六年级下册数学试题数学竞赛 相等和值问题 全国通用版含答案.docx
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六年级下册数学试题数学竞赛相等和值问题全国通用版含答案
小学数学六年级（2019全国通用）-数学竞赛部分-相等和值问题（含答案）
一、填空题
1.如右图的6条线分别连接着九个○，其中一个○里的数字是6．请你选九个连续自然数（包括6在内），填入○内，使每条线上各数的和都等于23．
2.如图，时钟的钟面上标有1，2，3，…，12共12个数，一条直线把钟面分成了两部分，请你再用一条直线分割钟面，使钟面被分成三个不同的部分且各部分所包含的几个数的和都相等，则其中两个部分所包含的几个数的和都相等，则其中两个部分所包含的几个数分别是________ 和________ ．
3.把3、6、9、12、15、18、21、24、27填在合适的方格里使每横行、竖行、斜行的三个数相加的和都得45．
4.学生问数学老师的年龄．老师说：
“由三个相同数字组成的三位数除以这三个数字的和，所得结果就是我的年龄．”老师今年________ 岁．
5.如图，横行、竖列各8格，每格都有一个数，已知横行上任意三个相邻数之和为15，竖列上任意三个相邻数之和为24．那么a所代表的数是________ ．
6.把4、5、6、7、8、9这六个数分别填在下图的圆圈里，使三角形每条边上的和是21．
7.图中六个小圆圈中的三个分别填有15、26、31三个数，而这三个数分别等于和它相邻的两个空白圆圈里的数的和，那么，填在三个空白圆圈里的数中，最小的一个数是________ ．
8.有A、B、C、D四张扑克牌，其中：
A、B、C三张扑克牌上的点数之和是15；
A、B、D三张扑克牌上的点数之和是16；
A、C、D三张扑克牌上的点数之和是19；
B、C、D三张扑克牌上的点数之和是22．
那么A、B、C、D四张扑克牌上的点数分别是________ 、________ 、________ 和________ ．
9.建筑工程队甲组有21人，乙组有27人，丙组有24人．现根据工作需要，把丙组的人分到甲、乙两组去，要使甲、乙两组人数相等，应分________ 人到甲组，________ 人到乙组．
10.自制的一副玩具牌共计52张（含4种牌：
红桃，红方、黑桃、黑梅．每种牌都有1点、2点，…、13点牌各一张）．洗好后背面朝上放好．一次至少抽取 ________ 张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同．如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的（不计颜色），那么至少要取________ 张牌．
11.如图，九个小正方形内各有一个两位数，而且每行、每列及两条对角线上的三个整数的和相等．那么Χ=________ ．
12.把1～8个数分别填入○中，使每条边上三个数的和相等．
13.把0～9填入10个小三角形中，使每4个小三角形组成的大三角形的和相等．
14.如图，九个小正方形内各有一个一位数，并且每行、每列及两条对角线上的三个整数的和相等，那么x=________ ．
15.把63表示成n个连续自然数的和，试写出各种可能的表示法：
________ ．
16.七个圆内填入七个连续自然数，使每两个相邻圆内的数之和等于连线上的已知数，b为一位数，那么写A的圆内应填入________ ．
二、计算题
17.在如图的○里填上适当的数，使每个正方形四个角上的数加起来等于1．
18.分数
的分子、分母同时加上什么数，所得的新分数等于
？
19.将1～6分别填在图中，使每条边上的三个○内的数的和相等．
20.图中8个顶点处标注数字a，b，c，d，e，f，g，h，其中的每一个数都等于相邻三个顶点处数的和的
，求：
（a+b+c+d）﹣（e+f+g+h）的值．
21.把2、3、4、5、6填入右边图中，使横行、竖行的三个数相加的和相等．
三、应用题
22.电梯在一座十一层的楼房内上下运行．到二楼时，如果有人上或下，管理员就在盒内放入一个小球；到三楼时，如果有人上或卞就放两个小球；到四楼时，如果有人上或下就放三个小球；…以此类推，并且这个规律不变．如果无人上或下，则不放小球．一次，电梯从一楼开始上行到达顶层时，共有四层楼无人上或下，管理员共放了25个小球，请问：
有哪几层楼无人上或下？
简要说明你的理由．
23.第二中队有8名男同学，女同学的人数跟男同学同样多，第二中队共有多少名同学？
24.布袋中12个乒乓球分别标上了1，2，3，…，12．甲、乙、丙三人，每人从布袋中拿四球，已知三人所拿球上的数的和相等，甲有两球标上5、12，乙有两球标有6、8，丙有1球标1，问丙的其它三个球上所标的数是多少？
答案解析部分
一、填空题
1.【答案】
【考点】相等和值问题
【解析】【解答】解：
具体填法如下图：
【分析】当六条线上的数分别相加时，数6只加了1次，其余各数分别加了两次．又已知每条对角线上各数之和都等于23，所以这九个连续自然数之和应是（6×23+6）÷2=72．
于是九个数的中间数是72÷9=8，由此可知这九个连续自然数是4，5，6，7，8，9，10，11，12．其中显然只有11+12=23，故x=11，y=12和x=12，y=11．
首先考虑x=11，y=12的情况．注意7若不与x或y在一条线上，则23﹣7=16，只能表示成10+6，而过7的线段却有两条，所以必须f=7，于是c=4，d=5，再由a+b=23﹣6=17，可知a、b均不为10，e=10，a=8，b=9，于是得到下图：
当x=12，y=11时，同理可得：
f=7，g=11，h=12．
2.【答案】3，4，9，10；5，6，7，8
【考点】相等和值问题
【解析】【解答】解：
如图：
因为分成三部分，且每部分的和相等，
所以其中两个部分所包含的几个数分别是：
3，4，9，10；5，6，7，8．
故答案为：
3，4，9，10；5，6，7，8．
【分析】一共是12个数，分成三部分，且每部分的和相等．则应从两头分别相加，即前边取两个，后边取两个，依次相加即可．
3.【答案】
【考点】相等和值问题
【解析】【解答】解：
3+27=30 6+24=30 9+21=30 12+18=30它们都加15得45．
即：
3+27+15=45 6+24+15=45 9+21+15=45 12+18+15=45．
另外：
6+27+12=45 6+21+18=45 18+3+24=45 24+9+12=45．
故“把3、6、9、12、15、18、21、24、27填在合适的方格里，
使每横行、竖行、斜行的三个数相加的和都得45．”有以下4种排法：
【分析】这一组数的特点是：
后一个数与前一个数的差总是3．有这总特征的9个数，对应首尾两数之和是30，这时只剩下15，所以就让15填在最中间的空格处，首尾序号对应相同的两数在同一横行或列或斜行上，但最大（或最小）的那个数不能放在四个角上．
4.【答案】37
【考点】相等和值问题
【解析】【解答】解：
111÷（1+1+1）=37；
222÷（2+2+2）=37；
333÷（3+3+3）=37；
…
999÷（9+9+9）=37；
故答案为：
37．
【分析】我们学过的数字一共有10个，符合该题条件的有1﹣﹣9共9个，根据要求可以逐一试试，即可得出答案．
5.【答案】7
【考点】相等和值问题
【解析】【解答】解：
如图：
由7+b+c=24，则b+c=17，又b+c+d=24，所以d=7；
由6+g+f=24，则g+f=18，又g+f+e=24，所以e=6；
由2+h+i=15，又h+i+j=15，所以j=2，又j+a+e=15，得2+a+6=15，所以a=7．
故答案为：
7
【分析】为便于解答，在有关方格内写上字母，如图．由7+b+c=24，推出b+c的值，再根据b+c+d=24，推出d的值；由6+g+f=24，推出g+f的值，再根据g+f+e=24，推出e的值；由2+h+i=15，又h+i+j=15，推出j的值，再根据j+a+e=15，推出2+a+6=15，进而求出a的值．解决问题．
6.【答案】
【考点】相等和值问题
【解析】【解答】解：
因为三个重叠数之和=21×3﹣（4+5+6+7+8+9）=24，
在4、5、6、7、8、9这几个数中和是24的只有7，8，9．
三个重叠数是7，8，9，那么根据每条边上的三个数之和等于21．
故把4、5、6、7、8、9这六个数分别填在下图的圆圈里，使三角形每条边上的和是21，可得下图的填法．
【分析】本题有三个重叠数，即三角形三个顶点○内的数都是重叠数，并且各重叠一次，所以三个重叠数之和=21×3﹣（4+5+6+7+8+9）=24；在4、5、6、7、8、9这几个数中和是24的只有7，8，9；所以要把它们安排在顶点上即可．
7.【答案】5
【考点】相等和值问题
【解析】【解答】解：
设和15相邻的两个数是a和b，和26相邻的两个数是b和c，和31相邻的两个数是b和c，由题意得：
a+b=15①；
b+c=26②；
a+c=31③；
由①可得：
a=15﹣b，
由②可得：
c=26﹣b，
代入③可得：
15﹣b+26﹣b=31，
2b=10，
b=5；
那么：
a=15﹣5=10，
c=26﹣5=21；
所以这几个圈里填的数为：
最小的为5．
故答案为：
5．
【分析】设和15相邻的两个数是a和b，和26相邻的两个数是b和c，和31相邻的两个数是b和c；分别根据它们的和列出等式，再代换求解即可．
8.【答案】2；5；8；9
【考点】相等和值问题
【解析】【解答】解：
因为，A+B+C=15，A+B+D=16，A+C+D=19，B+C+D=22，
将此三个等式等号的两边相加，3（A+B+C+D）=72，
A+B+C+D=24，将此等式分别减去上面的三个等式，
D=9，
C=8，
B=5，
A=2，
故答案为：
2，5，8，9．
【分析】根据题意知道，A+B+C=15，A+B+D=16，A+C+D=19，B+C+D=22，将此三个等式等号的两边相加，可以求出A+B+C+D的值，由此即可求出A、B、C、D的值．
9.【答案】15；9
【考点】相等和值问题
【解析】【解答】解：
（21+27+24）÷2
=72÷2
=36（人）
36﹣21=15（人）
36﹣27=9（人）
答：
应分15人到甲组，9人到乙组．
故答案为；15，9．
【分析】把丙组的人分到甲、乙两组去，要使甲、乙两组人数相等，先求出甲乙丙三组的人数的和，除以2，得到平均值，然后用平均值减去甲组人数，平均值减去乙组人数，即可得解．
10.【答案】27；37
【考点】相等和值问题
【解析】【解答】解：
（1）可取红，黑色的1，2，3，4，5，6，7，8，9.10，11，12，13点各2张，共13×2=26（张），那么再取一张牌，必定和其中某一张牌的点数相同，于是就有2张牌点数和颜色都相同，这是最坏的情况，因此至少要取27张牌，必须保证有2张牌点数，颜色都相同．
（2）有以下的搭配：
（1，2，3），（4，5，6），（7，8，9），（10，11，12），13
因而对涂阴影部分得9个数，四种花色的牌都取，9×4=36（（张）牌，其中没有3张牌的点数是相邻的．
现在考虑取37张牌，极端情况下，这37张牌，有4张是13，则至少有33张牌取自（1，2，3），（4，5，6），（7，8，9），（10，11，12）这4个抽屉，根据抽屉原理，必有9个数来自其中的一个抽屉，这个抽屉中就一定有3张牌的点数是相邻的，因此，至少要取37张牌．
故自制的一副玩具牌共计52张（含4种牌：
红桃，红方、黑桃、黑梅．每种牌都有1点、2点，…、13点牌各一张）．洗好后背面朝上放好．一次至少抽取27张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同．如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的（不计颜色），那么至少要37张牌．
故答案为：
27，37．
【分析】
（1）每种点数的有4张，要有3个相邻的！
则根据抽屉原理，首先要把所有不同的都能抽出来．
（2）首先，抽第1、2张是两张王牌．然后抽第3﹣15张是黑桃那13张牌，第16﹣28张是红心那13张牌，第29﹣41张是梅花那13张牌．这个时候，已经抽了41张牌了，剩下方块那13张牌．只要从这13张方块中任意抽1张，就必定有4张牌点数相同．
11.【答案】24
【考点】相等和值问题
【解析】【解答】解：
每个小正方形内的两位数分别用a、b、c、d、e、f来表示，每行、每列及两条对角线上的三个整数的和相等．
则有：
a+b+22=26+X+22，①
c+X+d=26+X+22，②
26+e+f=26+X+22，③
a+c+26=26+X+22，④
b+X+e=26+X+22，⑤
22+d+f=26+X+22，⑥
a+X+f=26+X+22；⑦
都用26+X+22来表示，前6式左边加左边等于右边加右边，整理，得：
a+b+c+d+e+f=96+2X，
由②得c+d=48，由⑤得b+e=48，由⑦得a+f=48，把这3式代入上式，得：
48×3=96+2X，
2X=48，
X=24．
答：
那么Χ=24．
故答案为：
24．
【分析】如下图所示，每个小正方形内的两位数分别用a、b、c、d、e、f来表示，每行、每列及两条对角线上的三个整数的和相等．都用26+X+22来表示，前6式左边加左边等于右边加右边，整理，得：
a+b+c+d+e+f=96+2X，
由②得c+d=48，由⑤得b+e=48，由⑦得a+f=48，把这3式代入上式，得：
48×3=96+2X，X=48，X=24．
12.【答案】
【考点】相等和值问题
【解析】【解答】解：
所填数字如下图：
【分析】假设四个角上的数是a、b、c、d，每条边上三个数的和是k，则有：
1+2+3+4+5+6+7+8+a+b+c+d=4k，36+a+b+c+d=4k，9+（a+b+c+d）÷4=k，k是整数，所以四个角上的数的和是4的倍数，1+2+3+6=12，k=9+3=12，其他四个数4、5、7、8，1+3+8=12，2+3+7=12，1+6+5=12，2+4+6=12；成立．2+3+4+7=16，k=4+9=13．其他四个数1、5、6、8，2+3+8=13，4+7+1=12，3+4+6=13，2+5+7=14，不成立．其他情况都不成立．
13.【答案】
【考点】相等和值问题
【解析】【解答】解：
去掉0后，每组数的和为：
（1+2+3+4+5+6+7+8+9）÷3
=45÷3
=15；
可以分成如下图：
．
【分析】解题的思路是从0～9去掉一个数，使剩下的9个数平均分成3组，因为0较特殊，所以去掉0．
14.【答案】5
【考点】相等和值问题
【解析】【解答】解：
如图所示，
a+x+f=9+x+1，有a+f=10；同理d+x+c=9+x+1得d+c=10；
所以a+f+d+c=20
又a+9+d=9+x+1，得a+d=x+1；
c+1+f=9+x+1，得c+f═x+9，
则a+d+c+f=2x+10．
所以2x+10=20，x=5．
故答案为：
5．
【分析】如图所示，设其它六个数一位数为a、b、c、d、e、f，已知中间竖行三个数为9、x、1，由题意可知：
a+x+f=9+x+1，有a+f=10；同理d+x+c=9+x+1得d+c=10；所以a+f+d+c=20；又a+9+d=9+x+1，得a+d=x+1；c+1+f=9+x+1，得c+f=x+9，则a+d+c+f=2x+10．所以2x+10=20，x=5．
15.【答案】63=31+32=20+21+22=8+9+10+11+12+13=6+7+8+9+10+11+12=3+4+5+6+7+8+9+10+11
【考点】相等和值问题
【解析】【解答】解：
把63表示成n个连续自然数的和共有以下几种表示法：
两个数：
n+n+1=63，n=31．数是31，32
三个数：
（n﹣1）+n+（n+1）=63，n=21．数是20，21，22
四个数（n﹣1）+n+（n+1）+（n+2）=63，无解
五个数（n﹣2）+（n_1）+n+（n+1）+（n+2）=63，无解
六个数（n﹣2）+（n﹣1）+n+（n+1）+（n+2）+（n+3）=63，n=10数是8，9，10，11，12，13
七个数（n﹣3）+（n﹣2）+（n﹣1）+n+（n+1）+（n+2）+（n+3）=63，n=9，数是6，7，8，9，10，11，12，
八个数，…无解
九个数，数是，3，4，5，6，7，8，9，10，11；
共五种．
即63=31+32=20+21+22=8+9+10+11+12+13=6+7+8+9+10+11+12=3+4+5+6+7+8+9+10+11．
【分析】本题可据连续的自然数为公差是1的等差数列进行分析，如连续两个自数：
n+（n+1）=63，可得：
31+32=63．据此分析即可．
16.【答案】6
【考点】相等和值问题
【解析】【解答】解：
6+10+14+11+8+12+b=61+b，
此时只有b=9时61+b=61+9=70符合题意，
如图所示：
B=A﹣4，
C=B+3，所以C=A﹣1；
D=C+3，所以D=A+2；
而A+D=14；
即A+A+2=14，所以A=（14﹣2）÷2=6．
故答案为：
6．
【分析】把每两个相邻圆内的数之和相加，相当于圆内的每个数字都加了2次，所以每两个相邻圆内的数之和的和一定是2和7的倍数，又由a的个位数字是b可知b为一位数，据此可得出b的值．再由图中两圆的和的特点推出隔一个圆的数之间的关系，等量代换即可解答．
二、计算题
17.【答案】解：
1﹣（
+
+
）
=1﹣
=
；
1﹣（
+
+
）
=1﹣
=
；
1﹣（
+
+
）
=1﹣
=
；
1﹣（
+
+
）
=1﹣
=
；
1﹣（
+
+
）
=1﹣
=
．
故答案为：
【考点】相等和值问题
【解析】【分析】根据题意，在小正方形
中
+
+
=
，每个正方形四个角上的数加起来等于1，那么用1﹣
=
，可以求出这个小正方形中数；同理可以求出其它○里面的数．
18.【答案】解：
假设同时加上x，由题意，得：
=
，
1995×（1995+x）=1996×（1993+x），
（1996﹣1995）x=1995×1995﹣1996×1993，
x=1995×1995﹣1995×1993﹣1993，
=1995×2﹣1993，
=1995+2，
=1997；
答：
分数
的分子、分母同时加上1997，所得的新分数等于
．
【考点】相等和值问题
【解析】【分析】假设同时加上x，可以列出一个等式，通过解方程求解．
19.【答案】解：
根据题意（如下图），当最上面角的○内填1时，下面两个角的○内分别填2、3，通过调整4、5、6三个数的位置，得出a与b的填法，
当最上面角的○内填2时，下面两个角的○内分别填1、3，通过调整4、5、6三个数的位置，得出c与d的填法，
当最上面角的○内填3时，下面两个角的○内分别填1、2，通过调整4、5、6三个数的位置，得出e与f的填法，
【考点】相等和值问题
【解析】【分析】根据此图的特点，及每条边上的三个○内的数的和相等，可以确定三个角上的○内的数是1、2、3，并且每条边的和是9，再根据所填角上○内的数，调整4、5、6这三个数的位置，即可得出答案．
20.【答案】解：
由已知条件得：
3a=b+d+e，3b=a+c+f，3c=b+d+g，3d=a+c+h；
由于3a+3b+3c+3d=b+d+e+a+c+f+a+c+h=3（a+b+c+d）=2（a+b+c+d）+（e+f+g+h）．
所以（a+b+c+d）=e+f+g+h；
则（a+b+c+d）﹣（e+f+g+h）=0．
【考点】相等和值问题
【解析】【分析】由题设条件知道，b+e+d=3a
（1），c+f+a=3b
（2），d+g+b=3c（3），a+h+e=3d（4）；由
（1）+
（2）+（3）+（4）可以发现，2（a+b+c+d）+（e+f+g+h）=3（a+b+c+d）即e+f+g+h=a+b+c+d．所以（a+b+c+d）﹣（e+f+g+h）=0．
21.【答案】解：
设中间的数为x，横行、竖行和为y，
则横行、竖行的和相加为2+3+4+5+6+x=2y，
所以x一定为偶数，
即中间的数可为2、4、6，如为中间2，
6+2+3=5+2+4=11；
如中间为4，则：
6+4+2=5+4+3=12；
如果中间为6，则：
5+6+2=4+6+3=13．
故有三种填法，（同一种填法中，中间数字不变，横行竖行中其他数字倒换和不变）如图：
（1）
（2）
（3）
【考点】相等和值问题
【解析】【分析】设中间的数为x，横行、竖行和为y，则横行、竖行的和相加为2+3+4+5+6+x=2y，即相加的和为偶数，所以x一定为偶数，即中间的数可为2、4、6，如为中间2，那么一行中有一个最大的数6，就要有最小的数3，另一行就有一个次大的数5次小的数4，即6+2+3=5+2+4=11．同理分析中间为6、4时的数据组合．
三、应用题
22.【答案】解：
根据放球的规则，应放小球：
1+2+3+…+8+9+10=55（个），
但实际上只放了25个小球，
一共少放了：
55﹣25=30（个）球，
少放30个球的原因是有4层楼无人上或下，
所以，想到可以把30分解为1～10之间三个不同数的和：
30=3+8+9+10=4+7+9+10=5+6+9+10=5+7+8+10=6+7+8+9，
根据相应的结果，可以知道分别是哪四层楼无人上或下，
（1）四层、九层、十层、十一层，
（2）五层、八层、十层、十一层，
（3）六层、七层、十层，十一层，
（4）六层、八层、九层，十一层，
（5）七层、八层、九层、十层，
所以，一共有五种可能的情况，
但考虑到具体情况，如果第十一层楼没有人上下，那么电梯是不可能上到11楼的，
所以11楼一定有人上下，那么前面四种可能都被排除！
所以只有第（5）种情况符合实际，
答：
七层、八层、九层、十层，四层楼无人上或下．
【考点】相等和值问题
【解析】【分析】容易知道，电梯到达几楼时，如果有人上或下，那么所放小球的数量就比楼层数少1．现在有4层楼无人上或下，如果每层楼都有人上或下，根据放球的规则，应放小球：
1+2+3+…+8+9+10=55（个），但实际上只放了25个小球，比较可知，一共少放了55﹣25=30（个）球．当然，少放30个球的原因是有4层楼无人上或下，所以想到可以把30分解为1～10之间三个不同数的和：
30=3+8+9+10=4+7+9+10=5+6+9+10=5+7+8+10=6+7+8+9，根据相应的结果，可以知道分别是哪四层楼无人上或下．
23.【答案】解：
8+8=16（名）；
答：
第二中队共有16名同学．
【考点】相等和值问题
【解析】【分析】这道题的关键是女同学的人数跟男同学同样多，也就是8名．
24.【答案】解：
布袋中12个乒乓球上的数字和为78，三人所拿球上的数的和相等为
．
可知甲的另外两球标有的数字和为9，用排除法可知另外两球标有2、7；
乙的另外两球标有的数字和
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