中考经典题型阿氏园问题.docx
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中考经典题型阿氏园问题
阿氏圆问题
C
8
关键旱构造这丫母子型相饥将-PC«化为PJW
"美丽的图形会谢话"（朋友语）！
先呈上解决此题欣极辭•如图2-1’同学旳河对瞞此图先自行参悟（然后再听我鱷进耒！
（"阿氏ET问題）问題2:
如图2,已知点B（8,0）FC（0P6）「半径为3的c0上有一动点P.求PBH/2叩C的最小值
V
简析：
此题依然是一个"两定一动型”最值问题，且动点P被”绑在”了半径为3的00上运动，动点P的本馬轄征也就是OC的本质待征，即到原点C的距爲始馋为3,解暫的关紳肯宇也要抓磁个本质粽正；
此题让人望而却步的，还是在不为1这个系数上,即T/2"」如何处理"1/2"成为了解题的难点；
回顾上直的"胡不归"模型,里面也有不为1的系数，我们私用"构造三角函数"的联想机制,成功将系数转化为1；具间之所以能"喲造三角两数"，是因为动点从一个走点出发先沿看一条走直线运动,构造的关键也是抓住这条走直线及其上的这Y走原.即过走直线上的走点向这条走直线的某一侧（视具体情况而走）作一个锐角,使其正弦值等于要处理的系数,从而将諭页利转化为1；
那么本題可不可以同样处理呢？
显然不行,动点P在一个圍上运动,该怎么构造三角函数啊！
看来此路不通，那就再作其他联想U巴！
想啊......想啊......，想到目标是要处埋"1/2叩C",与庶B无关，那就先撩去PB，减少越日中的干扰线条，如图2・2所示，将目光就聚焦注一点，即PC上；
v.
第一步（连接半径，突岀本质）:
刚刚说过r动点P被“绑在"了半径为3的00上r中点P的本质特征是具到京点009瓯离始终为走请3,转化“1/2FC"的矢健肯走也要抓汪这个本质特征；
如^2-2.连.©现越目的特姝性,即OP=3旦OC=6,这是本迪的"巧合“.—般此种题型都具备这样的特冻性,同宁们要多玄试、多联艰；
我们更处理的系数是“丄”.而此处恰有—・这荒道仅仅是一个巧合嘛？
还是说
2OC2
是必然呢|?
第二步（鉄想比例.构适相似）・“数学人最神奇之处.就在干耳丰富的联理”（本人妄语）！
联想到“竺二丄”及更处巡的“IpcJ可以巧妙地构造岀大家耳热能详的
OC22
“母亍型相似”荃本图形，如图2・3所示.在OC上取一点^―=丄.即OM=1.5＞此0P2
时舄^AOMPCOAOPC.且相似比为■1•则由V目似三毎形的对应边成比例”XD
OP2
—从而有3/P=-PC＞成功格系数化为了】•即将如C转化为了MP,则
PC222
PB*-PC=PB-MP：
X
关縫是处理^PC,
图2・3
弟三步（两点之间.线段最短）•这样原E题成功被转化为系数均为1的带规最值问题.即只PB-MP*最小值，如图2・4所示，这是f常规的“两定一动型”最值间暫利用“两点之何，线段最短”.连犊D\I与OO的交点即为所要寻栈的点P.此时所求最小
值尊于BM为与
至此「此越得堂主类解决！
掰］T妨冉回头看看Tk始的“终极團形".即^2-1,冉次深別反思，障令祈谓’阿氏區T的解題匍6:
图2J
解険后反禺：
上述是两和不同去帝数不为1的呈值问題「頁需决芍熬阳共通之处都总想办法处理不为啲磁「将其化为1;但转化的力武略有不同：
‘40不廿冋塑是霜化龙直域丄国迄熬件疋角，曲个0的止血1斡于越中雄之比【小逸曼:
大此1,口JJrfi將瘵教都址理为1；而■阿氏圖”是抓住动魚p的本质』即到国心o的距裔尢半径,连接圆心。
与冃馬巴販圍呛0与M不為1相黄前瓯，走点C「再僭貼I理目中践縮闊"吗合性”r即別刚幫个逹趣旳氏度N比恰尢賈辿理的乔数.恂适一迥"母子型”岡咲,咸功胃葢数化为L!
凡事郃有净同"「屁学们嬰去柜互粪比「联炬汕较「才能逛I」应田色妇之功力！
阿氏圆基本解法：
构造相似
阿氏圆一般解题步骤：
第一步：
连接动点至圆心0（将系数不为1的线段的两个端点分别与
圆心相连接），则连接OP、0D;
第二步：
计算出所连接的这两条线段OP、0D长度；
第三步：
计算这两条线段长度的比；
第四步：
在0D上取点M，使得0E:
0P=0P:
0D
第五步：
连接CM,与圆0交点即为点P.此时CM有最小值。
解法对比变式拓展反思提升
—以阿波罗尼斯圆为背景的一类中考最值问题探究
□朱宸林杨蜂
（无锯审佥星中学.江苏无錫214000；无镐市东林申甞.江芥无锡214000）
扌商要:
以阿波罗尼斯圆为背景的几何问題近年来在中考故学中经常岀现刈于此类问题的归纳和剖析显得非常車冬教师在教字中应多以目題为例从解決对比中寻求解决此类问題対逋性通法并对其逬行改进与延伸通过不同用度和深度的挖掘男力呈现此类问题的全規和解决
方法井给出对于圆旳敎学的反思和改逬建议.
关犍词鰹法对比岌式拓展最值问題
一、问题与直履
众所周知，平面内至J两个疋点距海之比寻于定值AUX）且人工］）的动点的轨迹是圆此圆又被称为阿波罗尼肝圆•近竺年，以阿氏圆为背景的解桁几何问荻在高考中频翠出现近期笔者岌现数学中考中也岀现了阿波罗尼斯圆的影子•本文主要从阿氏圆几何性质的视角对这类中考问题进行解析通过不間视角进行对比审视，总结规律并进行变式的斫究和推广以期解决中考中的此类问题・
例题（2015年无锡市中宥一陨试题）如图1JIUihAHC中上AC490°jCfi=4r.l=5QG半径为2尸为凰上一动点,连结4P,RPtAP+l-fiP的屐小值为
・图丨
【篦规思路分析］每当遇到最小值问題過竜将问題通过转化与“两点之间线段最短”相联系.在此类问題中胡现最多的应该是•将军饮马”类问題但••将军饮骂类问題动点P是巨疑上的动点页此题稍加改动成为圆上的动点.此时若次常現的轴对称旳方式解决经过试验，发现圧这个问题中无法逬行下去S此必须转化思路・
继续观察预目曲于点卩是圆上的一个动点于是很自然地就会想到连结CP，得CX2,又因为朋4可以得到筹弓这与问題中的小占M中的系放扌足一样的.直觉告诉我们■^或许是解决这个问题的突破口再联想到题中需要求解的问题是"亠；的最小偵，很自然地处会想到是否可以用一条线段来代换于BP堆而解决这个问题.
这里为了解决问題的棗要提出一个数学基本图形：
如图2，在ZIP从;中点〃是BC边上一点如異△PCDsABCP,那么就能得出帶二符二需这个基本图形是初中学生在学习相似三角形时接触到的一个相似的基本图形逍常称为“子母5T.如果能在这个问
枚中輕0子母型••这个敎学模型•这个间顿臥能够顺利得以解决•如图3在CH上驭点D浚CMf所以豁卸*，只因为血”乙•所以\ra）〜氐bcp从而得吕保=
/>/
★足样就合有"卡处用m代换了寺〃几就把小于处转化为“讥•观察图4发现.点4〃足定点点P足圆上的一个动点馬以，当»?
〃三点在同一直坟上时,ED有最小当然対干这个问題，如実桐加处伸何以得到如下的解决万案.
【解法址伸】对于这类虽值问HJW祈法作为一个远用握广泛的迪法应该会弟一时可姐刑.如圈5•以点广为原点八：
所在直坝为r细JA所庄豊歧为」轴・11立平IUHOI坐林系•由菽黴•设H2CE2^0因为1（05）,凤40得畀七4as%・（4Zsinrr）花29>20simi,
〃卩—（*2cceu）143”“=2016ca&j,・・..1少-1-«P=\29-2Dqhv4vS-4cn&r.Wlh；£i£^7
到ixsi,田于式子中出yt了为个戏诗•向且辿有対个变屋過到了庖颈加肯很自然就会屯虑平方•宾试之后也不行.只能考总
几何老义•但尝试之后也无法进行*去・
此时只能药拱思路，从尹-入手m河
波罗尼斯圆定理如图6，可设〃oD），且満
足P在上x^）:
-4.臬-2.i殳P（atO,S
FH^2PD知PH2^4）苓丫・BD3vU
*・&「16=0又因为KxQ为"叶=4上任一点JK立方程组離得加测仍尹P・\HPD所以，当P为线段"与OC约交点时八灿有is小值1/l=V26*.
用不冋的方法解左这一辽锁之后.不妨静下来・汇苏省故学特级教师于斯华省说过学习数学倉力固b.灯必将有所成.而这里所说的经验就是'•阿濃罗尼新IT的背歿毘里的思专就是与网波罗尼斯圆背景建立关联.抉一种说法畝是，禺二种解法貝冥已经足阿液罗尼斯圆的变式问毬了招当于已知圆与一个定点怎作另一个动点•这一虑间使E飲字竞奏中，也是比较难的一部分了•相ttZT还足蚯子用型啜型更龄際决这个间IB■
二想法与改进
蓉立'子母型模型必须发现异P这个切入点井且翌対子母型•这个墓本图影非期熟练刀能芫或詠棺・和解棕•的过得・如吴在初中玫学百摟对这个问题逬行考孩是时学生客求过高了•但不幼对这个问毁的难度进行分解•将这个问题分为至少三个胡分：
（1）冋題提出
（2）去试能决左这郁分给出解题的記昭，但留下最后几步，让学生完成X3）自主探索.左闻後和思考前直解沐Z）基砒上,给出一个同类型的问題这样干仅能让学生欣営地发现一种动点在曲线二时的求量值的方
法乜能很好堆体规字生现炀阅读旳能力.
如图7AJi是走点"定©0上一动点•求川叫处（U芳J）的聂小（2•其中A罟<1是这个问題存在初等解的前提条件・
如图8.在0〃上找一个定点E.使得OF-kOP.构建出子理相似,则（（（丹朋）niEA
三、变式与拓屍
忘清楚地研芙得出这个问毁的通性后我们就能对这个6題进行变式患考・
克式1:
在旬面问题提岀••的备件不娈的情況下冶4FP的最小值为・
艇題思路：
在6上取点E•连结灯便殊=备耳从而得c/>#，易证.'Pre得吩寻AF,即有（■|"片严丹0*（兀诃）4仔含\畜・
吸式2：
如图9JE万形\M：
I）的辺饮为2\T内切临。
上有一动点几连錯"门巴则，円孚河）的虽小値为・
潘題思路:
在IH）上取点E.渥结Pt:
ffi鲁喘=¥'从而得0'易证HODP，得用・上21/7儿即有乂互“）衣O丹丹百・
聂式3：
如图10•在平面直角坐标系中.
5/（63）八（100）*（5D）点〃为以OA为半径的圆。
上一动点八”旳最小值为
樓题思路连结M在0\上取点£•便篇二黑詩•从血得处吟易证,）2，）NP.得P£=±PV.即有（E“寺爪）鬲=
吏式4如图11菱形AHCI）的边长为2.锐角大小为aifih弓月C相切于点F在區
4上任取一点P束旳+乎“的軌備・解題思路:
易得
A02.闻的半径养于VT.^APAC在4C上収点几便帝=豊-=
rait
岁1,得小L，△”sAIPC,得/仁
•・.（PR+PC）*（PR7F）后R*
\存
捋升对i^f>p（x=2L行进一步时琛入思考•是否可以说畫以t>I为皆層的亜式问逆？
从亂宜的崽考中启然可以想剥这个§式问域斥存在旳・
图12ZUM星綁t直角三角形,
/r=90°o边相切尸是BEr上一动
点•若［flc旳半径为2JUJ
z>"）/rp«的最小解颈忌路：
解决这个问t
4n
题■只需要对〃"、空皿w>2提取个系效\/E从而可以健到/m+vTm-VT（卫吾卩”皿），从而就将这个问題转化为烈訂匸川时竹旳聂小值从而这个问题就线化为前面運立•'子母型"弔似这个数学模型.
变式6:
如图13.己知扁形COD中•ACOD-90P〃C=6/Zl=3/>«=5点"是5Cl）上一百求2/M"〃的彊小值.
斡題思路如臬共取仁,前面的方案2W、PB）t逞结OPA|\\后•找们友现影*UKf）
Ofi5阳13
卜此时•絆二半竝于拦，仍更从，子田型八Lv/15
这个S4E形入手述行建模・即E-KMl到点E•使CE=6连结PE別有361ZAOPF..得PE-2AP■可得2/M*PD・Pf>PA序以目£•P”三点在一玄线上时取最小值为13・
四、反思与!
£奁
新课程标准对初中阶段旳2!
—章的内容进行了丘新修订刘知识点进行了删祕・对于数学枚育工作者而■我们应该州证览来暑待这一咬娈対知识内容的刪减并不亘味着对足维能力娶求的卞啤.SSffiS的一点星从孜学文化观角血言屈的内容是丰耳多彩的•作为一个切人的肖集阳法罗尼WtS）丰査的几何性质给了找们多变的命題视角而在初中阶段敎师不一走妥让学生了解到隔氏圆的相关性质，
&孑•考201&78
但却可以作为一种数学文化膜陶的有效途徉让学生走进丰富多影旳圆的世养之Q/、断感受几何学习戏限*衍史和无穷炉力.近年来.吉地的敗学半考证題仕设何二已经矣很了固定的•巳知一我解•西封用模式而研究友展域效的说冋方向半畐试題的说问形式成了命迥的一个热点视角•于是対经奂问題的不断挖据和改支成为教学的新旳方向迄就要求学生在解答上突破停留在朗确的、直侵的结论层面堆加了问題的幵放性和孩化性•这样的设计離比较客观、全面地测■学生观察、实验、猜想、归纳、艾比等黒维活动的水平，寸于激发学生探索精神、求昇创新思维爹有着积极的息义用M5?
讨妆师也按岀了更高的要求间关注几何性质教学的同吋込靈龔不新按寻几何问敦的內注三外壯，力求埠腋问穎的采龙去脉•可见对于毎一位故学枚K工作耆，平时在按融了穴鬣的数学範Z后不仅竝该対題型进行野珪•更編妾对鬼型进行追根稠源的研冤•知道这个題m的产生、逗计釣肖景了館出题者的考直色金•去发现当去除掉题目的背景干扰后隐鬲旳解决问題的矽学棣型从而有針对性地使用•同时栽学^加强基本图形约学习，做好连模••广解模-釣堀弄対学生数学思址的培养•也是大有帮旳的・只有这样乃能使更*的充港数宁味道釣餌活问题为提升宁生的数学累养服势.a
阿氏圆定国（全称:
呵波罗尼斯圆左理）•具体的描述：
一动点P到两定点A、B広涯离之比等于走比m：
n.则P原的轨迹f是雄比m:
n内分和夕卜分走线段AB的两个分点的连线为虫径的回•这个軌迹最先由古希腊数宁东匝汶罗尼斯友现，该圜称为阿滾罗祸圆<简称阿比圜・
【分析】
令B为坐桩原点.A的坐标为（3,0）・则动点P（x.y）・満足PA/PB-k（为实数，旦不为±1）得（k?
-lXx2+y2）-t-2ax-a2=O,
当k不为土丄时,它的图形是圍.
当k为±1时.轨迹是两原连线的中垂线•
【典型例題】
叵题捍出：
如圏―在Rt-ABC中，zACB=90°,CB=4rCA=5fOC半径为2（P为国上一动点.许第AP、BP.求AP十1/2BPfiW小洁・
（1）尝试罅决：
为了解决这个问题下面给岀一朗舞題思路：
如圏2f连接CPf在CB上取点D,使CD=1.
则有CD/CP二CP/CB=L/2,
又・.nPCD二zBCP，•&PCD--BCP.
/.PD/BP-1/2,/.PD=V2BP,
・・AP十1/2BP二AP十PD・
请你主成余下的思考，并直接弓岀苔宜：
AP7/2BP的最小值为.
（2）自主探索:
在”问题提出’的条件不变的情况下,
1/3AP+BP的最小值为•
（3）拓展延伸:
已如扇形COD中，zCOD=90C,OC=6,OA=3,OB=5,点P是弧CD上一点•求2PA+PB的最小佰.
【解题过程】解：
（1）如图1,
•••A.P丄BP=AP-PD，要使AP-：
BP最小・
•••AP・AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP-AD最小，即:
AP-iBP最小值为AD，
在R/ACD中，CD=1»AC=6»
AP-；BP的最小值为也7，故答案为：
$7；
连接CP，在CA上取点D，侵CD=，
.CD_CP_\
•———,
CPCA3
•••ZPCD=ZACP>••・APCD^AACP，
.PD_1
••———,
AP3
•••PD=jAP，
•••yAP-BP=BP-PD»
•••同
（1）
故笞棊为；
（3）如囹3,
E\
图3
延长OA到点E・使CE=6・
•■•OE・OCYE“2，
连接FE、OP，
•••OA-3i
.OA_OP_\
.■—————,
OPOE2
・•・^AOP-^AOP，
AOAP^AOPEi
.-4P_1
■■■—,
EP2
AEP-2PA>
2PA-PB=EP^PBi
当E\P\B三点共线时f取得最小值対：
BE=•
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