人教版八年级数学上册金榜名师推荐题组训练1332等边三角形含答案解析.docx
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人教版八年级数学上册金榜名师推荐题组训练1332等边三角形含答案解析
提技能·题组训练
等边三角形的性质与判定
1.如图,一个等边三角形纸片,剪去一个角后得到一个四边形,则图中∠α+
∠β的度数是 ( )
A.180°B.220°C.240°D.300°
【解析】选C.∵等边三角形的顶角为60°,
∴两底角和=180°-60°=120°,∴∠α+∠β=360°-120°=240°.
【一题多解】选C.∵等边三角形的顶角为60°,∠1+∠2=180°-60°=120°,根据平角定义,∠α=180°-∠1,∠β=180°-∠2,所以∠α+∠β=(180°-∠1)+(180°-∠2)=360°-(∠1+∠2)
=360°-120°=240°.
2.(2014·吉安模拟)如图,过等边△ABC的顶点A作射线,若∠1=20°,则
∠2的度数是 ( )
A.100°B.80°
C.60°D.40°
【解析】选A.∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=60°,∵∠1=20°,∴∠3=100°,∴∠2=100°.
【变式训练】如图,△ABC是等边三角形,点D在AC边上,∠DBC=35°,则∠ADB的度数为 ( )
A.25°B.60°C.85°D.95°
【解析】选D.∠ADB=∠DBC+∠C=35°+60°=95°.
3.如图,在等边△ABC中,AC=9,点O在AC上,且AO=3,点P是AB上一动点,连接OP,以O为圆心,OP长为半径画弧交BC于点D,连接PD,如果PO=PD,那么AP的长是 ( )
A.5B.8C.7D.6
【解析】选D.连接OD,∵PO=PD,∴OP=DP=OD,∴∠DPO=60°,∵等边△ABC,∴∠A=∠B=60°,AC=AB=9,
∴∠OPA=∠PDB=∠DPA-60°,∴△OPA≌△PDB,∵AO=3,∴AO=PB=3,∴AP=6.
【易错提醒】当问题的已知条件通过作图来体现时,必须将隐含的相等关系找出来,然后利用等边三角形性质来解题.此类题目解题的关键是找出作图隐含的相等关系.
4.等边三角形两条高线相交所成的钝角的度数是 .
【解题指南】等边三角形的三个内角都是60°,等边三角形有三组“三线合一”,上述性质是在等边三角形中求角的度数的重要依据.
【解析】根据等腰三角形的三线合一性质可知,等边三角形的高线也是角平分线,所以相交所成的钝角的度数为180°-30°-30°=120°.
答案:
120°
5.△ABC为等边三角形,点M是BC上任意一点,点N是CA上任意一点,且BM=CN,BN与AM相交于Q点,则∠AQN等于多少度?
【解析】如图,在△ABM和△BCN中,∠BCN=∠ABM=60°,CN=BM.
AB=BC,∴△ABM≌△BCN(SAS).
∴∠BAM=∠CBN.
∴∠AQN=∠BAQ+∠ABQ=∠NBC+∠ABQ=∠ABC=60°.
6.等边△ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,问△APQ是什么形状的三角形?
试说明你的结论.
【解题指南】先证△ABP≌△ACQ得AP=AQ,再证∠PAQ=60°,从而得出△APQ是等边三角形.
【解析】△APQ为等边三角形.证明:
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC.在△ABP与△ACQ中,∵
∴△ABP≌△ACQ(SAS).∴AP=AQ,∠BAP=∠CAQ.
∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°,∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°,∴△APQ是等边三角形.
【知识归纳】等边三角形证明题的几种类型
1.求角度.当题目出现等边三角形时,利用等边三角形三个角都是60°,或者三线合一来求角的度数.
2.求线段的长度.在证明线段相等或者和差问题时,往往利用等边三角形三条边相等来进行证明.
含30°角的直角三角形性质
1.(2014·邢台一模)如图,AC=BC=10cm,∠B=15°,AD⊥BC于点D,则AD的长为 ( )
A.3cm B.4cm
C.5cm D.6cm
【解题指南】若给出的角是15°角时,往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化为30°的角后,再利用这个性质解决问题.
【解析】选C.∵AC=BC,∴∠B=∠BAC=15°,
∴∠ACD=∠B+∠BAC=15°+15°=30°,
∵AD⊥BC,∴AD=
AC=
×10=5(cm).
【易错提醒】在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.这个定理是直角三角形特有的性质,一般三角形不具有.
2.某市在旧城改造中,计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化
环境,已知∠A=150°,这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需
要 ( )
A.300a元B.150a元C.450a元D.225a元
【解题指南】作BA边的高CD,设与BA的延长线交于点D,则∠DAC=30°,由AC=30m,即可求出CD=15m,然后根据三角形的面积公式即可推出△ABC的面积为150m2,最后根据每平方米的售价即可推出结果.
【解析】选B.如图
,作BA边的高CD,设与BA的延长线交于点D,
∵∠BAC=150°,∴∠DAC=30°,
∵CD⊥BD,AC=30m,∴CD=15m,∵AB=20m,∴S△ABC=
AB×CD=
×20×15=150m2,∵每平方米售价a元,∴购买这种草皮的价格为150a元.
【知识归纳】应用含有30°角的直角三角形性质解题思路
1.我们可以运用这个性质,将角的关系转化为线段的关系,应用于计算或证明线段的倍数关系.
2.若给出的角是15°角时,往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化为30°的角后,再利用这个性质解决问题.
3.如图,一棵树在一次强台风中于离地面4m处折断倒下,倒下部分与地面成
30°夹角,这棵树在折断前的高度为 m.
【解析】如图,∵∠BAC=30°,∠BCA=90°,∴AB=2CB,
而BC=4m,∴AB=8m,∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=12m.
答案:
12
4.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D为BC的中点,DE⊥AC于E,AE=2,求CE的长.
【解析】连接AD,∵AB=AC,∠BAC=120°,D为BC的中点,
∴AD⊥BC,AD平分∠BAC,∠B=∠C=30°,
∴∠DAC=
∠BAC=60°,∵DE⊥AC于E,
∴∠AED=90°,∴∠ADE=30°,在Rt△ADE中,AE=2,∠ADE=30°,∴AD=2AE=4,在Rt△ADC中,AD=4,∠C=30°,∴AC=2AD=8,则CE=AC-AE=8-2=6.
【变式训练】如图,已知,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F.
求证:
BF=2CF.
【证明】连接AF.∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°.
∵EF是AC的垂直平分线,
∴AF=FC,∴∠CAF=∠C=30°,
∴∠BAF=90°,∴BF=2AF,
∴BF=2CF.
5.如图所示,在△ABC中,∠A=30°,∠ACB=90°,M是AB上一点,CM=
AB,D是BM的中点,
求证:
CD⊥AB.
【证明】∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴BC=
AB,
∵CM=
AB,∴CM=CB,∴△CBM是等腰三角形.
又∵D是BM的中点,∴CD⊥AB.
【错在哪?
】作业错例课堂实拍
如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD为高,∠A=30°,若BD=3cm,求AD的长.
(1)找错:
从第___步开始出现错误.
(2)纠错:
________________________________________________________
答案:
(1)①
(2)∵等角的余角相等,∴∠BCD=∠A=30°,又∵30°所对的直角边是斜边的一半,∴AB=2BC=4BD=12cm.AD=AB-BD=12-3=9(cm).