安徽省江南十校届高三下学期联考试题数学理含答案.docx
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安徽省江南十校届高三下学期联考试题数学理含答案
2016年安徽省“江南十校”高三联考
数学试题（理科）
注意事项：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑•如需改动，用橡
皮擦干净后，再涂其他答案标号•写在本试卷上无效•
3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.［来源
第I卷
一•选择题：
本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合A
2
x2x5x30,
BxZx2，则AB中的元素个数为
（A）2
（B）3
（C）4
（D）5
（2）若复数z满足Z（1
i）1i
i，则
z的实部为
迈1
（A）丁
（B）2
（C）1
（D）21
（3）“a=0”是“函数
f（x）
sinx
a为奇函数”的
（A）充分不必要条件
（B）必要不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
2
（4）已知I是双曲线C:
—
2
2
'1的一条渐近线，P是l上的一点,
4
F1,F2是C的两个焦点，若
uuruum
PF1PF20，贝VP到x轴的距离为
2、3
（A）T
（C）2
（D）
2、6
3
面积为—；类似的，在空间直角坐标系Oxyz中，满足x2
4
22
yz1，x0,y0,z0的
点P（x,y,z）的集合对应的空间几何体的体积为
（A）8
（B）6
（C）7
（D）3
（6）在数列｛an｝中，an1an2，Sn为｛an｝的前n项和•若S10
50，则数列｛%an1｝的前10
项和为
（A）100
（B）110
（C）120
（D）130
（7）设
ABC所在平面内一点,
（A）
umr
BD
（B）
UJU
BD
（C）
jjj
BD
（D）
uur
BD
1JUTJJJ
—ACAB
2
jjj1jjjAC—AB
2
3JJTJJJACAB
2
juj3JJJACAB
2
（8）执行如图所示的程序框图，如果
输入的t50，则输出的n
（A）5
（B）6
（C）7
（D）8
（9）已知函数f（x）sin（x
）（0,
2）
jurJUT
AB2DC，
xR，有
f（x）f（§）成立，则f（x）的一个对称中心坐标是
（A）（牛0）
（B）（-,0）
（C）（牛,0）
（D）（牛,0）
D
，则该几何体的表面积为
（11）某几何体的三视图如图所示,
（A）4164,3
（B）5164.3
（C）4162、、3
图
3x
y0,
（10）若
x,y满足约束条件
x
y40,则z
yx的取值范围为
y
12
2x,
（A）
2,2
（B）
1,2
2
（C）1,2
（D）
A
12
（12）已知函数f（x）alnxx2
2
大于0,则a的最小值为
32
（A）e（B）e
bx存在极小值，且对于b的所有可能取值，f（x）的极小值恒
1
（C）e（D）-
e
第口卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第
22题〜第24题为选考题，考生根据要求做答.
二.填空题：
本大题共4小题，每小题5分.
（13）2016年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩
意愿的调查活动.已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2400人,
30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人.为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意
愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N的样本进行调查，已
知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60人，贝UN
（14）（2xy）5的展开式中，x2y3的系数为.
22
l交椭圆C于P、Q两点,
（15）椭圆C:
笃爲1（ab0）的右顶点为A，经过原点的直线
ab
若PQ=a,APPQ，则椭圆C的离心率为.
（16）已知Sn为数列｛an｝的前n项和，6=1，2Sn=（n1）a.，若存在唯一的正整数n使得不等式
2_2antan2t0成立，则实数t的取值范围为.
三.解答题：
解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤
AB5,AD22,
BCD120o，求
（17）（本小题满分12分）
如图，平面四边形ABCD中,
CD3，CBD30o,
（I）ADB;
（n）ADC的面积S.
（18）（本小题满分12分）
如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形EFBD为等腰梯形,
1
EF//BD,EFBD，平面EFBD平面ABCD.
2
（I）证明：
DE//平面ACF;
（n）若梯形EFBD的面积为3，求二面角ABFD的余弦值•
（19）（本小题满分12分）
第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日一21日在巴西里约热内卢举行.下表是近五届奥运
会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：
枚）
第30届伦敦
第29届北京
第28届雅典
第27届悉尼
第26届亚特兰大
中国
38
51
32
28
16
俄罗斯
24
23
27
32
26
（I）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）
（n）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为4，丙猜中国代表团的概率为3，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响.现让甲、
55
乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为X，求X的分布列及数学期望EX.
中国
俄罗斯
1
2
3
4
5
（20）（本小题满分
12分）
已知抛物线C:
y22px经过点M（2,2）,C在点M处的切线交x轴于点N,直线11经过点N且垂直于x轴.
（I）求线段ON的长；
（n）设不经过点M和N的动直线12:
xmyb交C于点A和B，交l1于点E,若直线MA、ME、
MB的斜率依次成等差数列，试问：
12是否过定点？
请说明理由•
（21）（本小题满分12分）
已知函数f（x）=exax22ax1.
1
（I）当a二一时，讨论fx的单调性；
2
（n）设函数g（x）f（x），讨论g（x）的零点个数；若存在零点，请求出所有的零点或给出每个零点所在的有穷区间，并说明理由（注：
有穷区间指区间的端点不含有和+的区间）•
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清
题号•
（22）（本小题满分10分）选修4-1:
几何证明选讲
如图，过eO外一点E作eO的两条切线EA、EB，其中A、B为切点，BC为eO的一条直径,连CA并延长交BE的延长线于D点•
（I）证明：
BEED；
（n）若AD3AC,求AE:
AC的值•
（23）（本小题满分10分）选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标
系中，A（3、3,—）,B（3,—），圆C的方程为2cos
23
（I）求在平面直角坐标系xOy中圆C的标准方程；
（n）已知P为圆C上的任意一点，求ABP面积的最大值
（24）（本小题满分10分）选修4-5:
不等式选讲
已知函数f（x）x2x1，记f（x）1的解集为M•
（I）求M;
21
（n）已知aM,比较a2a1与的大小.
a
2016年安徽省江南十校”高三联考
数学（理科）试题参考答案与评分标准
（3）C【解析】f（x）的定义域为
，关于原点对称
1
（1）B【解析】Ax丄x3,AB0,1,2,AB中有3个元素，故选B
2
（2）A【解析】由Z（1i）
1i
i，得z运
（应
i）（1i）
421
421
7'i,z的实部
1i
（1
i）（1i）
2
2
为叵」，故选A
2
f（x）sin（x）丄
（x）
sinx
（sinx丄）
x
f（x），故f（x）为奇函数;
1
反之，当f（x）sinx—
x
a为奇函数时,
f（x）
f（x）0
又f（x）
f（x）sin（x）
1
（x）
1
asinx—
x
2a，故a=0
1
所以a=0”是函数f（x）sinx—a为奇函数”的充要条件，故选C
x
（4）C【解析】已（6,0）,F2C6,0）,不妨设l的方程为y设P（x0「2x°）
umrUJIK____2
由PF1PF2（6x。
，.2X0）（.6x。
，，2x°）3x060
得X0J2，故P到x轴的距离为J2|x°|2，故选C
（5）
B【解析】所求的空间几何体是以原点为球心，
1为半径的球位于第
一卦限的部分，体积为
14
13—,故选B
83
6
（6）
C【解析】｛anan1｝的前10项和为a1a2
a?
a3
La10
a11
2（a1
a2L310）a11a1
2S1010
2120，
故选C
uuuuuir
unrUULT
UUUTUULT
UULT
1UUU
UUT
UULT
3UULT
（7）
D【解析】BDAD
ABAC
CDAB
AC
1AB
AB
AC
AB，故选D
2
2
（8）
B【解析】第一次运行后
s2,a
3,n1；
第二次运行后s
5,a
5,n
2；第三次运行后
s10,a9,n3；第四次运行后s19,a
17,n4；第五次运行后s
36,a33,n5；第六
次运行后s69,a
65,n6；此时不满足st，输出n6，故选B
（9）A【解析】由f（x）sin（x）的最小正周期为4，得
-.因为f（x）f（）恒成立,
23
所以
f（x）
（2k
f（x）max
sin（x
2
）•令-xk（k
323
-2k（kZ），由
2
Z），得x2k—（k
3
一，得一，故
23
Z），故f（x）的对称中心为
牛0）（k
Z），当k
0时，f（x）的对称中心为（—,0），故选A
3
1x2相切时z取得最小值
2
zyx
由12，消去y得：
x22x2z0，由
yx
2
48z0，得z-，故丄z2,故选
22
（10）B【解析】作出可行域，设直线l:
yxz，平移直线l，易知当I过3xy
的交点（1,3）时，z取得最大值2;当I与抛物线y
B
（11）D【解析】由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱的两个侧面
1f—
面积之和为24216，两个底面面积之和为22、..323；半圆柱的侧面积为
2
44，两个底面面积之和为2112，所以几何体的表面积为5162.3，故
2
选D
a
（12）A【解析】f（X）-xb
x2bxa
因为f（x）存在极小值,
所以方程
bxa0有两个不等的正根
x+x2b0故xX2
b2
4a
由f（x）0得x1
b24a
2，X2
bb2
2，分析易得f（x）的极小值点为X1，
因为b^~a，所以x1
bb2
4a
2
2a
b2
=（0,a）
4a
f（x）极小值=f（xjalnXi
12
2X1
bx1
aln
Xi
12
2x1
2
X1
aaln
xi
12
2x1
设g（x）alnx
a（0x
•~a），则
f（x）的极小值恒大于
0等价于g（x）恒大于0
因为g（x）—
x
故g（x）g（.a）
（13）
200【解析】
由题意可得
（14）
40【解析】
（15）
Rt
POA中,
所以g（x）在（0「,V）单调递减
3
a0，解得a
2
3600
e，故amin
e3，故选A
1
16
3a2
16b2
（16）
整理得
不等式
an
n
2an
2400+3600+6000N
23323
x2y3的系数为C52
（1）40
60，故N
200
【解析】不妨设点P在第一象限，由对称性可得
cos
POA
OP
OA
1
故POA600，
2
OP
a
22，因为APPQ在
PQ
易得P（一a,」a），代入椭圆方程得:
44
1,故
222
5b5（ac），所以离心率
t1【解析】
2时，an
Sn
Sn1
（n1总nan1
22
-，又a1=1，故ann
n1
22
tan2t0可化为：
n
tn
2t20
设f（n）ntn2t2，由于f（0）2t20，由题意可得
f
（1）1t2t20
f
（2）42t2t2
0
BCD中，由正弦定理得
v3
3o
BCD,
—3,
1
2
2
，解得2t
（17）【解析】（I）在
CD
BDsin
sinCBD
在ABD中，由余弦定理得:
cosADB
AD2BD2AB2
2ADBD
（22）3（5）22
22232
所以ADB45o
（n）因为CBD30o，
BCD120o，所以CDB30o
苗72
因为sinADCsin（45°30o）8分
4
1
所以SADCDsinADC
2
所以DE//平面ACF
C
（n）方法一：
因为平面
所以AO平面EFBD
QAO平面BDEF,
BF平面AOM,
故AMO为二面角A
取EF中点P，连接OP，因为四边形
1
S梯形EFBD二（EFBD）
2
因为
EFBD平面ABCD，交线为BD，，作OMBF于M，连AM
AOBF，又OMAO=O
BFAM,
BFD的平面角•
EFBD为等腰梯形，故
1C、22、、2）op
2
AOBD
所以
OP
2.由PFioB
2
因为
SFOB
1
OB
2
1
OPOM
2
所以
OM
OBOP210
BF
所以
cos
AMO
OM
AM
故二面角
ABF
OP
BF
OP
BD
得BFOF.OP2PF2
亍，故AMT
2
3
2
D的余弦值为-
3
方法二：
取EF中点P，连接OP,因为四边形EFBD为等腰梯形,
10
2
1（分
12分
故OPBD，又平面EFBD
uuruuuuuu平面ABCD,交线为BD,故OP平面ABCD,如图，以O为坐标原点，分别以OA,OB,OP
xyz.
C
的方向为
因为S梯形EFBD
1（EFBD）OP1（，22.2）OP
22
所以OP2,A（.2,0,0）,B（0,2,0）,C（2,0,0）,F（0,d八2）
2
（0,了，2）
设平面ABF的法向量为n
（x,y,z）
uuuABuuuBF
因为AO
02x
0，得罷0y
2
BD，所以AO
uuu
2y0
L，令Z1,
、2z0
则n（2,2,1）
平面EFBD,
故平面BFD的法向量为OA
（「2,0,0）
1（分
uuur
于是cosOA,n
uuu]
-r-
oa|
n
uuurOAn
2血
22221<2
由题意可知，所求的二面角的平面角是锐角，故二面角
ABF
D的余弦值为-
3
12分
（19）【解析】（I）
中国
俄罗斯
6
1
8
2
4376
28
3
2
4
1
5
两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下
中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值;
通过茎叶图可以看出，
俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散。
（n）解：
X的可能取值为0,1,2,3，设事件AB、C分别表示甲、乙、丙猜中国代表团，则
4232
P（x0）P（A）P（B）P（C）（14）（15）恳
P（X1）P（ABC）P（ABC）P（ABC）
P（X2）P（ABC）P（ABC）P（ABC）
423
P（X3）P（A）P（B）P（C）
（一）2-
55
—1
4一
4、
（1
3、
一4、
2
319
C2
-（1
-）
-）
（1-）
5
5
5
5
5125
42
（1
3、
—1
4
一4、
3
56
（―）
-）
C2
（1-）
5
5
5
5
5
125
48
125
uuuuuu
因此AB（.2,.2,0）,BF
故X的分布列为
.=i
yV2x，则y愿
1（x
2）
（n）l2恒过定点（2,0），
理由如下:
由题意可知li的方程为x
2，因为12与li相交，故m0
由12:
xmyb，令x
2，得y
b2，故E（2,bm
X
0
1
2
3
2
19
56
48
P
125
125
125
125
1（分
021
192
56
3
4811
12分
125
125
125
1255
【解析】（I）
由抛物线
C:
y
2
2px经过点M（2,2），得
4p，故p
1,C的方程为
2y
2x
2分
EX
（20）
C在第一象限的图象对应的函数解析式为
22
1
故C在点M处的切线斜率为-，切线的方程为y2
2
令y0得x2，所以点N的坐标为（2,0）
故线段ON的长为2
设A（Xi,yJ,BXy）
x由
2
y
myb
消去x得:
2x
y22my
2b0
则yi
y22m,
yiy2
2b
直线MA的斜率为
yi
Xi
yi2
2
建2
2
yi
2，同理直线MB的斜率为一2
2V22
直线ME的斜率为
b
m
因为直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列，所以
22
Y12y22
b2
2m
2（yiy2
4）
即
2（y1y2）y〃24
4y〃2
2（yiy2）
yy4
1b2
2m
io分
整理得：
—b2b
2mb22m
因为l2不经过点N，所以b
所以2mb22m，即b
故l2的方程为xmy2，即
f（x）=exx1
f（0）0,
2分
当x0时，f（x）0
（0,）单调递增
5分
l2恒过定点
12分
（2,0）
（21）【解析】（I）当a=1时,
易知f（x）在R上单调递增，且
因此，当x0时，f（x）0；
故f（x）在（，0）单调递减，在
（i）当
a
0时,
g（x）ex0,g（x）无零点
（ii）当
ia
0时,
g（x）0,g（x）在R上单调递增
g（0）
12a,g
（1）e0
①若1
2a
0,
1
即a时，g（0）
2
12a0,
g（x）在（0,1）上有
•个零点
②若1
2a
0,
1
即a一时，g（0）
2
0,g（x）有
个零点
0
③若1
2a
0,
□1
2a1
2a1
2a1门
即0a—时，
e2a1
0,
g（x）在
g（）（
0
2
2a
2a
占
八、、
...Q
…8分
（iii）当
当a
0时
，令g（x）0,得
xln（2a）;
令g（x）
0,
得x
ln（
2a）
（n）由条件可得g（x）
2a
上有
xe
2ax2a,g（x）ex
所以g（x）在，ln（2a）单调递减，在ln（2a）,单调递增,
个零
g（x）ming（ln（2a））2aln（2a）2
①若ln（
2a）
0，即
a0时，g（x）0,g（x）无零点
②若ln（
2a）
0，即
g
（2）
0,g（x）有一个零点2
③若ln（
2a）
g（i）
e0,g（ln（2a））0,g（x）在1,ln（2a）有一个
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