中考数学一轮复习第四章三角形第2节三角形及其性质练习册.docx

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中考数学一轮复习第四章三角形第2节三角形及其性质练习册

第2节　三角形及其性质

课时1　一般三角形及等腰三角形

（建议答题时间：

40分钟）

1.（2017泰州）三角形的重心是（　　）

A.三角形三条边上中线的交点

B.三角形三条边上高线的交点

C.三角形三条边垂直平分线的交点

D.三角形三条内角平分线的交点

2.（2017金华）下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（　　）

A.2，3，4B.5，7，7

C.5，6，12D.6，8，10

3.（2017株洲）如图，在△ABC中，∠BAC＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠BAD的度数是（　　）

A.145°B.150°C.155°D.160°

第3题图

4.（2017甘肃）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为（　　）

A.2a＋2b－2cB.2a＋2bC.2cD.0

5.（2017德阳）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的大小是（　　）

A.15°B.20°C.25°D.30°

第5题图第6题图

6.（2017滨州）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为（　　）

A.40°B.36°C.30°D.25°

7.（2017荆州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（　　）

A.30°B.45°C.50°D.75°

第7题图第8题图第9题图

8.（2017郴州）小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于（　　）

A.180°B.210°C.360°D.270°

9.（2017天津）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP＋EP最小值的是（　　）．

A.BCB.CEC.ADD.AC

10.（2017泰州）将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为________．

第10题图第12题图第13题图

11.（2017成都）在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A的度数为________．

12.（2017江西）如图①是一把园林剪刀，把它抽象为图②，其中OA＝OB，若剪刀张开的角为30°，则∠A＝________度．

13.（2017湘潭）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为点E，请任意写出一组相等的线段________．

14.（2017徐州）△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，DE＝7，则BC＝________.

15.（2017丽水）等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是________．

16.（2017陕西）如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A＝52°，则∠1＋∠2的度数为________．

第16题图第18题图

17.（2017淄博）在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝________.

18.（2017宁夏）在△ABC中，AB＝6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME＝DM，当AM⊥BM时，则BC的长为________．

19.（2017达州）△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是________．

20.（2017内江）如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.

求证：

△BDE是等腰三角形．

第20题图

21.（2017北京）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.

求证：

AD＝BC.

第21题图

22.（2017连云港）如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD交于点F.

（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；

（2）求证：

过点A、F的直线垂直平分线段BC.

第22题图

课时2　直角三角形及勾股定理

（建议答题时间：

40分钟）

1.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）

A.，，B.1，，

C.6，7，8D.2，3，4

2.（2016沈阳）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是（　　）

A.B.4C.8D.4

第2题图第3题图

3.（2017大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为（　　）

A.2aB.2aC.3aD.a

4.（2017黄石）如图，在△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB＝2，AC＝1，DE＝，则∠CDE＋∠ACD＝（　　）

A.60°B.75°C.90°D.105°

第4题图第5题图

5.（2017重庆巴蜀月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E.若BC＝4，AC＝8，则BD＝（　　）

A.3B.4C.5D.6

6.（2017陕西）如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为（　　）

A.3B.6C.3D.

　第6题图第7题图

7.（2017襄阳）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a＋b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（　　）

A.3B.4C.5D.6

8.（2017株洲）如图，在Rt△ABC中，∠B的度数是________度．

第8题图第11题图第12题图

9.（2017安顺）三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于________．

10.（2017岳阳）在△ABC中，BC＝2，AB＝2，AC＝b，且关于x的方程x2－4x＋b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为________．

11.（2017常德）如图，已知Rt△ABE中∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是________．

12.（2017娄底）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，点D为AC的中点，点E，F分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF＝90°，若ED的长为m，则△BEF的周长是________．（用含m的代数式表示）

13.（2017杭州）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于________．

第13题图第14题图

14.（2017武汉）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，BD＝2CE，则DE的长为________．

15.（2017山西）一副三角板按如图方式摆放，得到△ABD和△BCD，其中∠ADB＝∠BCD＝90°，∠A＝60°，∠CBD＝45°.E为AB的中点，过点E作EF⊥CD于点F.若AD＝4cm，则EF的长为________cm.

第15题图第16题图

16.（2017河南）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为________．

17.（2018原创）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．（结果保留根号）

第17题图

18.（2018原创）如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.

（1）求DB的长；

（2）在△ABC中，求BC边上高的长．

第18题图

19.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，

（1）求AB的长；

（2）求CD的长．

第19题图

20.（2017徐州）如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC、DB.

（1）线段DC＝________；

（2）求线段DB的长度．

第20题图

答案

课时1一般三角形及等腰三角形

1.A2.C3.B

4.D　【解析】由三角形中任意两边之和大于第三边，得：

a＋b>c，∴c－a－b＝c－（a＋b）<0，∴|c－a－b|＝a＋b－c，|a＋b－c|＝a＋b－c，∴|a＋b－c|－|c－a－b|＝0.

5.B　【解析】∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABC＝2∠ABE＝50°，又∵∠BAC＝60°，则∠C＝70°，又∵∠ADC＝90°，∴∠DAC＝20°.

6．B　【解析】设∠C＝x°，∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝x°，∴∠ADB＝2x°，∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝2x°，∴∠B＝180°－4x°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝x°，∴180°－4x°＝x°，解得x＝36，∴∠B＝∠C＝36°.

7．B　【解析】∵∠A＝30°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝75°，又∵l为AB的垂直平分线，∴DB＝DA，∠DBA＝∠A＝30°∴∠CBD＝∠CBA－∠DBA＝75°－30°＝45°.

8.B　【解析】如解图，∵∠C＝∠F＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，∠2＋∠5＝90°，又∵∠2＝∠4，∴∠3＝∠5，∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠5＝180°－∠β，∵∠α＝∠D＋∠1＝∠D＋180°－∠β，∴∠α＋∠β＝∠D＋180°＝30°＋180°＝210°.

第8题解图

9.B　【解析】∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，∴点B关于AD的对应点为点C，∴CE等于BP＋EP的最小值．

10.15°　11.40°　12.75　13.CD＝DE

14.14

15.100°　【解析】由三角形内角和定理可知，若等腰三角形的一个内角为100°，则这个内角为顶角，此时两底角均为40°，即该三角形顶角的度数是100°.

16.64°　【解析】∵在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线，∴∠1＝∠ABD＝∠ABC，∠2＝∠ACE＝∠ACB，∴∠1＋∠2＝（∠ABC＋∠ACB），∵∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝180°－52°＝128°，∴∠1＋∠2＝（∠ABC＋∠ACB）＝×128°＝64°.

17.2　【解析】假设点D与点B重合，可得DE＋DF为等边三角形AC边上的高，再由等边三角形的边长为4，可求AC边上的高为2，故DE＋DF＝2.

18.8　【解析】∵AM⊥BM，∴∠AMB＝90°，在Rt△ABM中，∵D是AB的中点，∴DM＝AB＝3，∵ME＝DM，∴ME＝1，DE＝4，又∵DE∥BC，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝8.

19.1＜m＜4　【解析】如解图，延长AD到点E，使AD＝ED，连接CE，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∵在△ABD和△ECD中，BD＝CD，DE＝AD，∠ADB＝∠EDC，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB＝EC，在△AEC中，∵AC＋EC＞AE，且EC－AC＜AE，即AB＋AC＞2AD，AB－AC＜2AD，∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4即1＜m＜4.

第11题解图

20.证明：

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠DAC，

∵DE∥AC，

∴∠ADE＝∠DAC.

∴∠BAD＝∠ADE，

∵AD⊥BD，

∴∠ADB＝90°，

∴∠BAD＋∠B＝90°.

∵∠BDE＋∠ADE＝90°，

∴∠B＝∠BDE，

∴BE＝DE，

∴△BDE是等腰三角形．

21.解：

∵AB＝AC

∴在△ABC中，

∠ABC＝∠C＝（180°－∠A）＝×（180°－36°）＝72°，

又∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝×72°＝36°，

∴∠ABD＝∠A，∴AD＝BD，

又∵在△ABC中，∠BDC＝∠A＋∠ABD＝36°＋36°＝72°，

∴∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，

∴AD＝BC.

22.

（1）解：

∠ABE＝∠ACD.理由如下：

∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，AE＝AD，

∴△ABE≌△ACD（SAS）．

∴∠ABE＝∠ACD；

（2）证明：

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB.

由

（1）可知∠ABE＝∠ACD，

∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC.

又∵AB＝AC，

∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即过点A、F的直线垂直平分线段BC.

课时2　直角三角形及勾股定理

1.B2.D

3.B　【解析】∵CD⊥AB，CD＝DE＝a，∴CE＝a，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，点E是AB的中点，∴AB＝2CE＝2a.

4.C　【解析】∵点E为BC边的中点，CD⊥AB，DE＝，∴BE＝CE＝DE＝，∴∠CDE＝∠DCE，BC＝.在△ABC中，AC2＋BC2＝1＋（）2＝4＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴∠CDE＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD＝90°.

5.C　【解析】设BD＝x，∵边AB的垂直平分线交AC于点D，∴AD＝BD＝x，则CD＝8－x，在Rt△BCD中，根据勾股定理，得x2－（8－x）2＝42，解得x＝5.

6.A　【解析】∵∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，AC＝BC＝3，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，在Rt△ABC中，AB＝＝＝3，又∵△ABC≌△A′B′C′，∴A′B′＝AB＝3，∠C′A′B′＝∠CAB＝45°，∴∠CAB′＝∠C′AB′＋∠CAB＝45°＋45°＝90°，在Rt△CAB′中，AC＝3，AB′＝3，∴B′C＝＝＝3.

7.C　【解析】如解图，∵S正方形ABCD＝13，∴AB＝，∵AG＝a，BG＝b，∴a2＋b2＝AB2＝13，∵（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2＝21，∴2ab＝（a＋b）2－a2－b2＝21－13＝8，∴ab＝4，∴S△ABG＝ab＝×4＝2，∴S小正方形＝S大正方形－4S△ABG＝13－4×2＝5.

　第7题解图

8.25　9.

10.2　【解析】∵方程x2－4x＋b＝0有两个相等的实数根，∴b2－4ac＝16－4b＝0，解得b＝4.又∵BC＝2，AB＝2，AC＝b＝4，∴AB2＋BC2＝

（2）2＋22＝42＝AC2，∴∠B＝90°，∴AC边上的中线长为2.

11.0

　第11题解图

12.2＋m　【解析】如解图，连接BD，∵D为AC的中点，∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∴∠BDC＝90°，∠ABD＝∠C＝45°，∴∠BDF＋∠FDC＝90°，又∵∠EDF＝90°，∴∠BDF＋∠BDE＝90°，∴∠CDF＝∠BDE，∴△BED≌△CFD（ASA），∴BE＝CF，DE＝DF，则BE＋BF＋EF＝BC＋EF＝2＋EF，而Rt△DEF中，DE＝DF＝m，∴EF＝m，则△BEF的周长为2＋m.

　第12题解图

13.78　【解析】如解图，过点A作AH⊥BC于点H，∵AB＝15，AC＝20，∠BAC＝90°，∴由勾股定理得，BC＝＝25，∵AD＝5，∴DC＝20－5＝15，∵DE⊥BC，∠BAC＝90°，∴△CDE∽△CBA，∴＝，∴CE＝×20＝12.

　第13题解图

14.3－3　【解析】∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴BC＝6，∠B＝∠BCA＝30°，如解图，将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACD′，∴∠D′CA＝∠B＝30°，AD＝AD′，∴∠D′CE＝60°，∵∠DAE＝60°，∠DAD′＝120°，∴∠EAD′＝60°，∴△EAD′≌∠EAD（SAS），∴ED′＝ED，∴ED′＋BD＋EC＝6，∴EC＝，∵CD′＝BD＝2CE，∠D′CE＝60°，∴∠D′EC＝90°，∴D′E2＋EC2＝D′C2，即DE2＋（）2＝（×2）2，解得DE＝3－3（负根舍去）．

　第14题解图

15.＋　【解析】如解图，连接DE，在EF上找一点G，使得DG＝EG，连接DG，在Rt△ABD中，∠A＝60°，∴AD＝AB，又∵E为AB的中点，∴AE＝AB＝DE，∴AD＝AE＝DE，∴△ADE为等边三角形，∴DE＝AD＝4cm，∠DEA＝60°，又∵EF⊥CD，∠C＝90°，∴EF∥CB，∴∠AEF＝∠ABC＝75°，∴∠DEF＝15°，在Rt△EFD中，∠EFD＝90°，∵DG＝EG，∴∠GDE＝∠DEF＝15°，∴∠DGF＝30°，设DF＝x，则EG＝DG＝2x，FG＝x，EF＝（2＋）x，根据勾股定理得DF2＋EF2＝DE2，即x2＋（2＋）2x2＝16，解得x＝－，∴EF＝（＋）cm.

　第15题解图

16.或1　【解析】

（1）当∠B′MC为直角时，此时点M在BC的中点位置，点B′与点A重合，如解图①，则BM长度为BC＝；

（2）当∠MB′C为直角时，如解图②，根据折叠性质得，BM＝B′M，BN＝B′N，B′M∥BA，∴＝，即＝＝，∴＝，即＝，即＝，∵BC＝＋1，∴BM＝1.故BM长为或1.

第16题解图

17.解：

∵∠BDC＝45°，∠ABC＝90°，

∴△BDC为等腰直角三角形，

∴BD＝BC，

∵∠A＝30°，∴BC＝AC，

在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC2＝AB2＋BC2，即（2BC）2＝（4＋BD）2＋BC2，

解得BC＝BD＝2＋2（负根舍去）．

18.解：

（1）∵DB⊥BC，BC＝4，CD＝5，∴BD＝＝3；

（2）如解图，延长CB，过点A作AE⊥CB交CB延长线于点E，

∵DB⊥BC，AE⊥BC，

∴AE∥DB，∵D为AC边的中点，∴BD＝AE，

∴AE＝6，即BC边上高的长为6.

第18题解图

19.解：

（1）在Rt△ABC中，

∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，

∴AB＝＝＝25，

即AB的长是25；

（2）∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，

∴20×15＝25·CD，∴CD＝12.

20.解：

（1）4；

【解法提示】在△ACD中，

∵∠A＝60°，AC＝AD，

∴△ACD是等边三角形，

∴DC＝AC＝4.

（2）如解图，过点D作DE⊥BC于点E.

第20题解图

在△CDE中，∠DCE＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°＝30°，CD＝4，

∴DE＝2，根据勾股定理得CE＝＝2，

∴BE＝BC－CE＝3－2＝，

∴DB＝＝＝.