角平分线的应用.docx

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角平分线的应用

角平分线的应用

1.定义、定理

1.角平分线的定义：

从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

2..角平分线的性质定理：

在

3•逆定理：

在角的内部到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

2.基本结论

1.三角形内（外）角平分线夹角结论

1

（1）如图①PB、PC分别平分/ABC和/ACB/P=90°+丄/A,

2

点P在/BAC的角平分线上

1

（2）如图PB、PC分别平分/ABC和/ACB的外角/P=90°--/A

2

点P在/BAC勺角平分线上

（3）如图PB平分/ABC、PC平分/ACB的外角/pJ/A

2

点P在/BAG外角的角平分线上

应用：

如图在△ABC中，PB平分/ABC,PC平分/ACB

贝y/NAP=°

的外角，连接AP,若/APC=40°,

xV

2.三角形的三条角平分线交于一点（内心），这个点到三角形三边的距离相等。

已知：

△ABC中，/ABC和/ACB的角平分线交于点0,过0的直线EF//BC,分别

交AB、AC于E、F两点，若/BOC=135°,E0:

OF:

OD=20:

15:

12,△ABC的面积为

216，贝y0D=

3.三角形内（外）角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

应用：

D到直线AC,BC的距离相等，则AD=

R

5.5^=J.5（J.5+-la）

在^ABC中,AD是/BAC的角平分线ABAC=BDDC

AD是△ABC外角/BAP的角平分线ABAC=BDDC

在^ABC中，/A=2/B,AC=3.5,BC=5.5,D为射线BA上一点,

3.特麻角角平分規结论:

C

AB平幷zaM,型妣十斗=刍

.InjICAD

ADTJ^zBAt.4^—=

三•基本辅助线

（1）构造全等

（2）对角互补形

四边形ABCD中，BD

/3+/4=180°

是/ABC

DA=DC

的角平分线

BE

B

和CD的交点,

/A=60°，求证：

OD=OE

2.作平行线

（1）平分平行

（2）构造A型、

等腰

X型

C

E

0

基本应用：

1.矩ABCD

中,

F为BC中点，/

AE=AB+EC

2.在正方形ABCD中，/1=/2AE=BE+DF

练习：

在^ABC中,求EC的长度

3•截长补短构全等

AD是中线，/1=/2,CE//AB，若/BAC=120°,AB=12,AC=8

C

4.平分线+高线，延长？

等腰

应用：

1、在^ABC中，AD是角平分线,

2/C=/B,AC-AB=BD

E

A

E

D

IB应用：

如图，在△ABCC中

DE,若AB=8,AC=5/BAC=60

角平分线应用

基本型1.在RTAABC中，/C=90°,AC=BC,BD是角平分线，AE丄BD于EBD=2AE

BE、CD分别为△ABC的角平分线，AD丄CDAE丄BE,连结

。

，贝yDE的长为.

E

2.如图，在等边^ABC中,AB=8,D为AB中点，点E在BC上,点F在AC上,且

AF=3CF,DE平分/BDF,贝UBE=

3.如图，已知菱形边所在直线交直线

ABCD点E为AD边上一点，连接CE，把△CDE沿着CE翻折,CD的对应

AB于点F若AF=2,AE=3,CF=4,则CD=

D

4.如图，在等边^ABC中,AB=4,AD丄BC于点D，点P在AB的延长线上，点Q在AB

上,/PDQ=60°，QD延长线交AC延长线于点R（PB

5.已知:

在

CD平分/ACB,/EDC=45

Rt△ABC中，/BAC=90

1

（1）求证：

/

AED+—/ABC=90°

⑵过点E作DE的垂线，交DC于M,

交BA延长线于N.若NE:

MC=J2:

3,

探究BD与BC的数量关系.

S'

2

6.已知；在^ABC中，AD为BC边上的中线，点E为BC边上的一点BE=AC。

（1）求证：

/BEA+ZDAC=180；

⑵过点C作ChUAB与点H分别交bead与点MN过点E作EF//AC,交CH于点Q,若BE=EF+DFBE:

EF=3:

2，请你探究线段MH与ME之间的数量关系，并证明你的结论。

C

图1

C

图2