清华大学固体物理第六章 晶格动力学.docx
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清华大学固体物理第六章晶格动力学
清华大学固体物理：
第六章晶格动力学
6.1
固体物理性质的变化依赖于他们的晶格动力学行为：
红外、拉曼和中子散射谱；比热，热膨胀和热导；
和电声子相互作用相关的现象如金属电阻，超导电性和光谱的温度依赖关系是其中的一部分。
事实上，
借助于声子对这些问题的了解最令人信服地说明了目前固体的量子力学图像是正确的。
晶格动力学的基础理论建立于30年代，玻恩和黄昆1954年的专题论文至今仍然是这个领域的参考教科书。
这些早期的系统而确切地陈述主要建立了动力学矩阵的一般性质，他们的对称和解析性质，没有
考虑到和电子性质的联系，而实际上正是电子性质决定了他们。
直到1970年才系统地研究了这些联系。
一个系统电子的性质和晶格动力学之间的联系的重要性不仅在原理方面，主要在于通过使用这些关系，
才有可能计算特殊系统的晶格动力学性质。
现在用abinitio量子力学技术，只要输入材料化学成分的信息，理论凝聚态物理和计算材料科学就
可以计算特殊材料的特殊性质。
在晶格动力学性质的特殊情况下，基于晶格振动的线性响应理论，大量
的abinitio计算在过去十年中通过发展密度泛函理论已经成为可能。
密度泛函微扰理论是在密度泛函理
论的理论框架之内研究晶格振动线性响应。
感谢这些理论和算法的进步，现在已经可以在整个布里渊区
的精细格子上精确计算出声子色散关系，直接可以和中子衍射数据相比。
由此系统的一些物理性质（如
比热、熱膨胀系数、能带隙的温度依赖关系等等）可以计算。
1
从固体电子自由度分离出振动的基本近似是Born-Oppenhermer（1927）的绝热近似。
在这个近似中，系统的晶格动力学性质由以下薛定谔方程的本征值,R和本征函数决定。
22
ERRR,,,（6.1.1）22MRIII
这里RRER是第I个原子核的坐标，是相应原子核的质量，是所有原子核坐标的集合，是RMIII
系统的系统的限位离子能量，常常称为Born-Oppenhermer能量表面。
ER是在固定原子核场中运动的
R相互作用电子系统的基态能量。
他们依赖参量作用在电子变量上的哈密顿量为2222Zee1IHERR（6.1.2）2BONijiI22mrrRiIirrij
这里eER是第I个原子核的电荷数，是电子电荷，是不同核之间的静电相互作用：
ZNI
2ZZeIJER（6.1.3）NIJ2RRIJ
系统的平衡几何排布由作用在每一个原子核上为零决定：
ERF0（6.1.4）IRI
而振动频率,由Born-Oppenhermer能量的Hassian本征值决定，由原子核的质量标度为：
2ER12（6.1.5）det0,RRMMIJIJ
这样系统平衡几何排布和振动性质的计算实际是计算Born-Oppenhermer能量表面的一阶和二阶微分。
实现这一目标的基本工具是Hellmann-Feynman定理：
依赖于参数哈密顿量本征值的一阶微分由哈密H,,顿量微分的期待值给出：
EH,,,,（6.1.6）,,,,
是对应于本征值哈密顿量的本征函数：
HE,,。
在Born-Oppenhermer中原子核的坐标作,EH,,,,,,,
为方程
（2）中电子哈密顿量的参数。
在电子基态作用在第I个原子核上的力为
EHRRBOFRR,,（6.1.7）IRRII
rR,是Born-Oppenhermer哈密顿量的电子基态波函数。
这个哈密顿量通过电子－离子相互作用依赖
R于，电子－离子相互作用仅仅通过电子电荷密度耦合到电子自由度。
在这种情况下Hellmann-Feynman定理表述为
172
VErRRN（6.1.8）FrrndIRRRII
这里Vr是电子和原子核之间的相互作用R
2ZeIr（6.1.9）VRiIiIrR
Rnr是对应于原子核排布的基态电子电荷密度。
在方程（5）中出现的Born-Oppenhermer能量表面的R
Hessian是通过Hellmann-Feynman力相对于原子核坐标的微分得到的：
222EnVVERrrrRFNIRRR（6.1.10）dndr+rr+RIJJJIIJIJRRRRRRRRR
方程（6.1.10）说明Born-Oppenhermer能量表面的Hessian计算需要计算基态电子电荷密度nr和原子R
核几何排布变形的线性响应nrR。
这个Hessian矩阵通常称为原子间力常数矩阵。
RI
2
Hohenberg-Kohn
根据前面的讨论，相应于原子核坐标的Born-Oppenhermer能量表面微分的计算需要电子电荷密度分布的知识。
这实际上是Hohenberg-Kohn定理描述的相互作用电子系统一般性质的特例。
根据这个定理，
不可能有两个不同的势作用在给定系统上给出相同的基态电子电荷密度。
这个性质和标准的量子力学的
Reyleigh-Ritz变分原理一起显示存在电子电荷密度普适泛函，这个泛函
（6.1.11）EnFnnVdrrr
在nrVr的积分等于总电子数的约束下相应于外加势的基态的电子电荷密度的情况下取极小值。
这个极小值就是基态能量。
这个定理提供了现行的密度泛函理论的基础。
这允许对探求具有相互作用的电子
系统基态性质的量子力学问题进行巨大的概念的简化，传统的依赖于N个电子，3N独立变量的波函数的描述，被易处理的只有3个变量的电荷密度代替。
妨碍这个不平常的简单结果直接应用的两个主要问题
是：
（1）F函数的形式是不知道的，
（2）满足nr作为一个可接受的基态电荷分布和F函数的域的条件很不清楚。
这第二个问题几乎不被强调，通常是利用拉格朗日乘子使电荷密度适当正交化的内容。
第一个
问题可以通过将系统变换到一个没有相互作用的电子系统（Kohn-Sham）。
Kohn-Sham
Hohenberg-Kohn定理说明了相互作用电子系统的所有物理性质都唯一地由此电子系统的基态电荷密
度分布决定。
这个性质不依赖于电子电子相互作用的精确的形式。
特别是当电子电子相互作用强度消失
时，FnTn定义为无相互作用电子系统的动能，作为基态电荷密度分布的泛函。
这个事实1965年被0
Kohn-Sham用来将一个相互作用的电子系统变换到一个等价的无相互作用的系统。
结果这个不知道的泛
函Fn投射为
2nnrr'eFnTnddEnrr'（6.1.12）0XC2'rr
第二项是电子电荷密度分布的经典静电自相互作用。
由（6.1.12）式定义的En被称为交换相关能。
在XC电子数不变的条件下能量泛函相对于nr的变分在形式上导致一个相同的方程，这个方程对无相互作用
电子系统成立，这些电子感受到一个有效势，也称为自洽场势，他的形式为：
nr'2VVedrrrr',（6.1.13）SCFXCrr'
其中
EXC,r（6.1.14）XC,nr
是交换相关能的泛函导数。
也称为交换相关势。
这个技巧的威力在于，如果知道了有效势Vr，无相互作用多电子问题就可以很一般地解出，不SCF
需要知道无相互作用动能泛函T的形式。
最后，简单地解单电子薛定谔方程：
0
22
Vrrr,,ε（6.1.15）2SCFnnn2mr
173
基态电荷密度分布和无相互作用动能泛函借助于辅助的Kohn-Sham轨道,r得到：
n
N22（6.1.16）nrr2,nn1
222N,rn（6.1.17）Tnd2,rr0n21n2mr
N是电子数。
系统假定为非磁的。
在最低的个轨道的每一个轨道上容纳自旋相反的两个电子。
在周N2
k期系统中，指数n可以通过两个指标取遍所有的占据态：
n,,k，,指明一组价带，是属于第一布里渊区的波矢。
在方程（6.1.11）和（6.1.12）中给出的基态能量可以按照Kohn-Sham本征值等价地表示出来：
N22nnrr'e（6.1.18）EnddEnnnd2'εrrrrr,nXCXCn12'rr
方程（6.1.15）有非线性薛定谔方程的形式，他的势通过电子电荷密度分布依赖于自己的本征函数。
一旦交换关联能的明确的形式可以得到，这个方程可以用种种方法以自恰的方式解出。
如果交换关联能有一个精确的合理的容易使用的近似，Kohn-Sham方案建立了一个实用的途经实现密度泛函理论En。
1965年Kohn和Sham在他们的原始论文中提出一个假定：
系统的每一个电荷密XC
度被认为是常数的小体积，贡献一个和相同体积相同密度均匀电子气相同的交换关联能。
依照这个假定，
交换关联能泛函和势为：
Ennndεrr（6.1.19）XCXCnnr
dnεXCnnn,rε（6.1.20）XCXCdnnnr
εn是密度为n的均匀电子气中每一个粒子的交换关联能。
这个近似称为局域密度近似（LDA）。
XC
εn的近似形式已经知道很长时间了。
由Ceperley和Alder给出的从几乎精确的MonteCarlo计算得XC
到的均匀电子气的数值结果，被Perdew和Zunger用简单的解析形式参数化了。
最近Ortiz和Ballone提出了更精确的参数化形式。
所有这些不同的形式在和凝聚态物质应用相关的电子密度范围内是非常相似
的并产生非常类似的结果。
LDA在高密度极限和缓慢变化电荷密度分布的情况下是精确的。
尽管这个近似极其简单，已经取得
了比原来期待的更为成功。
对于弱关联的材料，如半导体和简单金属，LDA近似精确地描述了结构和振动性质：
正确的结构往往具有最低的能量。
而键长、体积模量和声子频率精确到百分之几之内。
LDA也具有一些共知的缺点。
基态内聚能和分子键能的过分高估（～20％）可能是这个近似的最坏的失败。
同时也不能恰当地描述强关联系统如过渡金属氧化物。
已经作了寻找比LDA更好泛函的努力。
对于LDA的梯度修正是近年来普遍采用的。
梯度修正改善在有限和半无限系统中电子关联的重要性。
如
分子和表面，而在无限晶体中没有什么用处。
一般说，LDA是一个基态理论，而Kohn-Sham本征值和本征矢没有一个很好的定义。
不过，在没有
更好的同样普遍的方法情况下，Kohn-Sham本征值常常用来估算激发能。
用此方法得到的固体中的低能
带的特征一般认为至少定性的是正确的，尽管事实上都知道LDA充分地低估了绝缘体中的光学能隙。
3
在晶态固体中，出现在原子间力常数定义方程（6.1.5）中的原子核的位置通过指数I来标注。
它指明单胞l及其中给定原子的位置Ils,。
第I个原子的位置为：
RRul（6.1.21）Ilss
ulR是第l个单胞在布拉菲格子中的位置。
是原子在这个单胞中的平衡位置。
是原子核位置从平sls
衡位置的偏离。
由于平移不变性，方程（6.1.10）中的原子间力常数矩阵仅仅通过差RRR依赖于lm2E,,,,ClmC,RR（6.1.22）ststlm,,ulumst
,,,RCq上标希腊字母指明笛卡尔分量。
CR相对于的傅里叶变换可以视为Born-Oppenhermer能量stst
表面相对于确定波矢晶格变形幅度的二阶微分：
174
21E,,,,iqR（6.1.23）CeCqRstst,,RNuuqqcst是晶体中的单胞数。
矢量uq由变形模式定义：
Nsc
iqRIRqRquue（6.1.24）IsIss
声子频率是久期方程的解：
1,,2（6.1.25）det0Cqq,stMMst
在此上下文中，平移不变性可以二者择一地表述为在时波矢的晶格变形不会在晶体中引起一个力qq'q响应。
由于这个性质，原子间力常数很容易在倒易空间计算。
当它们需要在实空间时，很容易从傅里叶
变换得到。
原子间力常数矩阵方程（6.1.10）的倒易空间表达式为电子和离子贡献之和：
,,,,,elionCCCqqq（6.1.26）ststst
其中
2nVVrrr1ionionel,,Cdndqrrr（6.1.27）st,,,,Nuuuuqqqqcstst
VlrrR,u（6.1.28）ionslssls
uq0是相应于第s种原子核素的离子赝势。
所有的导数必须计算。
离子感谢来自离子－离子相互,ss
作用能，不依赖于电子结构。
周期系统的精确表达式见附录。
使用方程（6.1.24）和（6.1.28），方程（6.1.27）中出现的势的微分为：
rRVrslsioniqRle（6.1.29）,lruqs
（1）StefanoBaronietal.,“Phononandrelatedcrystalpropertiesfromdensity-functionalperturbationtheory”,
ReviewofModernPhysics,73（2001）515
6.2
布拉伐晶格晶体中的格点表示原子的平衡位置，原子在格点附近作热振动，由于晶体内原子之间存在
相互作用力，各个原子的振动不是孤立的，而是相互联系在一起的，因此在晶体中形成各种模式的波，
称为格波。
只有当振动非常微弱时，原子间的相互作用可以认为是简谐的，非简谐的相互作用可以忽略，
在简谐近似下，振动模式才是独立的。
由于晶体的平移对称性，振动模式所取的能量值不是连续的，而
是分立的。
通常用一系列独立的简谐振子来描述这些独立的振动模，它们的能量量子称为声子。
1
设简单晶格晶体包含N个原子，平衡位置为R，偏离平衡位置的位移矢量为（t），则nn'tt,，原子的位置为。
将位移矢量（t）用分量表示，写成,（i=1,2,...,3N）。
N个原子体系的，，，，ninnn
势能函数可以在平衡位置附近展开成泰勒级数：
NN332,,,,VV,,1,,,,（6.2.1）VV,，,，,,，,,,0iij,,,,,,,,2,,,,iij,,,,i,,ij10,10下标0表示为在平衡位置时所具有的值。
可以设V=0，而且在平衡位置相互作用力为零：
0
175
,V,,,,0（6.2.2）,,,,,,i0忽略二阶以上的非简谐项可得：
N32,,V,1,,（6.2.3）V,,,ij,,,2,,,,ij,,ij,,10N个原子体系的动能函数为：
3N21，T,m,（6.2.4）ii,2i1,
为了使问题简化，引入简正坐标
（6.2.5）Q,Q,,,,,Q123N简正坐标和原子的位移坐标,之间通过正交变换相互联系：
i3N
（6.2..6）m,,aQiiijj,j1,引入简正坐标后体系的势能函数和动能函数为：
3N21，T,Q（6.2.7）i,2i1,
3N221V,,Q（6.2..8）ii,2i1,
由于动能函数T是正定的，根据线性代数的理论，总可以找到这样的正交变换，使势能函数和动能函数
2同时化为平方项之和。
势能系数为正值，写成,。
由拉格朗日函数L=T,V可得正则动量为：
i
L,，（6.2.9）p,,Qii，Q,i体系的哈密顿量为：
3N2221，，H,p，,Q（6.2.10）iii,2i1,
应用正则方程得到：
2，，Q，,Q,0i=1,2,,,,,3N（6.2.11）iii这是3N个线性无关的方程，表明各简正坐标描述独立的简谐振动，根据经典的哈密顿量，很容易将体系
处理为3N个相互独立的量子谐振子。
对于任意一个简正坐标的本征方程为：
2，，,1222，，，，,，,Q,Q,,,Q（6.2.12）,,,iiiii22Q,i，，本征值为：
1,,,,n，,,（6.2.13）,,iii2,,本征函数为：
2,,,,ii,,，，，，,QH,（6.2.14）,exp,niinii,,2,,,
i其中，H表示厄米多项式。
而体系的本征态为：
,Qnii,
3N
，，，，,Q,Q,,,,,Q,,Q（6.2.15）123Nnii,i1,体系能量的本征值为：
176
33NN1,,E,n,,（6.2.16）,,，,,iii,,2,,11ii,,
因此晶格上原子微振动问题可以简化为3N种不同声子的统计问题。
2
考虑一维单原子链晶格振动问题时，通常有两点基本假设，一是原子间的相互作用势能只考
虑到平方项，即简谐近似；另一个是只考虑相邻原子间的相互作用。
设每个原子具有相同的质量m，平
衡时原子间距即晶格常数为a，用x代表第n个原子离开平衡位置的位移，第n个原子和第n+1个原子n
间的相对位移为,=x,x，则两个原子间的相互作用势能为：
n+1n
2,,dVdV,,1122,,，，，，，，V,a，,Va，,，,，,,,,Va，,,（6.2.17）,,2,,dx22dx,,,,aa
相互作用力为：
dVF,,,,,,（6.2.18）d,
图6.2.1一维单原子链的振动
考虑第n个原子所受的相邻原子的总作用力为：
，，，，，，（6.2.19）,x,x,,x,x,,x，x,2xn，1nnn,1n，1n,1n第n个原子的运动方程为：
2dxn（6.2.20），，m,,x，x,2xnN,1,2,,,,,n，1n,1n2dt
对于N个原子有N个完全类似的运动方程。
我们寻找具有下列波动形式的解：
，，iqna,,tx,Ae（6.2.21）nq
其中A为振幅，,为简谐振动的角频率，为波数，如果n为波的传播方向的单位矢量，则q,2,,/q,qn
为波矢。
格波和连续介质波2,i，，x,,t，，iqx,,t,Ae,Ae（6.2.22）有完全类似的形式，区别于连续介质波中x表示空间任意一个质点的位置，在格波中，如果将坐标原点
取在某一格点上，则只有在x=na的位置才有原子。
相邻原子间的位相差为qa，显然相邻原子间的位相差为qa加上2,的整数倍描述的是完全相同的格波运动，即对相同的格波x波数q的取值是多值的，nq当然也对应地有多个波长,的取值。
例如波长,=4a（q=,,2a）和,=4a/5（q=5,,2a）的格波描述完全相同的原子振动。
图6.2.2波长为4a和4a/5的格波等价
为了保证格波波函数的单值性，对于一维布拉伐晶格，波数q的取值限制在：
177
,,,,（6.2.23）qaa
这正是一维布拉伐晶格的第一布里渊区。
波矢q的取值还要受样品边界条件的限制。
设想在一长L=Na
的一维有限单原子晶体之外，仍然有无穷多个相同的晶体，这些一维晶体内相应的原子运动情况完全一
样，即第n个原子和第n+tN个原子的运动情况完全相同，其中t为整数。
考虑到原子间的相互作用主要是短程的，因此实际的有限晶体中只有极少数边界上原子的运动才受到相邻的假象晶体的影响。
这样
的边界条件称为玻恩－卡曼（Born－VonKarman）周期性边界条件。
根据周期性边界条件可得：
，，，，,,iqna,,tiqn，Na,,tiqNa，（6.2.24）Ae,Aee,1也就是波数q的取值必须满足：
2,2,qhhh为整数（6.2.25）,,NaL
即描述晶格振动的格波的波数q只能取一些分立值。
由于q的取值限制在第一布里渊区，因此h的取值
被限制在：
NN,,h,（6.2.26）22
共有N个不同的取值，每个q值对应一种格波，共有N种不同的格波。
N就是一维单原子链的自由度数，因此这N种格波是一维单原子链的全部振动模。
在确定了波数q的取值后，格波解具有明确的物理意义。
将格波解代入运动方程可得：
,qa24,,22（6.2.27）,,,qa,1,cos,sin,,mm2,,通常写成：
4,qa,,（6.2.28）,,sin,,m2,,
注意上式和具体原子的标记n无关，表明N个联立的方程归结为同一个方程，只要上式成立，格波解就
有物理意义。
通常将,和q之间的关系称为色散关系。
图6.2.3一维单原子链的色散关系
第n个原子的总位移为所有格波的叠加：
，，,,iqnat（6.2.29）x,x,Aennqq,,qq
引入简正坐标：
i,tq，，Qq,NmAe（6.2.30）q
则
1iqna，，x,eQq（6.2.31）n,Nmq
可以将N个原子的动能和势能表示为：
178
21，（6.2.32），，T,Qq,2q
122（6.2.33），，V,,Qqq,2q
由拉格朗日函数L=T,V可得正则动量为：
L,，（6.2.34）p,,Qq，，q，Q，，q,
体系的哈密顿量为：
N1222（6.2.35），，，，H,p，,Qqqq,2q,1应用正则方程得到：
2，，，，Q，,Qq,0q=1,2,,,,,N（6.2.36）qq
这是N个线性无关的方程，表明各简正坐标描述独立的简谐振动，根据经典的哈密顿量很容易将体系处
理为N个相互独立的量子谐振子。
对于任意一个简正坐标的本征方程为：
2，，,1222（6.2.37）,，,Qq,Qq,,,Qq,,,，，，，，，，，，，qq22，，,Qq,,，，本征值为：
1,,（6.2.38）,,n，,,,,qqq2,,
其中波数为q的格波的量子称为声子，其能量为,,。
一个格波表示一种振动模式，对应一种声子，当q格波的能量本征值为,n,,时，共有种声子。
当电子或光子与晶格振动相互作用时，交换的能量以为qqq
单位，若电子从晶格振动获得,,,,的能量，称为吸收一个声子；若电子给晶格振动的能量，称为发qq
射一个声子。
声子不是真实的粒子，称为“准粒子”，它反映的是晶格原子集体运动的激发单元。
多体系
统集体运动的激发单元称为元激发，声子是一种典型的元激发。
例题6.2.1单原子线型晶格：
考虑一个纵波，，，在原子质量为M、晶格常数为a和最近u,ucos,t,skas
2du1,,12s邻力常数为C的单原子线型晶格中传播。
（1）试证该波的总能量为，，E,M，Cu,u。
,1，,,ssdt22,,ss
其中求和指标s遍历所有的原子。
（2）将u代入这个表达式，证明每个原子的时间平均总能量为s
1112222MuC，，1coskaMu,，,,,422
其中最后一步采用了一维布拉伐晶格的色散关系式。
解:
du12s
（1）第s个原子的动能为：
M（）,2dt
1122第s个原子的势能为：
C,（u,u），C,（u,u）。
ss，ss,1122
1du2s一维原子链的总动能为。
M（）,dt2s
一维原子链的总的势能为：
1CCC，，222（u,u），（u,u）,（u,u）ss，1ss，1ss，1,,,,2222，，s
duMC22s一维原子链的总能量为：
E,（），（u,u）tss，1,,2dt2ss
（2）一个原子的时间平均动能为：
179
2,,,EEdt,tt,02,2,22222,,MC,，coscoscos,,，,，,,utsKatsKatsKaKa,,,,，，，，，，0,,,ss,，,222,
2coscos,,,,tsKatsKaKadt,,，，，，，,，2222
NNN,cos,，,MuCuCuKa422
其中：
2coscoscoscoscossinsin,,,,,tsKatsKaKatsKaKatsKatsKaKa,,,,,，,,，，，，，，，，，，，，，，
每个原子的时间平均总能量为
E111111KaM222222222
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