高中同步创新课堂数学优化方案讲义课件北师大必修1第三章6.docx

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高中同步创新课堂数学优化方案讲义课件北师大必修1第三章6

§6指数函数、幕函数、对数函数增长

的比较

教材助读,

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（1）函数丿=2”，j=3x哪一个函数值增长得快?

（4）当兀一+8时，函数y=x29y=2\j=log2x哪一个函数值

增长得最快?

新知」提炼"

三种函数的增长趋势

当a＞］时，指数函数y=/是增函数，并且当a越艺—

时，其函数值的增长就越快.

时，其函数值的增长就越快.

当无＞0,〃＞1时，幕函数y=xn显然也是增函数，并且当由于指数函数值增长非常快，人们常称这种现象为“指数爆炸”.

自我尝试/

B・j=x3

D.y=x

1.下列函数中增长速度最快的是（D）

A.y=x2

C.y=x4

解析：

四个选项中的函数都是幕函数，且指数均为正数，选

项D中j=x7的指数7最大，贝II函数尸/的增长速度最快.

2・下列函数中，增长速度最快的是（D

A.y=2xB.y=^

C.y=5乂D.y=10x

解析：

四个选项中的函数都是指数函数，且底数均大于1,D

项中底数10最大，贝函数y=10"的增长速度最快.

B.J=lOg6X

3.下列函数增长速度最快的是（A）

A.j=log2x

C・j=log8x

解析：

四个选项中的对数函数在区间（0,+8）上均是增函数,选项A中y=log^r的底数2最小，则函数y=Yo^x增长速度

4.当兀越来越大时，函数y=3",y=x5,y=lnx,y=1OOOx2

中，增长速度最快的是丄岂解析：

由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当兀越来越大时，函数3”增长速度最快.

师指津r

（1）尽管函数y=/（a>l）,j=log^x（«>l）和y=x\x>0,n>

0）都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档

次”上，随着兀的增大，y=ax（a>l）的增长速度越来越快,

lo%r@>l）的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就会有lo%rVxn

（2）指数函数、对数函数、幕函数的性质如下表.

性质

y=ax（a>l）

在（0,+8）上的增减性

增函数

增长速度

越来越快

图像的变化

随兀增大逐渐表现为与y轴平行

y=logax（a>l）

y=xn（n>0）

增函数

增函数

越来越慢

相对平稳

随*增大逐渐表现为与兀轴平行

随〃值变化

而不同

探究案V讲练互动」

解惑・探究・突破

探究点一指数函数、幕函数、对数函数增长的比较

11⑴函数尸/与尸2”的交点个数为（C）

A.1

C.3

B.2

D.不能确定

⑵四个变量〃儿随变量兀变化的数据如下表^

X

0

5

10

15

20

25

30

J1

5

130

505

1130

2005

3130

4505

丿2

5

94.47

1

785.2

33

733

6・37X1

05

1.2X107

2.28X1

08

丿3

5

30

55

80

105

130

155

5

2.310

7

1.429

5

1.140

7

1.0461

1.0151

1.005

关于兀呈指数型函数变化的变量是—丄

［解析］⑴在同一坐标系中，画出J=X2,y=2x的图像如图,可知两函数在第一象限有两个交点（2,4）,（4,16）,在第二

象限有一个交点，共有3个交点.

（2）

指数型函数呈“爆炸式”增长.

化，变量为的值越来越小，但是减小的速度很慢，故变量旳关于兀不呈指数型函数变化;

而变量”，丿2，丿3的值都是越来越大，但是增长速度不同,其中变量力的增长速度最快，画出它们的图像（图略），可知变量力关于X呈指数型函数变化.

解：

由例1

（1）所画图像可知当兀>0时，使x2>2x的兀的取值范围是2

三种增函数中，当自变量充分大时，指数函数的函数值最大,但必须是自变量的值达到一定程度.因此判断一个增函数是否为指数型函数时，要比较自变量增加到一定程度时，自变量增加相同的量，函数值的增长量是否为最大，若是，则这个函数就可能是指数型函数.

恒跟踪训练

1.⑴三个变量力，畑旳随着变量兀的变化情况如下表:

X

1

3

5

7

9

11

yi

5

135

625

1715

3645

6655

yi

5

29

245

2189

19685

177149

J3

5

6.10

6.61

6.95

7.2

7.4

则关于兀分别呈对数型函数，指数型函数，幕型函数变化的变量依次为（C）

B.

A.力，畑J3

C・旳，yi，yi

yvj3

D・jp畑y2

B.y=log2X

-尸㈢

（2）当兀越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是

（D）

A・y=10000x

c—1ooo

C.y—x

解析：

（1）通过指数型函数，对数型函数，幕型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量旳随兀的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，乃随兀的变化符合此规律；幕型函数的增长速度越来越快，力随工的变化符合此规律，故选c

（2）由于指数型函数的增长是爆炸式增长,则当兀越来越大时,

gy增长速度最快.

探究点二几种增长函数模型的应用

例2）某公司为了实现1000万元利润目标，准备制定一个

激励销售人员的奖励方案：

在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金刃单位：

万元）随销售利润班单位:

万元）的增加而增加，但奖金总数不能超过5万元，同时奖金不能超过利润的25%,现有三个奖励模型:

j=0.25x,j=log7x

+1,y=1.002",其中哪个模型能符合公司要求？

［解］借助计算器或计算机作出函数y=5fy=0.25x,y=log7x

+1,j=1.002x的图像如图所示：

观察图像发现，在区间［10,1000］上模型y=0・25x,y=1.002"的图像都有一部分在j=5的上方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励才能符合公司要求，下面通过计算确认上

对于模型0.25x,它在区间［10,1000］上是单调递增的,

当xe（20,1000］时，j>5,因此该模型不符合要求.

对于模型j=1.00/,利用计算器，可知1・002806~5.005,由于丿=1・002"是增函数，故当xe（806,1000］时，j>5,因此，

也不符合题意.

对于模型j=log7x+l,它在区间［10,1000］上单调递增且当

兀=1000时，J=log7l000+1^4.55<5,所以它符合奖金总

数不超过5万元的要求.再计算按模型丿=10助兀+1奖励时，奖金是否超过利润兀的25%,即当xG[10,1000]时，利用计算器或计算机作几对=log7x+l-0.25x的图像，由图像可知心）是减函数，因此

-0.3167<0,即log7x+l<0.25x.

所以当xG[10,1000]时，丁＜0.25俎这说明，按模型log7x+1奖励不超过利润的25%・

综上所述，模型log7x+1符合公司要求.

实际问题中对几种增长模型的选择技巧

（1）指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律•

（2）对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律.

（3）幕函数增长模型介于上述两者之间，适合一般增长的变化

规律.

的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是（A）

A.指数函数：

y=i

B.对数函数：

y=logy

C.幕函数：

y=f，

D.二次函数：

j=2?

解析：

由图像可知，该函数模型应为指数函数.

易错警示

未能理解图表信息而致误

如图所不,

圆弧型声波DFE从坐标原点O点向外传

播.若D是DFE与兀轴的交点，设OD=x（OWxWa）,圆弧型声波DFE在传播过程中扫过平行四边形OABC的面积为

y（图中阴影部分），贝！

|函数尸心）的图像大致是（A）

c

D

［解析］从题目所给的背景图形中不难发现:

在声波未传到C点之前，扫过图形的面积不断增大，而且增长得越来越快.当到达C点之后且离开A点之前，因为OA//BC,所以此时扫过图形的面积呈匀速增长.当离开A点之后，扫过图形的面积会增长得越来越慢.所以函数图像刚开始应是下凹的，然后是一条上升的线段，最后是上凸的.故选A.

［错因与防范］本例易分析不细致，不考虑可增加的快慢而误选C或D,此类问题虽不用计算，但需对增加的速度大小有深刻的理解，找准匀速增加，加速增加，减速增加的分界点，分段考虑对比才能得出正确答案.

/（年）的函数关系如图所示.

以下三种说法:

1前三年产量增长的速度越来越快;

2前三年产量增长的速度越来越慢

3第三年后这种产品停止生产.

其中说法正确的序号是雲解析：

由址［0,3］的图像联想到幕函数y=xa（0

映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢.由［3,

］的图像可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以②③正确.

1.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间兀的关系，可选用（D）

B.二次函数

A.一次函数解析：

在A、B、C、D所对应的四种函数中，只有D中函数开始增长迅速后来增长越来越慢•

2•当兀越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是

（D）

A.y=100x

C.

_100丿一兀

B・y=logio（）x

D.j=100x

解析：

在A、B、C、D所给四种函数中,

只有指数函数y=

1OOX增长速度最

快.

3.如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积yin?

）与时间r（月）的关系y=a,有以下几种说法：

1这个指数函数的底数为2；

2第5个月时，浮萍面积就会超过30H?

；

3浮萍从4n?

蔓延到12n/需要经过1.5个月;

4浮萍每月增加的面积都相等.

其中正确的命题序号是①②解析：

由图像知，/=2时，j=4,所以a2=4f故a=2,①正确.

当（=5时，j=25=32>30,②正确，

当J—4时,由4=2〔知匂=2,

当y=12时，由12=2‘2知/2=log212=2+log23・ti—Zi=log23Hl・5,故③错误;

浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，④错误.

4.已测得（兀，刃的两组值为（1，2）,（2,5）,现有两个拟合模

型，甲：

J=X2+1,乙：

y=3x~l.若又测得（兀,刃的一组对应值为（3,10.2）,则选用甲作为拟合模型较好一解析：

对于甲：

兀=3时，y=32+1=10,

对于乙：

兀=3时，y=&因此用甲作为拟合模型较好.

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