高中数学实验教学的有效创设.docx

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高中数学实验教学的有效创设

绍兴市普通中小学学术主题报告

高中数学实验教学的有效创设

绍兴市教育教学研究院王小红

著名数学家和数学教育家G·波利亚指出：

“数学有两个侧面,一方面它是欧几里德式的严谨科学,从这个方面看,数学象是一门系统的演绎科学;但另一方面,创造过程中的数学,看起来却象一门试验性的归纳科学．”这要求数学教学既要充分体现数学形式化、抽象化的一面，又必须重视数学发现、创造过程中具体化、经验化的一面.即数学教学既需注重演绎推理的一面,又要注重合情推理的一面.

《普通高中数学课程标准（实验）》的基本理念指出：

“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式．这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程.高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识．”而承载体验数学发现和创造的历程的最有效载体就是数学实验.其实在发达国家，数学实验已经成为常见的数学教学形式或课程内容，美国的中学有专门的数学实验室，英国的中学教材中有许多数学实验教材.

在新课程理念下,数学实验教学开始受到了高中数学教师的关注,但更多的教师因认识上的不足,总以种种现实问题来回避这个问题．在新课程的教学调研中，通过问卷调查发现有46.8%的学生喜欢在数学学习中有动手实验活动,却只有15%的老师在课堂上曾创设过数学实验活动．

1.考题重现

2002年普通高等学校招生全国统一考试（数学）文22题

（Ⅰ）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；

（Ⅱ）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；

（Ⅲ）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪栟成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等.请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明.

评析：

这一“剪拼”实验题，对学生提出了怎样的实验要求呢?

⑴要求学生对所学的基本空间图形非常熟悉,并能准确地用语言去说明剪拼后图形的空间形状与位置关系;

⑵要求学生设计方案，并论证或说明方案合理性，讨论它的可行性，具有很大的自由度和思维空间;

⑶第（Ⅱ）、（Ⅲ）问要求学生将感性、形象的思维上升到理性、逻辑的思维，应用自己在立体几何中学到的基本原理进行比较和计算（第（Ⅱ）问），再运用（第（Ⅲ）问），其实质就是实验的归纳和总结,把实验经验内化为数学思维的过程.

02年高考中出现这一“剪拼”实验题,当时着实有点意外,现在看来实属必然,也是一种需要.

2．什么是数学实验教学

2．1什么是数学实验

曹一鸣先生在《数学实验教学模式探究》一文中把数学实验界定为：

为获得某种数学理论，检验某种数学思想，实验者运用一定的物质手段，在数学思维活动的帮助下，在特定的实验环境中所进行的探索、研究活动.言简之,即数学实验是为了探究数学知识、检验数学结论（或假设）而进行的某种操作和思维活动.

2．2什么是数学实验教学

数学实验教学指恰当运用数学实验引导学生参与实践、自主探索、合作交流而发现问题、提出猜想、验证猜想和创造性解决问题的教学活动．

数学实验教学是根据研究目标和数学思想发展脉络，创造或改变某种数学情境，利用实验手段，设计系列问题，通过思考和操作实验，从直观、想象到发现、归纳、猜想，研究数学现象的本质和发现数学规律的过程.这是一种思维实验和操作实验相结合的实验教学.数学实验通过学生的操作、实验或试验，使学生亲历数学知识的建构过程，逐步掌握认识事物、发现真理的方式方法，能够培养学生的建模能力和应用意识，使学生进入主动探索状态，变被动的接受学习为主动建构的过程，充分发挥学生的主体地位，激发学生创新思维．应该说数学实验教学符合新课程要求的新的教学模式.

案例1指数函数定义的引入设计

实验设计：

学生分成小组,动手折纸,观察对折次数与所得纸的层数的关系．得出折一次为2层纸,折两次为22层纸,折三次为23层纸,…得对折次数x与所得纸的层数y的关系式为y=2x．

评析：

数学实验的创设要符合高中学生的认知水平和思维水平，相对于初中，高中学生的抽象能力和归纳能力有了一定的提高，这一动手操作实验,对归纳得出y=2x没有思维上的帮助．学生能脱离具体事物操作进行独立思考的，如果还让他们动手操作的话，反而会干扰学生的思维，造成了思维的惰性．不是任何数学知识的学习和问题的解决都要让学生动手操作．

案例2一杯糖水给学生产生终生难忘的数学结论

问题情境：

已知a、b、m都是正数，并且a

实验器材：

一杯开水与若干糖；

活动实验：

（师生互动，有时可分小组进行、或全班进行、或个人探索等）

教师：

先在开水中加入一小勺糖，尝一下味道如何？

（分别叫一些同学尝试）

学生：

有点甜

　　教师：

若在糖水中再加入一勺糖（再由同学品尝一下），味道发生什么变化？

　学生：

（纷纷美滋滋地舔着舌头）说：

变甜了．

教师：

为什么会这样呢？

请同学们用数学模型对这种现象作一解释．然后，让同学思考、或分组讨论．此时，教师根据讨论的进程进行恰当指导．

归纳猜想：

由讨论与思考达成共识——实际上是质量分数增大的原因；因为加糖前的质量分数为

，加糖后的质量分数为

，所以有

，然后说明这是本例的一种生活背景．为了更好理解条件，教师还可以提出以下系列问题，引发学生思考．

　评析：

在糖水中再加入一勺糖，当然是变甜了，这是生活常识，不用通过实验去获得“变甜了”的结论.这样的实验创设在课堂上只是浪费时间,从这个角度看,不仅是无效,甚至是负效的了.

数学实验不仅仅是一种形式．怎样的实验活动才能真正体现新课程理念呢？

应该怎样利用课本资源创设有效的数学实验教学?

如何评判数学实验教学创设是否有效?

本人将阐述自己的观点．

3．有效数学实验的特征

3．1有效的三层含义:

⑴有效果:

指对教学活动结果与预期教学目标的吻合程度的评价；

⑵有效率:

教学效果和教学投入的比值，可表达为：

教学效率=教学产出（效果）/教学投入=有效教学时间/实际教学时间；

⑶有效益:

指教学活动的收益、教学活动价值的实现．具体说，是指教学目标与特定的社会和个人的教育需求是否吻合程度的评价．“是否吻合”是对教学效益的规定，“吻合程度”是对教学效益的把握．

3．2什么样的数学实验教学创设才有效？

有效的数学实验必须满足以下几个特征：

⑴直观性：

实验能够提供某种直观，使学生借助于这种直观，领悟数学本质，提炼数学思想方法；

⑵体验性：

实验的创设能给学生深刻的体验，通过操作、探究，学生能感受、体验数学，并有助于学生发现问题，提出问题；

⑶深刻性：

能在实验的基础上进行抽象思维，进而揭示数学规律或问题的本质；

⑷开放性：

实验入手较易，开放性强，解决方案多，学生思维与创造空间大.

4．数学实验教学创设的策略

4．1创设探究性数学实验展示直观形象，发现数学规律

在传统教学模式下,数学教学往往过分强调形式化的逻辑推导和形式化的结果,而对数学发现过程的展示和数学直观性的背景注意很少,从而给学生数学学习带来困难,导致学生越来越害怕学习数学,使学生丧失了学习数学的兴趣.而数学实验教学通过学生的动手操作、观察比较、体验数学的直观性,给学生创造了大胆提出自己的猜想和发现的机会.

案例3直线与平面垂直的判定

⑴教材提供的设计

实验课题：

直线与平面垂直的判定（必修2P72）.

实验用品：

一张三角形的纸片.

实验步骤:

①过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD（如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）

图1图2

②提出问题:

Ⅰ.折痕AD与桌面垂直吗？

Ⅱ.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？

⑵绍兴市高级中学陈柏良老师的设计（“中学数学核心概念、思想方法及其教学设计研究”的课题组活动中的研讨课设计）

陈老师对此实验做了改进：

他不要求过三角形ABC的顶点A翻折纸片，而是放手让学生翻折，只要保证翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）使得折痕与桌面

所在平面垂直就行．学生翻折出了两种不同的情形（图3，图4）,

图3图4

提出问题:

①这两条折痕AD、DE是如何得到的?

（学生:

是通过翻折DB与DC重合得到的）

②按图3、4翻折后，都能使折痕与桌面所在的平面垂直，那么两者必定存在共同的本

质特征，你认为两者共同的特征是什么？

（学生:

折痕都是垂直与DB与DC）

然后陈老师引导学生通过这两个特例的类比,归纳出两种情形的共同本质特征.进一步，

让学生概括直线与平面垂直的判定定理．

评析：

由于新课程中必修2中不要求严格证明直线与平面垂直的判定定理,只要求直观感知、操作确认，注重合情推理,因此实验的重点是判定定理的探究上.以上两个实验,让学生在观察、类比和反思中，较快地对这个抽象的数学定理有了直观、感性的认识．但教材中折纸实验的设计局限于过顶点A翻折，实验操作的指向太明确,探究较窄,它试图让学生由此归纳出直线和平面垂直的判定定理,但仅仅一个模型很难类比与归纳出直线和平面垂直的判定定理.陈老师的实验创设给学生更广阔的探究空间,学生探究出了两种模型．

反思:

实验用品是一块三角形纸片,为什么要这样安排?

本人以为教材的设计是过三角形的顶点A翻折纸片,故让学生准备了三角形纸片,是有实验的局限性所致的.我们是否只要让学生准备凸多边形纸片,甚至是只要准备有一边是直的边的任何纸片呢?

⑶嵊州市第二中学的陈一凯老师的设计（2007年新课程视野中的高中数学教学论坛中提出的设计）

实验用品：

三角形纸片，半圆形纸片，五角形纸片，特定六角形纸片.

实验操作：

将纸片对折一次，再将其竖直放置在桌面上

（1）

（2）（3）（4）

图5

问题的设置：

①哪几个纸片能竖直放置？

②能竖直放置的模型的折线与桌面有何位置关系？

③能竖直放置的纸片的折线在纸片平面中有何特征？

④平面图形和立体图形中共有的不变性是什么？

⑤修正模型（3），使他也能竖直放置.

平面纸片中共性共性立体模型中

猜想

类比

线线垂直线与两相交线垂直

评析：

通过对这三个实验设计的不断改进,实验提供给学生的探究空间更大了,也更开放了．当然鉴于课堂教学的生成性,在课堂中选用哪种实验方案,哪种实验方案更有效,这需要经过课堂教学的检验.

再反思：

对教材中提供的实验怎么利用？

怎么挖掘？

需要教师的不断研究.

4．2创设验证性数学实验，降低学生学习中抽象性的难度

许多的数学规则具有严谨性和抽象性,不容易理解和掌握.在数学规则的学习中,可以根据情况创设数学实验,通过学生的动手操作来发现规则,理解规则,掌握规则,会取得较好的教学效果.

案例4零点存在性的判断

因为

且图象在区间

上连续不断，是函数

在区间

上有零点的充分而非必要条件，学生在在这点的理解比较困难．

实验设计：

给学生一条直线和一条细线，并记细线的两个端点为A和B，让学生动手，观察在什么样的情况下一定能够保证这条细线和给定的直线一定有交点？

图6

学生可以发现当点A和B在直线的两侧时一定能满足题意，而当点A和B位于直线的同侧时，有可能有交点，也可能没有交点，故不一定有交点了．引导学生从数的角度来分析得到

的结论．

教师继续问，在刚才的情况下（A和B在直线的两侧时）细线与给定直线已经有交点了．请问你能设计出方案使得他们没有交点吗？

学生会有两种方案：

①将点A和B移到直线的同侧（进一步说明了

的必要性）；

②只要把细线剪断（来说明函数图像必须是连续的）．

通过上述探究，让学生自己概括出零点存在性定理．

评析：

实验的设计简单明了，通过学生的操作，让学生直观感受到了函数零点存在定理各条件的作用，从实验的解决中领悟了定理本质．学生也就自然会得出函数

图象在区间

上连续不断的前提下:

若

则函数

在区间

上至少有一个零点;

若

函数

在区间

上也可能有零点;

函数

在区间

上有零点不一定有

等一些结论.

4．3利用计算机模拟数学实验

计算机模拟实验教学指借助于计算机的快速运算功能和图形处理能力,模拟再现问题情景,引导学生自主探究数学知识、检验数学结论（或假设）的教学活动.人们就是用了计算机验证了”费马大定理”当n小于125000时正确.“四色问题”，分了1482种情况，也是利用了两台不同的计算机，用了1200个小时，作了100亿判断来解决的.

概率教学中抛硬币的数学实验，让学生亲自动手操作一下，经过实验，学生发现“硬币正面”出现的频率随着试验次数的增加，在0.5左右摆动.

⑴“硬币正面”出现的概率为什么是0.5呢?

⑵频率为什么可以作为概率的估计值呢?

⑶若追求更大的试验次数,是不是可以用计算机或计算器进行模拟呢?

学生对这些问题充满了好奇心,对如何利用计算机或计算器进行模拟充满了探究的渴望.

案例5y=ax与y=logax的图像交点个数问题

学生在学习了指、对数函数图像性质后，就提出“指、对数函数图像有没有交点？

”这样一个问题.

由于课本上给出函数y=2x与y=log2x的图像及

的图像，容易使人误认为函数y=ax与y=logax的图像当a>1时没有交点，0

利用信息技术,可以把这个问题抛给学生,让学生自己利用几何画板的操作,自己去解决问题,从而探究出以下结论：

探究1　如图7、8，当a>1时，函数y=ax与y=logax的图像交点个数为0、1或2个．

图7图8

拖动点B，使a的值小于1，且当a小于某一值时，函数y=ax与y=logax的图像有3个交点，如图9．

探究２　当0

图9

评析：

传统的教学,教师用粉笔和黑板,学生用笔和纸,画出来的图像是静态的,有时很容易掩盖一些几何规律,无法形象地表达一些普遍性的内容.计算机、多媒体的介入,给教师提供了动态的黑板，给学生提供了更为丰富的学习资源.借助于计算机、多媒体迅速的图文、数据处理功能,为抽象的数学思维提供了直观的思维背景,使静态的数学结构表现为时空的动态过程,使得数学实验有了质的飞跃．

5．数学实验教学创设中要注意把握的几个问题

⑴实验的目的和方法要明确

实验的目的要明确,这包含两个层面.一个层面是指教师在创设实验的目的要明确.另一个层面是指要让学生明确实验操作的目的.学生必须知道他们在做什么,为什么要这样做.只有学生清楚地了解实验的目的,从而相应的实验活动才能够成为他们的一种自觉行为.实验目的明确的同时,教师还要让学生明确实验操作方法.

⑵实验的过程要自主化和有创造性

让学生动手操作实验就是为了发挥学生的主体作用，通过动手操作实验，经历了对事物的认识过程和问题的探究过程，就能让学生更好的实现对数学知识的建构和对规则的理解．如果在操作实验过程中做什么、怎么做都由教师规定，学生按老师的要求一步一步来的话，那么学生的学习仍然是被动的.这样的活动也不利于学生的思维发展，学生的创造性潜力也难以施展了.

案例6选修2-22.1节合情推理中的例题

如图，有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.

1.每次只能移动1个金属片；

2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.

试推测：

把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次?

评析：

在这个问题的解决中可以让学生操作实验,怎么操作呢?

可以从移动1，2，3，4个金属片的情形入手，探究其中的规律性，进而归纳出移动n个金属片所需的次数．若在实验前教师暗示了这样的方法,我以为这样的实验指向性太明确,学生的操作无疑于完成了一次确定的任务.实验的方案应有小组自己设计,把探索的空间留给学生.实际上学生有可能设计出两种不同的方案:

方案1（利用归纳推理）:

从移动1，2，3，4个金属片的情形入手，探究其中的规律性;

方案2（利用类比推理）:

通过发现移动4个金属片次数和移动3个金属片次数之间的关系，类比得到移动n个金属片次数

和移动n-1个金属片次数

之间的递推关系:

再利用这一递推公式，进一步得到移动n个金属片最少移动的次数．

⑶实验的结果要内化

如果创设的数学实验始终只是停留在实际操作层面，而不能在头脑中实际地建构起相应的数学对象的话，则根本不可能发展起任何真正的数学思维.操作试验并不能完成“主动构建”.相对于具体操作活动而言，我们事实上更应强调实验结果的内化.动手实验实际上就是为了更好地发展学生的数学思维，如果忽略了内化的过程实验活动本身就会失去意义．这也是数学实验和其它的实验最大的区别.

6．结束语

数学实验虽然不是严密的论证,但它使学生在实验中探索，在操作、观察、讨论、交流、归纳、猜想、分析和整理的过程中，理解数学问题的提出、数学概念的形成、数学结论的获得与验证以及数学知识的应用，对形成参与实践、自主探究、合作交流等积极主动的学习方式创造了有利的条件．数学实验教学对培养直觉思维能力、提高观察与归纳能力、培养数学素养和数学人文价值、培养创新意识和情感的生成等都有积极的意义.

教学是一个复杂的大系统,数学实验的创设是教学中的一个环节,一个数学实验是否有效必须通过教学实践的检验,它牵涉到教师如何使用,在什么时机使用等等因素.新教材的各模块中提供了许多数学实验的素材,希望在我们的教学中对数学实验进行深入的研究和探索.