专题04三角函数与平面向量结合问题原卷版.docx
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专题04三角函数与平面向量结合问题原卷版
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第一篇三角函数与解三角形
专题04三角函数均不面向量结合问题
类型
对应典例
二角函数的定义与平面向量的运算相结合
典例1
三角恒等变换与平面向量运算相结合
典例2
三角函数的图象与平面向量相结合
典例3
三角函数的性质与平面向量、不等式相结合
典例4
三角函数图象的性质与平面向量运算相结合
典例5
平面向量的数量积运算与三角函数相结合
典例6
三角函数的性质与平面向量的数量积相结合
典例7
（34、
【典例1】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2,0）和单位圆上的两点8（1。
），。
-二，二，点尸是
劣弧8C上一点，&OC=a,4BOP=。
.
（1）若OC_LOP，求sin（/r-a）+sin（-〃）的值；
（2）设/（f）=|CA+f方当的最小值为1时，求无.无的值.
【思路引导】
（1）根据任意角三角函数定义可求得Sina,cosa,利用/=。
一£可求得sin/7=-cosa,结合诱导公式可化简求出结果；
（2）利用向量坐标表示可得列Q4+/O0=（2+/cos/?
jsi“），可求得向+/州-=r+4rcos/?
+4.
根据二次函数性质可求得|用+耳:
=4-4cos2/7,从而利用/（f）的最小值构造方程可求得cos?
4，
根据角的范围可求得sinp和cos/7,进而根据数根积的坐标运算可求得结果.
【典例2］【江苏省启东中学2020届高三上学期期初考试数学试题】
在平而直角坐标系x。
）,中，设向量£=（cosa,sina）,b=（-sinp,cos/7）,c=（-1,邛
（1）若~+4=R,求sin（a-夕）的值；
（2）设々=葛，OV夕V7T,且,；〃,+＜：
）,求夕的值.
【思路引导】
（1）利用向量的数量积转化求解两角差的三角函数即可：
（2）通过向量平行，转化求解角的大小即可.
【典例3】【2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷】
已知向量£="〃,cos2x）,6=（sin2x,〃），设函数=且丫=/'（X）的图象过点脸,阴）和点
（I）求机，〃的值：
（H）将y=/（x）的图象向左平移8（。
＜夕＜乃）个单位后得到函数y=g（x）的图象.若y=g（x）的图象上各最高点到点（0,3）的距离的最小值为1,求,，=g（x）的单调增区间.
【思路引导】
（I）利用向量的数量积坐标运算公式代入函数式整理化简，将函数过的点（卷,、8）和点（2g,-2）代入就可得到关于小，〃的方程，解方程求其值；（H）利用图像平移的方法得到y=g（x）的解析式，利用最高点到点（0,3）的距离的最小值为1求得。
角，得g（x）=28s2x,求减区间需令2]£[2丘/+2%可解X的范国
【典例4］【河南省信阳市2019-2020学年高三第一次教学质量检测】
己知函数/（x）=，•伍+耳，其中向量d=（sinx,-cosx）,b=（sinx,-3cosx）,c=（-cosx,sinx）,
xgR.
（I）若/（&）=1■,~^-288
（H）不等式|/（x）—〃“v2在上恒成立，求实数，"的取值范围.
【思路引导】
（I）利用向量数量枳公式得到了“）后，再用二倍角公式以及两角和的正弦公式的逆用公式化成辅助角的形式,棋据一加条件及同向公式解律cos22+』£!
二巫.学偿所求变，成8$2。
=<:
。
$i2cr+—后.利
用两角差的余弦公式求得；
（II）将不等式恒成立转化为最大最小值可解得.
【典例5］【陕西省宝鸡市宝鸡中学2019-2020学年高三上学期期中】
已知向量d=（cos〃>,一cos”*）,b=^smcox^coscox^（3>0）,且函数/（x）=3i•方的两个相邻对称中
心之间的距离是
4
⑴求了闾：
——
（2）若函数g（x）=〃?
+l—6/（工）在0。
上恰有两个零点，求实数用的取值范围.
【思路引导】
（1）首先利用平面向量的数量枳的应用求出函数的关系式，进一步把函数的关系式变形成正弦型函数，进
一步利用函数的性质的应用求出结果.
（2）利用函数的零点和方程之间的转换的应用，利用函数的定义域和值域之间的关系求出切的范围.
【典例6][辽宁省鞍山市第一中学2019-2020学年高三上学期11月月号】己知实数0«夕《乃，。
=（cose,sin6）,/=（0,1）,若向量B满足（a+B）・/=。
，且7./；=0.
（1）若口一q=2,求B：
（2）若小）=归+*—列在上为增函数，求实数e的取值范国
【思路引导】
（1）设出坂的坐标，结合7B=o、口—4=2、（7+B）j=o,解方程，先求得夕的值，再求得办的坐标.
（2）利用向量模的运算、数量枳的运算化简f（x）表达式，结合二次函数的性质列不等式，解不等式求得W的取值范惘.设出书的坐标，结介伍+4]=0、£$=0,解方程，用。
表示叫小根据W的取值范围列不等式,解不等式求得cos0的取值范惘,进而求得夕的取'」！
【典例7］【江西省南昌市第二中学2018届高三上学期第五次月，】在平面直角坐标系xQy中，已知向量〃=（cose,sina）,设厉=九武（/1〉0）,向量
12
OB=cos-1-+/7j,sin5―分））"
（1）若/=求向量E与丽的夹角；
6
（2）若|通怛2|砺|对任意实数a,Q都成立，求实数几的取值范围.
【思路引导】
⑴由题意结合平面向量的坐标表示，结介平面向发的数小枳运算法则可得cos。
=sin。
=1.则向量/62
Lj瓦的夹角为巴
：
2_3
（2）原问题等价于％2_2厉・砺一320任意义数。
/都成立.分离参数可得^—Nsin（a-P）任匚2九
。
月都成立.结合三角函数的性质求解关于实数％的不等式可得上23.
【针对训练】
1..【出,北省虎山市第一中学2019-2020学年高三上学期10月月考】
（1）当+AeZ时，若向量"=（1,0）,Z=（#,0）,且一c）〃伍+7）,求4sin2s-cos?
cox的值;
（2）若函数〃x）=a・/；的图象的相邻两对称轴之间的距离为£,当工£一］,1时，求函数/（x）的最486
大值和最小值.
-A
2.己知向量比=（sinx,l）,n=（\j3Acosx,—cos2x）（A>0）,函数/（x）=m-n的最大值为6.2
（I）求A；
（H）将函数y=/（x）的图象向左平移合个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的;倍，纵122
坐标不变，得到函数y=g*）的图象.求g（x）在上的值域.
3.【河南省郑州市第一中学2019-2020学年高三上学期期中】
己知点力（2,0）,3（0,-2）,*—2,0）,设NAOC=a,aw[0,2可，其中O为坐标原点.
（1）设点C在X轴上方，到线段Af所在直线的距离为且乙4/。
=三，求。
和线段4c的大小：
（2）设点。
为线段04的中点，若|沅卜2,且点C在第二象限内，求y=（6成•屈+沅•H^cosa的
取值范围.
4.1河北省衡水市深州市2019-2020学年高三上学期12月月】
图像过点8（1,2），点B与其相邻的最高点的距离为4.
（1）求函数/（X）的单调递减区间:
⑵计算〃1）+〃2）+…+”2019）的值.
5.【河北省衡水中学2017届高三下学期二调考试】
设函数=/力・"+/?
.
已知向量汾=（J5siniyx,l）,“=（coscox.cos2cox+1）
（1）若函数〃戈）的图象关于直线x=q对称，即［0,3］,求函数/（x）的单调递增区间;
（2）在
（1）的条件下，当xe0,卷灯时，函数/（M有且只有一个零点，求实数〃的取值范围.
6.己知力=（sinx,cosx）,b=（sinx,sinx）,函数,f（x）=ab.
（l）求f（x）的对称轴方程：
（2）若对任意实数xe［三,工］,不等式/（x）-机<2恒成立，求实数川的取值范围.63
1.1江苏省淮安市淮阴中学2019-2020学年高三期中数学试延】
在如图所示的平面直角坐标系中，已知点41,0）和点8（-1,0）,|沅卜1,且NAOC=x,其中。
为坐标原
点.
3,
（1）若工=二打，设点。
为线段。
4上的动点，求1公+而I的最小值:
4
向量加=前，n=（1-cosx,sinx-2cosx）,求汾•万的最小值及对应的x值.
8.己知向量〃=（1,JJ）,g=（cosx,sinx）.
⑴若p〃q，求sin2x-cos?
x的值；
（2）设函数/（%）=，♦"将函数/（X）的图象上所有的点的横坐标缩小到原来的;（纵坐标不变），再把所得的图象向左平移£个单位，得到函数g（x）的图象，求g（x）的单调增区间.
9.已知向量切=（3sinX,cosx）,〃=（一cosx,>/Jcosx）,f（x）=in.
（1）求函数/（工）的最大值及取得最大值时x的值;
（2）若方程f（x）=a在区间
上有两个不同的实数根，求实数a的取值范同
10.【黑龙江省大庆实验中学2019届高三上学期第一次月考】
已知O为坐标原点，OA=（2cos2,OB=（1,J5sin2x+a）
（xeRheR且。
为常数），若〃］）=次・丽.
（I）求函数/（x）的最小正周期和单调递减区间：
（H）若xeO总时，函数小）的最小值为2,求实数。
的值.
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