圆锥曲线与方程复习资料.docx

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圆锥曲线与方程复习资料

高中数学选修2－1

第二章圆锥曲线与方程

知识点：

一、曲线的方程

求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：

建、设、限、代、化

①建立适当的直角坐标系；

②设动点及其他的点；

③找出满足限制条件的等式；

④将点的坐标代入等式；

⑤化简方程，并验证（查漏除杂）。

二、椭圆

1、平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆。

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。

2、椭圆的几何性质：

焦点的位置

焦点在轴上

焦点在轴上

图形

标准方程

第一定义

到两定点的距离之和等于常数2，即（）

第二定义

到一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数，即

范围

且

且

顶点

、

、

、

、

轴长

长轴的长短轴的长

对称性

关于轴、轴对称，关于原点中心对称

焦点

、

、

焦距

离心率

准线方程

焦半径

左焦半径：

右焦半径：

下焦半径：

上焦半径：

焦点三角形面积

通径

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：

（焦点）弦长公式

，

3、设是椭圆上任一点，点到对应准线的距离为，点到对应准线的距离为，则。

常考类型

类型一：

椭圆的基本量

　　1．指出椭圆的焦点坐标和离心率.

【变式1】椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离=________

【变式2】椭圆的两个焦点分别为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长=___________.

【变式3】已知椭圆的方程为，焦点在x轴上，则m的取值范围是（）。

　　A．－4≤m≤4且m≠0　B．－4＜m＜4且m≠0　C．m＞4或m＜－4　D．0＜m＜4

类型二：

椭圆的标准方程

　　2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；　

（2）两焦点的坐标分别为，且椭圆经过点。

　【变式1】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆有相同的焦点，并且经过点（3，－2），求此椭圆的方程。

　3．求经过点P（－3，0）、Q（0，2）的椭圆的标准方程。

【变式1】求与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦距，且离心率为的椭圆的标准方程。

　【变式2】在椭圆的标准方程中，，则椭圆的标准方程是（）

　　A．　　　B．　　　C．　　D．以上都不对

【变式3】长轴长等于20，离心率等于，求椭圆的标准方程。

类型三：

求椭圆的离心率

　　4．已知椭圆一条准线为，相应焦点为，长轴的一个顶点为原点，求其离心率的取值。

【变式1】椭圆的两个焦点把两条准线间距离三等分，则椭圆离心率为（）

　　A.　　　B.　　　C.　　　D.不确定

【变式2】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（　）

5.已知椭圆（），以，，为系数的关于的方程无实根，求其离心率的取值范围。

类型四：

椭圆定义的应用　

6．若一个动点P（x，y）到两个定点A（－1，0）、A＇（1，0）的距离的和为定值m（m>0），试求P点的轨迹方程。

【变式1】下列说法中正确的是（）

　　A．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆

　　B．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一条线段

　　C．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条直线　

D．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹存在，则轨迹是一个椭圆或者是一条线段

　　【变式2】已知A（0，－1）、B（0，1）两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是（）

　　A．　　　　　　B．

　　C．　　　　　　D．　

类型五：

坐标法的应用　

7．△ABC的两个顶点坐标分别是B（0，6）和C（0，－6），另两边AB、AC的斜率的乘积是，求顶点A的轨迹方程。

　　【变式1】△ABC两顶点的坐标分别是B（6，0）和C（－6，0），另两边AB、AC的斜率的积是，则顶点的轨迹方程是（）

　　A．　　　　　B．

　　C．　　　　　D．　

课后练习

1．椭圆的焦点坐标为

（A）（0,±3）（B）（±3,0）（C）（0,±5）（D）（±4,0）

2．在方程中，下列a,b,c全部正确的一项是

（A）a=100,b=64,c=36（B）a=10,b=6,c=8（C）a=10,b=8,c=6（D）a=100,c=64,b=36

3．已知a=4,b=1，焦点在x轴上的椭圆方程是

（A）（B）（C）（D）

4．已知焦点坐标为（0,－4）,（0,4），且a=6的椭圆方程是

（A）（B）（C）（D）

5．若椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点F2的距离是

（A）4（B）194（C）94（D）14

6．已知F1,F2是定点，|F1F2|=8,动点M满足|MF1|+|MF2|=8，则点M的轨迹是

（A）椭圆（B）直线（C）圆（D）线段

7．当a+b=10,c=2时的椭圆的标准方程是.

8．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP’，则线段PP’的中点M的轨迹方程为.

9．经过点M（,－2）,N（－2,1）的椭圆的标准方程是.

三、双曲线

1、平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线。

这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距。

2、双曲线的几何性质：

焦点的位置

焦点在轴上

焦点在轴上

图形

标准方程

第一定义

到两定点的距离之差的绝对值等于常数，即（）

第二定义

与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数，即

范围

或，

或，

顶点

、

、

轴长

实轴的长虚轴的长

对称性

关于轴、轴对称，关于原点中心对称

焦点

、

、

焦距

离心率

准线方程

渐近线方程

焦半径

在右支

在左支

在上支

在下支

焦点三角形面积

通径

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：

3、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。

4、设是双曲线上任一点，点到对应准线的距离为，点到对应准线的距离为，则。

常考类型

类型一：

双曲线的定义及标准方程

例1.如图2所示，为双曲线的左

焦点，双曲线上的点与关于轴对称，

则的值是（）

A．9B．16C．18D．27

练习:

设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：

|PF2|=3：

2，则△PF1F2的面积为（）

A．B．12C．D．24

例2.已知双曲线C与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）.求双曲线C的方程．

练习:

1.曲线与曲线的（）

A．焦距相等B．焦点相同C．离心率相等D．以上都不对

2.已知椭圆和双曲线有公共的焦点，

（1）求双曲线的渐近线方程

（2）直线过焦点且垂直于x轴，若直线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为，求双曲线的方程

类型二：

双曲线的几何性质

题型1求离心率或离心率的范围

例3.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为

题型2与渐近线有关的问题

例4.若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（）

A.　　B.　　C.　　　D.

练习：

焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（）

A．B．C．D．

题型3焦点三角形

点P是双曲线上一点，F1、F2是双曲线焦点，若F1PF2=120o，

则F1PF2的面积

练习：

设是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且，求的面积。

课后练习

一、填空题

1．椭圆与双曲线的焦点相同，则k=。

2．双曲线的渐近线为

3．过点（-6，3）且和双曲线x2-2y2=2有相同的渐近线的双曲线方程为。

4．过原点与双曲线交于两点的直线斜率的取值范围是

5、若双曲线的一个焦点是（0，3），则k的值是。

6．点P是双曲线上一点，F1、F2是双曲线焦点，若F1PF2=120o，则F1PF2的面积。

二、选择题

7.经过双曲线的右焦点作直线交双曲线与、两点，若|AB|=4,则这样的直线存在的条数为　　　　　　　　　　　　　　　（　）

（A）４；（B）3；　　（C）2；（D）１

8．双曲线与其共轭双曲线有（）

A．相同的焦点B.相同的渐近线

C.相等的实轴长D.相等的虚轴长

9．过点P（3,4）与双曲线只有一个交点的直线的条数为（）

A．4B.3C.2D.1

三、解答题

10．已知动圆与圆C1:

（x+5）2+y2=49和圆C2：

（x-5）2+y2=1都外切，

（1）求动圆圆心P的轨迹方程。

（2）若动圆P与圆C2内切，与圆C1外切，则动圆圆心P的轨迹是。

若动圆P与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心P的轨迹是。

若把圆C1的半径改为1，那么动圆P的轨迹是。

（只需写出图形形状）

四、抛物线

1、平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线．

2、关于抛物线焦点弦的几个结论：

设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则

⑴⑵

⑶以为直径的圆与准线相切；

⑷

3抛物线的几何性质：

图形

标准方程

定义

与一定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点不在定直线上）

顶点

离心率

对称轴

轴

轴

范围

焦点

准线方程

焦半径

通径

过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：

焦点弦长

公式

参数的几何意义

参数表示焦点到准线的距离，越大，开口越阔

例题讲解

1.抛物线y=4上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（）

A.B.C.D.0

2.顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3，2）的抛物线的条数有

常考类型

类型一：

抛物线的定义

例1.已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为

练习1.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、、成等差数列，则有（　　）

A．B．C．D.

练习2.已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时,M点坐标是（）

A.B.C.D.

类型二：

抛物线的标准方程

例2.求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：

（1）过点（-3,2）

（2）焦点在直线上

练习3.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值

练习4.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；

③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；

④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.

能使这抛物线方程为y2=10x的条件是____________.（要求填写合适条件的序号）

类型三：

抛物线的几何性质

例3.设A、B为抛物线上的点,且（O为原点）,则直线AB必过的定点坐标为_______