组基应由m+n-1个基变量组成。
怎样的m+n-1个变量Xji，程）2，…，Xjs（s=m+n-1）组成一组基呢?
为此，我们先引入闭回路的概念，然后给出有关定理。
定义凡是能排列成下列形式的变量的集合称为一个闭回路：
其中ii,i2,…，i3互不相同，ji,j2,…，j3互不相同，这些出现在式（6-5）
中的变量称为这个闭回路的顶点。
例如，设m=3，n=4，则X2i，X22，X13，X14，X34，X31就是一个闭回路。
这里ii=2，i2=1，ji=1，j2=3，j3=4o若把闭回路的顶点在表中画出，并且把相邻的两个变量（以及最后一个变量与第一个变量）用一条直线相连（称这些线为
闭回路的边），那末上述闭回路就具有表6-3所示形状。
们画在表上分别如表6-4及表6-5所示。
表6-5
产地
Bi
B2
B3
B4
Ai
r
1
1
A2
I
-1
A3
1
1
要条件是它不含闭回路。
（证略）
有了上述准备，下面介绍几种常用的运输运输的的初始基本可行解的求法。
、西北角法
为清楚起见，用下例介绍这个方法，并将运价表和平衡表合并在一个表中,
将单位运价Cj写在左下角，Xij写在右上角。
例1根据表6-6，求初始基本可行解。
表6-6
'7^*销地
产地
Bi
B2
B3
B4
产量
Ai
2Xii
9
X12
―Xi3
10
7
Xi4
9
A2
1X2i
3
X22
X23
4
2
X24
5
A3
8X31
/X32
4
2X33
UX34
5
7
销量
3
8
4
6
解首先，由于最下一行各数字之和与最右一列各数字之和都为21，故满
足平衡条件。
从左上角的变量X11开始，先给X11以尽可能大的值，为此令
X11=min{3，9}=3
由X11=3可以看出，X21与X31必须为0，即已经决定了3个未知量的值了。
通常，先画好一张空格表，把求出的未知数以值填在表上。
我们约定，在3的
外面画一个圈，在0的地方打上&然后再决定X12的值（即未求出Xj值的表的左上角的变量），仍旧使X12取尽可能大的值，不准看出，这时应取
Xi2=min{9—3，8}=6
在表内X12的位置上填上6并画圈，X13，X14这时应为0，故打上&用同样的方法，可以得出X22=2,X32=0,X23=3,X24=0,X33=1,X34=6（见表6-7）。
B1
B2
B3
B4
销地
产地
表6-7
A1
2
③
9
⑥
X
X
9
10
7
A2
1
X
3
②
4
③
2
X
5
A3
8
X
4
X
2
①
5
⑥
7
产量
3
8
4
6
不难看出，填在表上的数（卅弋表0）是一组可行解。
此外，画圈的数共有m+n—1个，并且可以证明，用这种方法求得的解是一组基本可行解，而且m+n—1个画圈的地方正好是基变量。
例2根据表6-8，求初始基本可行解。
A1
7
X11
9
X12
10
X13
7
X14
3
A2
2
X21
3
X22
4
X23
2
X24
5
A3
1
X31
4
X32
2
X33
5
X34
8
销量
2
1
7
6
X2i=0,X31=0。
按上方法，令Xi2=min{3
解容易看出，应该取X11=2，—2，1}=1。
这时，显然X13，X14，上打X，即或在行上，或在列上打X，=0，此时在X22处写上0，并画上圈，
X22及X32都必须为0。
但我们只在一个方向然后决定X22的值，它应该等于min{0,5}而在X32处打上X继续做下去，可以得到
^肖地
产地
B1
B2
B3
B4
丿量
A1
②
7
8
①
1
X
4
X
8
A2
X
2
6
©
5
⑤
8
X
5
A3
X
1
4
X
2
②
7
⑥
8
表6-9
销量
X23=5，X24=0，X33=2，X34=6，（见表6-9）。
2
1
7
6
在X22处写0并画圈的目的是使带圈的个数保持为m+n-1个。
因为前面已
经说过，画圈的地方正好是基变量，而基变量必须是m+n-1个。
从以上例子可以看出，西北角法的一般步骤为:
1.先决定左上角变量的值，令这个变量取尽可能大的值，并在这个位置上所填的数外面画上圈。
2.在填数的格子所在行或列的应该为0的格子上打X。
若行或列都应该取0,则在行上打了X以后，就不能在列上打X。
反之，在列上打X后就不能在行上打X。
3.对没有填数及打X的地方重复上述步骤，若剩余空格的左上角的变量应
取0,则应写上0并画圈。
二、最小元素法
用西北角法求初始基本可行解时没有考虑Cij的值，若能将Cij的值考虑进去，常可使求得的基本可行解对应的目标函数
的值小些。
这就能够接近于最优解，从而减小迭代次数。
然后在X11,X31处打上X。
做完上一步后，在没
Gj的最小值，这时C24=2,C33=2，都是最小，故
仍以例1为例，最小元素法不是从X11开始，而是从Gj取最小值的空格开始（若有几个地方同时达到最小，则可任取一个）。
在例1中，C21=1最小，故我们先定X21的值，和西北角法一样，给X21以尽可能大的值，即令X21=min{3,5}=3,在X21处填上3并画圈，有填数和打X的空格内财找一个
3
8
4
6
地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
X
2
⑤
9
X
10
④
7
9
A2
③
1
X
3
X
4
②
2
5
A3
X
8
③
4
④
2
X
5
7
表6-10
销量
我们分别来计算一下上面例1中用西北角法及最小元素法求得的基本可行
解对应的目标函数值Z1及Z2,可得
z1=2X3+9X3+3X2+4X3+2X1+5X3=110
Z2=1X3+9X5+4X3+2>4+7X4+2X2=100
由此可见，用最小元素法求出的初始基本可行解更好些。
在用最小元素法时，也会遇到前面例2中的情况，这时我们仍旧只在行或列上打X，并用与前面一样的方法处理。
最后我们再提出一点。
用最小元素法时，如果只剩下一行或一列未填数和打X的格子时，只准填数，不准打Xo这样做的目的是为了保证画圈的个数为
m+n—1个o
例3根据表6-11，用最小元素法求初始基本可行解。
表6-11
产地r
B1
B2
B3
丿量
A1
1X11
2
X12
2
X13
1
A2
3X21
1
X22
3
X23
2
A3
2X31
8
X32
1
X33
4
销量
1
2
4
1
最后令
先令X11=1，在X12及x13处打上X，再令X22=2，在X21及x23处打上X
X33=4，这时还未填数的格子只剩下一行，不能打X，只能写成X31=0，
表6-12
地
产地
B1
B2
B3
产量
A1
①
1
2
X
2
X
1
A2
X
3
1
②
8
X
2
A3
（S）
2
8
（S）
1
④
4
销量
1
2
4
此时，若在X31,X32处也的上X,那末画圈的个数只有3个，显然不是基本可行解了。
三、差值法
差值法一般能得到一个比用上两种方法更好的初始基本可行解。
这个方法与最小元素法不同的地方是在需要考虑的空格中，首先计算各行各列中最小的
Cij与次小的Cij之间的算述差值，在具有最大差值的那个行或列中，选择具有最小的Cij的空格来决定基变量值。
这样就可以避免将运量分配到这一行（或列）具有次小的Cij的空格中，以保证有较小的目标函数值。
此外，用最小法时需要注意的地方在这里仍然适用，以保证基变量的个数为m+n-1个。
仍以例1为
例。
A3
由表6-13中Cjj可见，在第一行中，次小与最次小Cjj间的差值为7—2=5，第一列为2—1=1,其余如表6-13所示。
在所有行及列中，第一行的差值5为最
大，在第一行的Cij中，C11=2最小，故先决定X11的值。
和上这两种方法一样，给X11以尽可能大的值，即令X11=minfe,9}=3，以心处填上3,并画上圈。
此时第一列已满足，故在X21,X31处打上X,在剩余空着的格子中，以同样的方法重复做下去，最后得出一组基本可行解如表6-14所示。
表6-14中，初始基本可行解对应的目标函数值为
z=2X+9><5+X3+2X4+7X1+2X5=88
可见用差值法求出的结果比上面两种方法都好些。
以上介绍了在表格上直接找初始基本可行解的几种方法，并且可以证明如下定理。
4
定理2用西北角法、最小元素法及差值法得到的Xij的值是一组基本可行
解，而画圈的地方正好是基变量。
（证略）
第二章曾说过，有些线性规划问题存在最优解，而且些线性规划问题没有最优解，即可行解可以使目标函数值没有限界。
在运输问题中则有如下定理。
定理3任何运输问题都有最优解。
证由定理2可知，任何运输问题都有基本可行解。
又因为Cj都是非负的,即可行解必使
mn
Z=送送CijXij
izij=1
永远取非负值，所以目标函数必有下界，这就证明了任何运输问题必有最优解。
第三节求检验数的方法
和用单纯形法解线性规划问题一样，在求出初始基本可行解以后，就应检查这组基本可行解是不是最优解。
在求目标函数值极小化的线性规划问题中，若所有的检验数Cj-Zj都非负，表示所检验的基本可行解是最优解；若有负检
验数，就需要迭代。
运输问题是线性规划问题的特殊情况，有其独特的求检验数的方法，但在求出检验数以后，上述判别基本可行解是否最优解的准则也是适用的。
下面介绍两种求运输问题检验数的方法。
、闭回路法
前面已经介绍了闭回路的概念，以及求初始基本可行解的方法。
在用闭回路法求检验数时，还需用到下述定理。
定理4设变量组X」，xi2j2,…，xisjs（s=m+n-1）
中，存在唯一的闭路。
（证略）
下面介绍求检验数的闭回路法。
设xj是一个非基变量，按照定理4,在表各中可以找到唯一的闭回路。
以Xj作为第一个顶点，沿着一个方向将闭回路所有奇数顶点对应的Cj值取为正，所有偶数顶点的Cj值取为负，求它们的代数和即为x所对应的格子的检验数，填入相应的格子内。
例4仍以例1为例，如果已用最小元素法求出的初始基本可行解如表6-10所示，求诸非基变量（空格）的检验数。
解X11对应的闭回路为X11，X14，X24，X21。
X11空格对应的检验数为
Xii=5一G4+C24-C21=2一7+2-1=-4
X23空格对应的检验数为
^23=C23—024+Ci4-C12+C32—C33
=4-2+7-9+4-2=2
其它非变量对应的检验数用同样的方法求出，把求出的检验数记入另一张表中，见表6-15。
方格中右上角画圈的数字为基变量，不画圈的数字为检验数。
地
产地'7-
B1
B2
B3
B4
丿量
A1
2-4
⑤
9
3
10
④
7
9
14
A3
从表6-15可见，存在负数的检验数，故这一组基本可行解不是最优解。
利用闭回路法求检验数可作如作如下的经济解释。
例如，在X11对应的空格
处把调运方案改变一下，由产地A1生产的物资调一个单位给B1,为了保持平衡，就要在X14处减少一个单位，即要找一条除X11这一空格外，其余均为有数字格为顶点组成的闭回路。
显见，调整后的方案X11处使目标函数值增加2,X14处使目标函数数值减少7,X24处使目标函数值增加2,X21处使目标函数减少1,增减相抵，总的目标数值减少4。
可见调运方案的这一改变是有利的。
反之，
如果某一个空格的检验数为正，则说明这一格调整方案是不可取的。
如果求出的检验数全部大于或等于零，表明对调运方案作任何改变都不会使目标函数数值减少，即给定的基本可行解已是最优解。
二、位势法
用闭回路法求检验数，需要对每一个空格寻找闭回路，然后再去求检验数。
当一个运输问题的产销点很多时，这种方法的计算工作量是很大的，不如位势法简便。
下面介绍位势法。
设给定一组基本可行解，它的基变量为
Xiiji，X2j2,…，xisjs（s=m+n-1）
现在引时的m+n个未知数儿比UmMS,
“2并且由上述基本可行解出发建立一个议程组如下:
Ui1ri1二九，
5202=%,
Ui1中Ui1=Ci.i
方程组（6-6）中一共有m+n个未知数，m+n-1个方程。
在这m+n个未知数中，可以任取一个为零，一般可取U1=0,这样就可以解出方程组（6-6）,我们把方程组（6-6）的解叫做位势。
仍以例1为例说明方程组的造法，表6-10中给出的一组基本可行解，x12,
因此，这时方程组（6-6）
x14,X21,X24,x32,x33是此基本可行解中的基变量。
应该是:
只须使要求出一组
有cij=Ui+Uj，如前
在求位势时，可在表上直接进行，不必写出方程组,
U1,U2…Um,5…,。
对每一个画有图的数的格子来说,
所述，取柑1=0，不难看出，绥u3仝,u3仝，可得4=7,曲4=7,可得2=^由u2=-5,可得u1=6，将这些数字分别填在6-16的左边与上边。
表6-16
产地
销地
B1
B2
B3
B4
丿量
0
A1
2
⑤
9
10
④
7
9
-5
A2
1③
3
4
2②
5
-5
A3
8
③
4
④
2
5
7
销
量
3
8
4
6
现在再来求各空格（对应一个非基变量）的检验数。
例如，先求^11，由闭
回路法可得
%=C11—04+C24—C21
=5-（U1+V4）+（U2+V4）-（U2+V1）
一般来说，求检验数有下面的定型.
定理5设给出一组基本可行解，U1,U2,…，u,v,v,…，Vn上此基本可以解对应的位势，则对于每一个非基变量xj而言，它对应的检验数妬为
几ij=Cij-ui-Vjo
（证略）
利用定理5,将表6-16中的检验数都求出来，并且填在相应的格子中就有表6-17。
表6-17
产地
6
B1
9
B2
7
B3
7
B4
产量
0
A1
2-4
9
⑤
10
3
7
④
9
-5
A2
1③
3
-1
4
2
2
②
5
-5
A3
87
4
③
2
④
5
8
7
销
量
3
8
1
4
6
可以看出，表6-17中的检验数与表6-15中用闭回路法求出的检验数是样的。
第四节方案的调整
在已求得的基本可行解及检验数的平衡表中，若有负的检验数，按判别准
则，它就不是最优解，应进行调整，以求出另一组基本可解，使目标函数值下降（设基本可行解中基变量的值均不为零）
要求出下一组基本可行解，首先要决定哪一个非基变量要进入基中去，哪
一个基变量要从基中取出来，同单纯形法一样，在负的检验数中，一般取检验数最小的（即色对值最大的）非基变量作为换入变量。
根据定理4,设y为起
点，可以找到唯一的闭回路。
把这条闭回路上的顶点排队，y是第一个，然后
按下述办法确定换出变量与调整量：
在由y出发的偶顶点上，Xij的最小值就是调整量，其中使Xij取最小值的变量就是换出变量，若有两个偶顶点同时有同一最小值时，则任取一个作为换出变量。
例如，表6—17已求出检验数，表中有两个负的检验数，其中值最小的是
—4。
因此，应该把X11作为换入变量，X11对应的闭回路如表6-18所示。
表6-18
X地
产地
B1
B2
B3
B4
曰.产量
A1
2
-4
9
⑤
10
3
7
④
9
A
1
③
3
-1
4
2
2
②
5
A
8
7
4
③
2
④
5
3
7
销量
3
8
4
6
从xii出发的第2个顶点xi4的值为4,第4个顶点X21的值是3,最小值为
3。
因此，X21是换出变量，调整量是3。
按照上述调整办法，在X11,X24处，Xij的值应该加3,在X14、X21处，Xij的值应该减去3。
这样
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