广州中考数学一模函数综合压轴题汇编.docx

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广州中考数学一模函数综合压轴题汇编

2018一模函数压轴题汇编

例题分析

例题1、（2018·广州市三中一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣

），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D.

（1）求二次函数的解析式；

（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求

PB＋PD的最小值；

（3）点M（x，t）为抛物线对称轴上的一个动点，连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围.

例题2、（2018·天河区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝

x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝－

x2＋bx＋c经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；

①连接BC，CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求

的最大值；

②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？

若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．

例题3、（2018·广州市十六中一模）已知抛物线y＝－x2＋3x＋4交y轴于点A，交x轴于点B，C（点B在点C的右侧）．过点A作垂直于y轴的直线l．在位于直线l下方的抛物线上任取一点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q．连接AP．

（1）写出A，B，C三点的坐标；

（2）若点P位于抛物线的对称轴的右侧：

①如果以A，P，Q三点构成的三角形与△AOC相似，求出点P的坐标；

②若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M．是否存在点P，使得点M落在x轴上？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

③设AP的中点是R，其坐标是（m，n），请直接写出m和n的关系式，并写出m的取值范围．

例题4、（2018·广州市广雅中学一模）如图，已知点A（－3，0），二次函数y＝ax2＋bx＋

的对称轴为直线x＝－1，其图象过点A与x轴交于另一点B，与y轴交于点C．

（1）求二次函数的解析式，并写出顶点坐标；

（2）动点M，N同时从B点出发，均以每秒2个单位长度的速度分别沿△ABC的BA，BC边上运动，设其运动的时间为t秒，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，连结MN，将△BMN沿MN翻折，若点B恰好落在抛物线弧上的B′处，求t的值及点B′的坐标；

（3）在

（2）的条件下，Q为BN的中点，试探究坐标轴上是否存在点P，使得以B，Q，P为顶点的三角形与△ABC相似？

如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

例题5、（2018·广州市番禺区一模）

已知，二次函数y＝ax2－2ax－3（a＞0），当2≤x≤4时，函数有最大值5．

（1）求此二次函数图像与坐标轴交点；

（2）将此函数图像x轴下方的部分沿x轴向上翻折，所得到的图像与直线y＝n恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为A、B、C、D，当以BC为直径的圆与x轴相切时，求n的值．

（3）着点P（x0,y0）是

（2）中翻折所得的抛物线弧上的一点，当关于m的一元二次方程m2－y0m＋k－4＋y0＝0恒有实数根时，求实数k的最大值．

例题6、（2018·广州市育才中学一模）如图，已知抛物线y=ax2﹣2

ax﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．

（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；

（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；

（3）证明：

当直线l绕点D旋转时，

+

均为定值，并求出该定值．

例题7、（2018·广州市真光中学一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－

x2＋bx＋c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，－1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限.

（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；

（2）平移

（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与射线AC交于另一点Q．

（i）若点M在直线AC下方，且为平移前

（1）中的抛物线上的点，当以M，P，Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；

（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究

是否存在最大值？

若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．

例题8、（2018·广州市白云区一模）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A，B点，与y轴交于

C点，其对称轴为x＝1，且A（－1，0），C（0，2）.

（1）直接写出该抛物线的解析式；

（2）P是对称轴上一点，△PAC的周长存在最大值还是最小值？

请求出取得最值（最大值或最小值）时点P的坐标；

（3）设对称轴与x轴交于点H，点D为线段CH上的一动点（不与点C，H重合）.点P是

（2）中所求的点.过点D作DE∥PC交x轴于点E.连接PD、PE.若CD的长为m，△PDE的面积为S.求S与m之间的函数关系式，试说明S是否存在最值.若存在，请求出最值，并写出S取得的最值及此时m的值；若不存在，请说明理由.

例题9（2018·广州市汇景中学一模）在平面直角坐标系xOy（如图）中，经过点A（﹣1，0）的抛物线y=﹣x2+bx+3与y轴交于点C，点B与点A、点D与点C分别关于该抛物线的对称轴对称．

（1）求b的值以及直线AD与x轴正方向的夹角；

（2）如果点E是抛物线上一动点，过E作EF平行于x轴交直线AD于点F，且F在E的右边，过点E作EG⊥AD与点G，设E的横坐标为m，△EFG的周长为l，试用m表示l；

（3）点M是该抛物线的顶点，点P是y轴上一点，Q是坐标平面内一点，如果以点A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q的坐标．

例题10（2018·广州市花都区一模）已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过A（﹣2，5），B（﹣1，0），与x轴交于点C．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）点P是直线AC下方抛物线上的一动点，求△PAC面积的最大值；

（3）在抛物线对称轴上是否存在点Q，是△ACQ是直角三角形？

若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

强化训练

1、（2018·广州市一中一模）如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4）．且经过点N（2，3）．与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．抛物线的对称轴与x轴交于点E，点P在对称轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）直线CM与x轴交于点D，若∠DME=∠APE，求点P的坐标；

（3）请探索：

是否存在这样的点P，使∠ANB=2∠APE？

若存在，求出点P的坐标；若不存在；请说明理由．

2、（2018·广州市广大附中一模）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A（－1，0），B（5，0）两点，直线y＝－

x＋3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若PE＝5EF，求m的值；

（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？

若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3、（2018·广州市省实一模）设二次函数y＝－

（x＋1）（x－a）（a为正数）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点．直线l过M（0，m）（0＜m＜2且m≠1）且与x轴平行，并与直线AC、BC分别相交于点D、E．二次函数y＝－

（x＋1）（x－a）的图象关于直线l的对称图象与y轴交于点P．设直线PD与x轴交点为Q，则：

（1）求A、C两点的坐标；

（2）求AD的值（用含m的代数式表示）；

（3）是否存在实数m，使CD•AQ＝PQ•DE？

若能，则求出相应的m的值；若不能，请说明理由．

4、（2018·广州市海珠区一模）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过A（-1，0），B（3，0）C（6，4）三点.

（1）求此二次函数解析式和顶点D的坐标；

（2）E为抛物线对称轴上一点，过点E作FG∥x轴，分别交抛物线于F、G两点，

若

＝

，求点E的坐标；

若抛物线对称轴上点H到直线BC的距离等于点H到x轴的距离，则求出点H的坐标；

（3）在

（2）的条件下，以点I（1，

）为圆心，IH的长为半径作⊙I，J为⊙I上的动点，求是否存在一个定值λ，使得CJ＋λ·EJ的最小值是

.若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由.

图1图2

5、（2018·广州市增城区一模）如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝

x＋m与x轴、y轴分别交于点A，点B（0，－1），抛物线y＝

x2＋bx＋c经过点B，交直线AB于点C（4，n）.

（1）分别求m，n的值；

（2）求抛物线的解析式；

（3）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线AB于点E，点F在直线AB上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式和p的最大值.

6、（2018·广州市三中一模）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）.

（1）求此抛物线的解析式.

（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆于直线BD相切，请判断抛物线的对称线l于⊙C有怎样的位置关系并给出证明.

（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：

当P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？

并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积.

课后训练

1、（2018·广州市广州中学一模）如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（1，0），B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=﹣1，交x轴于点D

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，在y轴的正半轴上有一点N，当∠ANB=45°，求点N的坐标；

（3）如图3，在y轴右侧的抛物线有一点P，当∠CDP=45°，求点P的坐标．

2、（2018·广州市聚贤四中一模）己知二次函数y1＝x2－2tx＋（2t－1）（t＞1）的图象为抛物线C1．

（1）求证：

无论t取何值，抛物线C1与x轴总有两个交点；

（2）已知抛物线C1与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），将抛物线C1作适当的平移，得抛物线C2：

y2＝（x－t）2，平移后A，B的对应点分别为D（m，n），E（m＋2，n），求n的值；

（3）在

（2）的条件下，将抛物线C2位于直线DE下方的部分沿直线DE向上翻折后，连同C2在DE上方的部分组成一个新图形，记为图形G，若直线y＝－

x＋b（b＜3）与图形G有且只有两个公共点，请结合图象求b的取值范围．

3、（2018·广州市培正中学一模）如图，抛物线y=

与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.

（1）求点A,B,C的坐标：

A,B,C;

（2）点P是抛物线上一点（不与点A重合），且SΔPBC=SΔABC,求

APB的度数;

（3）在

（2）的条件下，点E是x轴上方抛物线上一点，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点B,P,E,F为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

4、（2018·广州市南沙区一模）在平面直角坐标系中，抛物线

与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，点D的坐标为（2，0），连接AC、CB、CD.

（1）求ΔABC的面积；

（2）求证：

=

；

（3）P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接DP交BC于点E.

①连接CP，当ΔCDP的面积最大时，求点E的坐标；

②当ΔBDE是等腰三角形时，直接写出点E的坐标.

5、（2018·广州市华侨中学一模）如图,在平面直角坐标系中,抛物线y＝

x2－

x－

与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D,点E（4,n）在抛物线上.

（1）求直线AE的解析式；

（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点,连接PC,PE,当△PCE的面积最大时,连接CD,CB,点K是线段CB的中点,点M是CP上的一点,点N是CD上的一点,求KM＋MN+NK的最小值；

（3）点G是线段CE的中点,将抛物线y＝

x2－

x－

与沿x轴正方向平移得到新抛物线y，y过有D,y的顶点为点F,在新增抛物线y的对称轴上,是否存在点Q,使得△FGQ为等腰三角形?

若存在,直接写出点Q的坐标:

若不存在,请说明理由.