三垂直模型.docx

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三垂直模型

—线三等角模型

—・一线三等角概念

“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。

不同地区对此有不同的称呼，“K形图S“三垂直S“弦图”等，以下称为“一线三等角

二•一线三等角的分类

全等篇

相似篇

异侧

异侧

三、”一线三等角■的性质

1•一般情况下，如图3-1,由Z1=Z2=Z3,易得△AECs^BDE.

2•当等角所对的边相等时，则两个三角形全等•如图3-1,若CE=ED,则厶AEC^ABDE.

图3-1图3-2

3.中点型“一线三等角”

如图3-2,当Z1=Z2=Z3,且D是BC中点时，△BDEsACEDs^DFE.

4•“中点型一线三等角“的变式（了解）

ZBOC=90。

+丄ABAC这是内心的性质，反之未必是内心.

2

在图3-4（右图）中，如果延长BE与CF,交于点P,则点D是APEF的旁心.

图3_5

其实这个第4图，延长DC反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？

不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题

四、“一线三等角”的应用

1•“一线三等角”应用的三种情况.

乩图形中已经存在“一线三等角”,直接应用模型解题；

b.图形中存在“一线二等角”,不上“一等角”构造模型解题；

C.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.

体会：

感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”來解题.

2•在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在x轴或y轴（也可以是平行于x轴或y轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段・

3•构造一线三等角的步骤：

找角.定线.构相似

坐标系中，要讲究“线”的特殊性

如图3-6,线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角

当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过C.D两点作宜线1的垂线是必不可少的。

两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。

上面就是作辅助线的一般程序，看起来线条比较多，很多老师都认为一下子不容易掌握.

解题示范

例1如图所示.一次函数V=-x+4与坐标轴分别交于A.B两点，点P是线段AB上

一个动点（不包括A.B两端点），C是线段OB上一点，ZOPC=45\若aOPC是等腰三角形，求点P的坐标・

例2如图所示，四边形ABCD中，ZC=90°,ZABD=ZDBC=22.5°,AE±BC于E,ZADE=67.5°,AB=6,贝!

JCE=.

例3如图，四边形ABCD中,ZABC=ZBAD=90°,ZACD=45°,AB=3,AD=5•求BC的长•

x・3

H

例4如图，AABC中,ZBAC=45。

AD丄BC,BD=2,CD=3,求AD的长.

一线三等角，补形最重要，内构勤思考，外构更精妙•找出相似形，比例不能少•巧设未知数，妙解方程好

坐标系中一般考虑纵横两个方向构造

还是可以纵横斜三个方向构造,

7

A

tan（atan-/5°1

例5如图，在AABC中，ZBAC=135%AC=AB,AD丄AC交BC于点D,若AD二y/2,

求AABC的而积

当然有45。

或135。

等特殊角，据此也可以构造不同的一线三等角

一线三等角所有的构造都是把分居定角两侧的数据集中在一起，是相似集中条件的一种•

大练身手：

1.如图，AABC中,

tan乙48=-，ZB=90°,AD=2fBC=4・求〃Z＞的长.3

3•如图，在四边形ABCD中,ZBAD=Z4CB=ZACD=45°,AC=49求△BCD的周长.

4•在直角三角形ABC,ZO90°.ZA30。

JC=4,D为/iC的中点■若/XOEF为正三角形，求CF的长.

5•如图，在Rt^ABC中，ZJCB-300,D4平分ZCAB.若ZCDB二60°心二価求血的长.

巧、

/\

6•如图，在等腮直角三角形川?

C中，ZBJ0900,D为ABk一点，连接CD,P为CD上一点,

ZBPD二45°，若CP二6,心仞的面积为18,则线段的长为.

&如图，中，ZB4O90。

，AB=2^i,点Q在EC边上.BC=4icD,DEJBC且，DE二DCDE

交AC边与点FfEF二击，则AC的长为.

BDC

9•如图，在平面直角坐标系中，点A（4,0）,点（0,2>/3）.点C在第一象限内，若为等边三角形，则点C的坐标为.

10•矩形MCZ?

在直角坐标系的位置如图所示，点J（2V15,0）点C（0,5）,反比例函数的图像交边M、

BC于D、E两点•且ZDOG45。

则k=.

11・如图，直线y=2x-4交坐标轴与厶P两点，交双曲线y=-（x>0）于点C,且5^=8,点P在点Cx

的右侧的双曲线上./PBC=45°,则点P的坐标为・

12.在^ABC中，M=2VI/S=45。

，以点/为直角顶点作等腰直角△40E•点D在BC上,点、E在AC±9

若CE=4s■则CD的长为•

13•如图，直角△4BC中，ZC=90°.4C=6・BC=8,D是斜边的中点，E为BC上动点QF丄于点F,连接若△DEF是邹腰直角三角形，求DE的长度.

14•在厶4BC中，ZB=45°,ZC=30°,点D是BC上一点.连接过点厦作"G丄在AG±取

点F,连接莎・延长D4至E,使AE=AF.连接EG,DG、且GE=DF・

（1）若AB二2近AB=2,求3C的长；

（2）如图1,当点G在AC±时，求证‘BD=-CG；

2

（3）如图2,当点G在/C的垂直平分线上时，直接写出竺的值.

/）

例7：

在平而直角坐标系中，已知点4（1,0）,B（0,3）,C（-3,0）,D是线段AB±—点，CD父y轴十F,且S.，5C£=2S.“o8・

（1）求直线的解析式：

（2）求点D的坐标，猜想线段CE与线段A8的数量关系和位宜关系，并说明理由：

（3）若F为射线CD上一点，且ZDBF=45。

求点F的坐标.

例&如图，直线y=x+2与y轴交于点C,与抛物线y=”2交于久b两点（&在B的左侧）,BC=2AC,点P是抛物线上一点.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点P在直线的下方，求点P到直线AB的距离的最大值：

（3）若点P在直线的上方・且Z8PC=45\求所有满足条件的点P的坐标.

练1：

.如图，抛物线的顶点为C（-l,-1）,且经过点A、点3和坐标原点0,点8的横坐标为—3.

（1）求抛物线的解析式：

（2）若点D为抛物线上的一点，且ABOD的而积等于ABOC的而积，请直接写岀点D的坐标：

（3）若点F的坐标为（0,2）,点P是线段BC上的一个动点，是否存在点P,使得ZOPF=45。

？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

课后作业：

如图，点A（0,・l）,B（3,0）,P为直线y二・x+5上一点，若ZAPB=45°,求点P的坐标

在四边形ABCD中，ZABC=ZBAD=90°,ZACD=45°,AB=3AD=4,求AC的长.

B

如图，正方形ABCD中，点E,F,G分别在AB,BC,CD上AEFG为等边三角形，求证:

BE+GC=75BC

如图，Z\ABC〜ADBA,且AC=V2BC•求证:

CD=2AB.

如图，在四边形ABCD中，ZABC=90\&3=3,3C=4,CD=10,DA=5逅，求3D的长

如图，点A是反比例（X>0）图形上一点，点B是X轴正半轴上一点，点C的坐标为（0,2）,点AABC是等边三角形时，求点A的坐标.

抛物线y=x2-4x+3与坐标轴交于4、B、C三点,点P在抛物线上，PE丄BC于点E,若PE=2CE.求P点坐标.

如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于人、3两点（点4在点B的左侧），与y轴交于点C,直线/：

y=—扌x+m经过点4,与抛物线交于另一点D（5,一彳），点P是直线/上方的抛物线上的动点，连接PC、PD.

（1）求抛物线的解析式：

（2）当APCD为直角三角形时，求点P的坐标；

（3）设APCD的面积为S,请你探究：

使S的值为整数的点P共有几个，说明理由.

4,22

1.如图1,已知直线尸kx与抛物线=_亍+丁交于点q（3,6）.

（1）求直线尸kx的解析式和线段0A的长度；

（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM,交x轴于点M（点M、O不重合），交直线0A于点Q再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点A/.试探究：

线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？

如果是，求出这个泄值，如果不是，说明理由；

（3）如图2,若点8为抛物线上对称轴右侧的点，点£在线段0A上（与点0、A不重合），点D（m,0）是x轴正半轴上的动点,且满足ZBAE=ZBED=ZAOD.继续探究：

m在什么范围时，符合条件的F点的个数分别是1个、2个？

如图，直线AC：

y=-2x+2与x轴交于点与y轴交于点C,抛物线yUQx'+bx+c（q>0）过C两点，与x轴交于另一点B（B在人的右侧），且公OBC^AOCA・

（1）求抛物线的解析式：

（2）点D为抛物线上一点，ZDC4=45。

，求点D的坐标；