新人教版初中数学知识要点总汇.docx

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新人教版初中数学知识要点总汇

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一、数与式：

1：

有理数

有理数：

①整数→正整数；0；负整数；②分数→正分数；负分数。

数轴：

①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴；②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示；③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。

④在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。

⑤数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。

正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。

绝对值：

①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。

②正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

有理数的运算：

加法：

①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

③一个数与0相加仍得这个数。

减法：

减去一个数，等于加上这个数的相反数。

乘法：

①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

②任何数与0相乘得0。

③乘积为1的两个有理数互为倒数。

除法：

①除以一个数等于乘以这个数的倒数。

②0不能作除数。

乘方：

求n个相同因数a的积的运算叫做乘方（表示为an），乘方的结果叫幂，a叫底数，n叫次数。

2：

实数

无理数：

无限不循环小数叫无理数

平方根：

①如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。

②如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根。

③一个正数有两个平方根；0的平方根为0；负数没有平方根。

④求一个数a的平方根运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。

立方根：

①如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根。

顺序：

先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。

②正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。

③求一个正数x的立方根的运算叫开立方，其中x叫做被开方数。

实数：

①实数分有理数和无理数。

②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。

③每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。

二次根式：

形如

（

）的式子叫做二次根式。

①

；②

③

④

最简二次根式：

①被开方数不含分母；②被开数中不含开方开得尽的因数或因式。

3：

代数式

代数式：

①用加、减、乘、除、乘方、开方等运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式。

②单独一个数或者一个字母也是代数式，也是单项式。

合并同类项：

①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。

②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。

③在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。

4：

整式与分式

整式：

①数或字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。

②一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。

③一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。

整式运算：

加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。

①am+an=a（m+n）  ②（am）n=a（mn）  ③（a+b）m=am+bm  

④

（a≠0）⑤

（a≠0）⑥

⑦

（a≠0）⑧

⑨

⑩

整式的乘法：

①单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式。

②单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

两个公式：

平方差公式：

a2-b2=（a+b）（a-b）

完全平方公式：

（a±b）2=a2±2ab+b2

整式的除法：

①单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

分解因式：

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。

方法：

①提公因式法；②运用公式法；③分组分解法；④十字相乘法。

步骤：

一提二套三分组。

分式：

①整式A除以整式B，如果除式B中含有字母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0。

②分式的分子与分母同乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变。

分式的运算：

乘法：

把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。

除法：

除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。

加减法：

①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

②异分母的分式先通分，化为同分母的分式，再加减。

分式方程：

①分母中含有未知数的方程叫分式方程。

②使方程的分母为0的解称为原方程的增根。

③解分式方程一定要注意验根。

二、方程与不等式：

1：

方程与方程组：

一元一次方程：

①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的整式方程叫一元一次方程。

等式的性质：

①等式两边同时加上或减去一个代数式，所得结果仍是等式。

②等式两边同时乘以或者除以一个（不为0）代数式，所得结果仍是等式。

解一元一次方程的步骤：

①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数系数化为1。

二元一次方程：

含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

二元一次方程组：

两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。

解二元一次方程组的方法：

①代入消元法；②加减消元法。

一元二次方程：

只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。

列方程解决实际问题一般步骤：

①审题；②设未知数；③列方程（组）；④解方程（组）；⑤验根；⑥答。

根的判别式:

①当b2-4ac＞0,一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根。

即

，

;②当b2-4ac=0,一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，即x1=x2=

;③当b2-4ac＜0,一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根。

根与系数的关系：

①根与系数的关系也称为韦达定理；②如果x1，x2是一元二次方程

（m、n是系数）的两个根，则

，

；③如果x1，x2是一元二次

（a≠0，a、b、c为系数）的两个根，则

，

2：

不等式与不等式组：

不等式：

①用符号＞、=、＜、≥、≤、≠号连接的式子叫不等式。

②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。

③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。

④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号改变方向。

不等式的解集：

①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

③求不等式解集的过程叫做解不等式。

一元一次不等式：

左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。

一元一次不等式组：

①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。

②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。

③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。

④不等式组的解集,可用口诀：

同大取大，同小取小；大小，小大中间找；大大小小无解答。

3：

函数：

变量：

因变量，自变量。

在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。

一次函数：

①若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k≠0，b为常数，）的形式，则称y是x的一次函数。

②当b=0时，称y是x的正比例函数。

一次函数的图象：

①把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。

②正比例函数y=kx的图象是经过原点的一条直线。

③在一次函数y=kx+b中，当k＜0，b＜O，则图象经过二、三、四象限；当k＜0，b＞0时，则图象经过一、二、四象限；当k＞0，b＜0时，则图象经过一、三、四象限；当k＞0，b＞0时，则图象经过一、二、三象限。

④当k＞0时，y的值随x值的增大而增大，当k＜0时，y的值随x值的增大而减少。

反比例函数：

形如

（k≠0）的函数是反比例函数。

反比例函数的图象是双曲线，当k＞0时，图象分支在一、三象限，在每个象限内，y随x增大而减小：

当k＜0时，图象分支在二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大。

二次函数：

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，）则称y为x的二次函数。

1、“a”的作用：

①a决定着开口方向：

　当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。

②a决定着开口大小：

|a|越大，则抛物线的开口越小。

③a决定着函数的最值：

当a＞0时，函数有最小值；当a＜0时，函数有最大值。

2、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左边；

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右边。

3、常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）

4、抛物线与x轴交点个数

Δ= b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

即抛物线的顶点在x轴上。

Δ= b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

5、5、二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的图象与性质（以ａ＞０为例）

y=ax2+k

y=a（x-h）2

y=a（x-h）2+k

y=ax2+bx+c

开口方向

向上

向上

向上

向上

对称轴

y轴

x=h

x=h

x=

顶点坐标

（0，k）

（h，0）

（h，k）

最大（小）值

x=0时，

y小=k

x=h时，

y小=0

x=h时，

y小=k

x=

时，

y小=

增

减

性

x＞0，y随x增大而增大；

x＜0，y随x增大而减小。

x＞h，y随x增大而增大；

x＜h，y随x增大而减小。

x＞h，y随x增大而增大；

x＜h，y随x增大而减小。

x＞

，y随x增大而增大；

x＜

，y随x增大而减小。

6、二次函数的平移：

函数y=ax2+bx+c（a≠0），当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，解析式变形为y=ax2+c（a≠0）；函数y=a（x-h）2，当h>0时，y=a（x-h）2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；

　　当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．

　　当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a（x-h）2 +k的图象；

　　当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）2+k的图象；

　　当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a（x-h）2+k的图象；

　　当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）2+k的图象；

　　因此，研究抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，通过配方，将一般式化为y=a（x-h）2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便． 

7、用待定系数法求二次函数的解析式 

（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

y=ax2+bx+c（a≠0）．（a，b，c为常数，a≠0） 

（2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：

y=a（x-h）2+k（a≠0）． [抛物线的顶点P（h，k）]

　　（3）当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：

y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）．仅限于与x轴有交点A（x1 ，0）和 B（x2，0）的抛物线，

其中x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根。

抛物线有一个顶点P，坐标为P

当

=0时，P在y轴上；当Δ= b2-4ac=0时，P在x轴上。

 　（4）已知二次函数的图象上两点坐标（x1,m）,（x2,m）,可设对称式：

y=a（x-x1）（x-x2）+m（a≠0）。

三、空间与图形

A：

图形的认识：

1：

点、线、面

点，线，面：

①图形是由点，线，面构成的。

②面与面相交得线，线与线相交得点。

③点动成线，线动成面，面动成体。

④过平面上n个点（任意三点不在同一直线上）可作直线的条数为

⑤过平面上n个点（任意三点不在同一直线上）可作三角形的个数为

展开与折叠：

①在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方体。

②n棱柱就是底面图形有n条边的棱柱。

截一个几何体：

用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。

三视图：

从正面看物体看到的图形，称为主视图；从左面看物体看到的图形，称为左视图；从上面看物体看到的图形，称为俯视图。

三个视图的区别与联系：

联系：

它们是同一物体的投影；区别：

投影方向即看物体的方向不同；

大小关系：

长对正，高平齐，宽相等。

2：

角

线：

线包括射线、直线、线段。

①线段有两个端点。

②将线段向一个方向无限延长就形成了射线。

射线只有一个端点。

③将线段的两端无限延长就形成了直线。

直线没有端点。

④经过两点有且只有一条直线。

比较长短：

①两点之间的所有连线中，线段最短。

②两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。

角的度量与表示：

①角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。

②1度的

是1分，1分的

是1秒。

角的比较：

①角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。

②一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。

始边继续旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做周角。

③从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

平行：

①同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。

垂直：

①如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。

②互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。

③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

3：

相交线与平行线

角：

①如果两个角的和是直角,那么称这两个角互为余角；如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。

②同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。

③对顶角相等。

④同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行。

反之亦然。

4：

三角形

三角形：

①由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

②三角形任意两边之和大于第三边。

三角形任意两边之差小于第三边。

③三角形三个内角的和等于180度。

④三角形分锐角三角形；直角三角形；钝角三角形。

⑤直角三角形的两个锐角互余。

⑥三角形中一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

⑦三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做这个三角形的中线。

⑧从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

⑨三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

三角形的外角和为360°

n边形的内角和为（n-2）×180°

n边形的外角和为360°

等腰三角形：

①等边对等角：

②三线合一（顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合）；③轴对称图形，有一条对称轴。

等边三角形：

①三边相等：

②三个内角都相等，并且每个角都是60°；③轴对称图形，有三条对称轴。

三角形的“四心”：

①外心——三边中垂线的交点，为三角形外接圆的圆心；这点到三个顶点的距离相等。

②内心——三条内角平分线的交点，为三角形内切圆的圆心；这点到三角形三边的距离相等。

③重心——三条中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶3。

④垂心——三条高的交点。

图形的全等：

全等图形的形状和大小都相同。

两个能够重合的图形叫全等图形。

全等三角形：

①全等三角形的对应边相等；对应角相等。

②条件：

SSS；AAS；ASA；SAS；HL。

勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，反之亦然。

射影定理；如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB边上的高，则CD2=AD×BDAC2=AD×ABBC2=BD×AB

5：

四边形

平行四边形的性质：

①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

②平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线。

③平行四边形的对边相等；对角相等。

④平行四边形的对角线互相平分。

⑤平行四边形是中心对称图形而不是轴对称图形。

平行四边形的判定条件：

①两条对角线互相平分的四边形；②一组对边平行且相等的四边形；③两组对边分别相等的四边形；④两组对角分别相等的四边形；⑤定义。

菱形：

①一组邻边相等的平行四边形是菱形。

②菱形的四条边相等，两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

③菱形的面积等于两对角线乘积的一半。

④菱形既是中心对称图形也是轴对称图形，有两条对称轴。

菱形的判定条件：

①定义；②对角线互相垂直且平分的平行四边形；③四条边都相等的四边形。

矩形与正方形：

①有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。

②矩形的对角线相等，四个角都是直角。

③对角线相等的平行四边形是矩形。

④正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质。

⑤一组邻边相等的矩形是正方形。

⑥平行四边形、矩形、菱形、正方形之间用集合图的观点描述它们的关系，如图。

梯形：

①一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形。

②两条腰相等的梯形叫等腰梯形。

③一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

④等腰梯形同一底上的两个内角相等；对角线相等。

反之亦然。

⑤梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

6：

圆

圆：

①定义：

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆；在同一平面内，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

②圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。

③圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。

④同圆或等圆的半径相等。

⑤到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆。

点和圆的位置关系：

设⊙O的半径为r，点p到圆心的距离为d，则有：

①点p在⊙O上

op=r②点p在⊙O内

op

op>r

定理：

不在同一直线上的三点确定一个圆。

垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧。

推论1：

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

　　　　　②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

　　　　　③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。

推论2：

圆的两条平行弦所夹的弧相等。

定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。

定理：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：

同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：

如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

定理：

圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

直线与圆的位置关系：

设⊙O的半径为r，圆心到直线L的距离为d

①直线L和⊙O相交

d＜r

　　②直线L和⊙O相切

d=r

　　③直线L和⊙O相离

d＞r

圆中常作的辅助线：

①连接过切点的半径；②作出直径所对的圆周角；③相交两圆作公共弦或连心线；④在关计算，作弦心距造直角三角形。

切线的判定定理：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质定理：

圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论1：

经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推论2：

经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

圆的外切四边形的两组对边的和相等。

﹡弦切角定理：

弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

推论：

如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。

﹡相交弦定理：

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

﹡推论：

如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

﹡切割线定理：

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

﹡推论：

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。

两圆的位置关系：

设两圆的半径为R、r（R>r），d为两圆的圆心距，则有：

①两圆外离

d＞R+r②两圆外切

d=R+r③两圆相交

R-r＜d＜R+r④两圆内切

d=R-r⑤两圆内含

0≤d＜R-r

定理：

相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

正多边形：

各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形；①如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形。

②一个正多边形的外接圆的圆心是这个正多边形的中心；③外接圆的半径是正多边形的半径；④正多边形的每一条边所对的圆心角是这个正多边形的中心角；⑤中心到正多边形的一边的距离是正多边形的边心距。

定理：

把圆分成n（n≥3）：

　　　⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

　　　⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个的外切正n边形

定理：

任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆正n边形的每个n边形的每个内角都等于

定理：

①正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形②正n边形的面积

（p表示正n边形的周长，m表示边心距）。

③正三角形面积

（a表示边长）。

④如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360