高中数学高考导数题型分析及解题方法免费下载.docx

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导数题型分析及解题方法

一、考试内容

导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；

两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，

函数的最大值和最小值。

二、热点题型分析

题型一：

利用导数研究函数的极值、最值。

1．f（x）

x3

3x2

2在区间

1,1上的最大值是

2

2．已知函数y

f（x）

x（x

c）2在x

2处有极大值，则常数

c＝

6

；

3．函数y

13x

x3

有极小值－1

极大值

3

题型二：

利用导数几何意义求切线方程

1．曲线y

4x

x3

在点

1,

3处的切线方程是

y

x2

2．若曲线f（x）

x4

x在P点处的切线平行于直线

3x

y

0，则P点的坐标为

（1，0）

3．若曲线yx4

的一条切线l与直线x

4y

8

0垂直，则l的方程为

4x

y30

4．求下列直线的方程：

（1）曲线y

x3

x21在P（-1,1）

处的切线；

（2）曲线y

x2

过点P（3,5）

的切线；

解：

（1）

点P（

1,1）在曲线y

x3

x2

1上，

y/

3x2

2x

k

y/|

－

1

3－21

x

所以切线方程为

y

1

x

1，即x

y

2

0

（2）显然点P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为

A（x0,y0），则y0

x0

2

①又函数的导数为y/2x，

A（x,y）

k

y/|

xx

2x

A（x,y）

所以过

点的切线的斜率为

0

，又切线过

、P（3,5）点，所以有

00

0

0

0

y0

5

x

1

x

0

5

2x0

0

或

3②，由①②联立方程组得，

y0

1

y0

25，即切点为（

1，1）时，切线斜率为

x0

k12x0

2;；当切点为（

5，25）时，切线斜率为

k2

2x0

10；所以所求的切线有两条，方程分

别为y

1

2（x

1）或y

25

10（x

5），即y2x

1或y

10x

25

题型三：

利用导数研究函数的单调性，极值、最值

1．已知函数f（x）x3ax2bxc,过曲线yf（x）上的点P（1,f

（1））的切线方程为y=3x+1

第1页共61页

（Ⅰ）若函数f（x）在x2处有极值，求f（x）的表达式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数

yf（x）在[－3，1]上的最大值；

（Ⅲ）若函数y

f（x）在区间[－2，1]上单调递增，求实数

b的取值范围

解：

（1）由f（x）

x3

ax2

bx

c,求导数得f（x）3x2

2ax

b.

过yf（x）上点P（1,f

（1））的切线方程为：

yf

（1）f

（1）（x1）,即y（abc1）（32ab）（x1）.

而过y

f（x）上P[1,f

（1）]的切线方程为y

3x

1.

3

2a

b

3

即2a

b

0

①

故a

c

3

a

c

3

②

∵y

f（x）在x

2时有极值,故f

（

2）

0,

4a

b

12

③

由①②③得

a=2，b=－4，c=5

∴f（x）

x3

2x2

4x

5.

（2）f（x）

3x2

4x

4

（3x

2）（x

2）.

3x

2时,f（x）

0;当2x

2时,f（x）0;

当

3

当2

x

时

f（x）0.f（x）极大

f

（2）

13

3

1

又f

（1）

4,

f（x）在[－3，1]上最大值是13。

（3）y=f（x）

在[－2，1]上单调递增，又

f

（x）

3x2

2ax

b,由①知2a+b=0。

依题意f

（x）在[－2，1]上恒有f

（x）≥0，即3x2

bx

b

0.

x

b

1时,f（x）min

f

（1）

3

b

b

0,

b

6

6

①当

；

x

b

2时,f

（x）min

f（

2）

12

2b

b

0,

b

②当

6

；

2

6

1时,f

12b

b

2

0,则0

b

6.

③当

b

（x）min

12

综上所述，参数b的取值范围是[0,

）

2．已知三次函数

f（x）

3

2

c在x

1和x

1时取极值，且f

（2）4．

x

ax

bx

第2页共61页

（1）

求函数y

f（x）的表达式；

（2）

求函数y

f（x）的单调区间和极值；

（3）

若函数g（x）

f（x

m）

4m（m

0）在区间[m3,n]上的值域为[

4,16]，试求m、n应满足

的条件．

2

b，

解：

（1）

f

（x）

3x

2ax

由题意得，

1,

1是3x2

2ax

b

0的两个根，解得，

a0,b

3．

再由f

（2）

4可得c

2．∴f（x）

x3

3x

2．

（2）

f

（x）

3x2

3

3（x

1）（x

1），

当x

1时，f（x）

0；当x

1时，f（x）

0；

当

1

x1时，f

（x）

0；当x

1时，f

（x）

0；

当x

1时，f（x）

0．∴函数f

（x）在区间（

1]上是增函数；

在区间[1,１]上是减函数；在区间

[1,

）上是增函数．

函数f（x）的极大值是

f（

1）

0，极小值是

f

（1）

4．

（3）

函数g（x）的图象是由

f（x）的图象向右平移

m个单位，向上平移

4m个单位得到的，

所以，函数

f（x）在区间[

3,n

m]上的值域为[

44m,16

4m]（m

0）．

而f（3）

20，∴

4

4m

20，即m

4．

于是，函数

f（x）在区间[

3,n

4]上的值域为[

20,0]．

令f（x）

0得x

1或x

2．由f（x）的单调性知，

1剟n

4

2，即3剟n6．

综上所述，m、n应满足的条件是：

m4，且3剟n

6．

3．设函数f（x）x（xa）（x

b）．

（1）若f（x）的图象与直线5x

y80相切，切点横坐标为２，且

f（x）在x

1处取极值，

求实数a,b的值；

第3页共61页

（2）当b=1时，试证明：

不论a取何实数，函数

f（x）总有两个不同的极值点．

解：

（1）f

（x）3x2

2（a

b）x

ab.

由题意f

（2）

5,f

（1）0，代入上式，解之得：

a=1，b=1．

（2）当b=1时，令f

（x）

0得方程3x2

2（a

1）xa

0.

因4（a2

a1）

0,故方程有两个不同实根

x1,x2．

不妨设x1

x2

，由f

'（x）

3（x

x1）（x

x2）可判断f'（x）的符号如下：

当

xx1时，f

'（x）

＞０；当

x1

xx2时，f'（x）

＜０；当

x

x2时，f

'（x）

＞０

因此x1是极大值点，

x2是极小值点．，当b=1时，不论a取何实数，函数

f（x）总有两个不同的

极值点。

题型四：

利用导数研究函数的图象

1．如右图：

是f（x）的导函数，

f/（x）的图象如右图所示，则

f（x）的图象只可能是（D

）

（A）

（B）

（C）

（D）

1

x

3

4x

1的图像为

y

（A）

2．函数3

y

y

y

y

6

6

6

6

4

4

4

4

2

2

2

2

-4

-2

-4-2

o24

x

o24

x-4-2

y24

x

o

24

x

-2

-2

-2

-2

-4

-4

-4

-4

3．方程2x36x27

0在（0,2）内根的个数为

（B

）

A、0

B

、1

C

、2

D

、3

题型五：

利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围

第4页共61页

f（x）

1x3

2ax2

3a2xb,0a1.

1．设函数

3

（1）求函数f（x）的单调区间、极值.

（2）若当x[a1,a2]时，恒有|f（x）|a，试确定a的取值范围.

解：

（1）

f（x）

x2

4ax

3a2

=

（x3a）（xa）

，令

f（x）0

得

x1a,x23a

列表如下：

x

（-∞，a）a

（a，3a）3a

（3a，+∞）

f（x）

-

0

+

0

-

f（x）

极小

极大

∴f（x）在（a，3a）上单调递增，在（

-∞，a）和（3a，+∞）上单调递减

f极小（x）

b

4

a3

3a时，f极小（x）

b

xa时，

3

，x

（2）f（x）x2

4ax

3a2

∵0

a

1，∴对称轴

x2aa1，

∴f（x）在[a+1，a+2]上单调递减

∴fMax

（a

1）2

4a（a

1）

3a2

2a

1，fmin

（a

2）

2

4a（a

2）3a2

4a4

依题|f（x）|

a

|fMax|

a，|fmin|

a

即|2a

1|

a,|

4a

4|

a

4

a1

，又0a

1

[4

1）

解得5

∴a的取值范围是

5

2

2．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－3与x＝1时都取得极值

（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间

（2）若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。

解：

（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b

－212－4a＋b＝0－1

由f（3）＝93，f

（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝2，b＝－2

f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：

第5页共61页

x

2

2

2

1

（1，＋

）

（－，－3）－3

（－3，1）

f（x）＋

0

－

0

＋

f（x）

极大值

极小值

2

2

所以函数f（x）的递增区间是（－

，－3）与（1，＋

），递减区间是（－

3，1）

1

2

22

（2）f（x）＝x3－2x2－2x＋c，x〔－1，2〕，当x＝－3时，f（x）＝27＋c

为极大值，而

f

（2）＝2＋c，则f

（2）＝2＋c为最大值。

要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需

c2

f

（2）＝2＋c，解得c

－1或c2

题型六：

利用导数研究方程的根

1

3

1．已知平面向量a=（

3,－1）.

b=（2,

2

）.

（1）若存在不同时为零的实数

k和t，使x=a+（t2

－3）b，y=-k

a+tb，x⊥y，

试求函数关系式

k=f（t）

；

（2）据

（1）的结论，讨论关于

t

的方程f（t）－k=0的解的情况.

解：

（1）∵x⊥y，∴x

y=0

即[a+（t2-3）

b]·（-ka+tb）=0.

2

2

整理后得-ka+[t-k（t2-3）]

ab+（t2-3）·b=0

2

2

1

，即k=4t（t2-3）

∵ab=0，a

=4，b=1，∴上式化为-4k+t（t2-3）=0

1

1

（2）讨论方程4t（t2-3）-k=0

的解的情况，可以看作曲线

f（t）=4t（t2-3）

与直线y=k

的交点个

数.

3

3

于是f′（t）=

4（t2-1）=

4（t+1）（t-1）.

令f′（t）=0,解得t1=-1,t2=1.

当t变化时，f′（t）

、f（t）

的变化情况如下表：

t

（-∞,-1）

-1

（-1,1）

1

（1,+

∞）

f′（t）

+

0

-

0

+

F（t）

↗

极大值

↘

极小值

↗

1

当t=－1时，f（t）有极大值，f（t）

极大值=2.

第6页共61页

1

当t=1时，f（t）有极小值，f（t）极小值=－2

1

函数f（t）=

4t（t2-3）

的图象如图

13－2－1所示，

可观察出：

1

1

（1）

当k＞2或k＜－

2时,方程f（t）－k=0有且只有一解；

1

1

（2）

当k=2或k=－2时,方程f（t）

－k=0有两解；

1

1

（3）

当－2＜k＜2时,方程f（t）

－k=0有三解.

题型七：

导数与不等式的综合

1．设a

0,函数f（x）

x3

ax在[1,

）上是单调函数.

（1）求实数a的取值范围；

（2）设x0

≥1，f（x）≥1，且f（f（x0））

x0，求证：

f（x0）

x0.

解：

（1）y

f

（x）

3x2

a,若f（x）在1,

上是单调递减函数，则须y

0,即a

3x2,这

样的实数a不存在.故f（x）在1,

上不可能是单调递减函数.

若f（x）在1,

上是单调递增函数，则

a≤3x2

，

由于x

1,

故3x2

3.从而0

（2）方法1、可知f（x）在1,

上只能为单调增函数.

若1≤x0

f（x0），则

f（x0）

f（f（x0））x0矛盾,

若1≤

f（x0）

x0,则f（f（x0））

f（x0）,即x0

f（x0）

矛盾，故

只有f（x0）

x0成立.