数字信号处理第四版高西全课后答案.ppt

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数字信号处理第四版高西全课后答案,1.4习题与上机题解答1.用单位脉冲序列（n）及其加权和表示题1图所示的序列。

题1图,解：

x（n）=（n+4）+2（n+2）（n+1）+2（n）+（n1）+2（n2）+4（n3）+0.5（n4）+2（n6）2给定信号：

2n+54n160n40其它

（1）画出x（n）序列的波形，标上各序列值；

（2）试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x（n）序列；,（x（n）=,（3）令x1（n）=2x（n2），试画出x1（n）波形；（4）令x2（n）=2x（n+2），试画出x2（n）波形；（5）令x3（n）=x（2n），试画出x3（n）波形。

解：

（1）x（n）序列的波形如题2解图

（一）所示。

（2）x（n）=3（n+4）（n+3）+（n+2）+3（n+1）+6（n）+6（n1）+6（n2）+6（n3）+6（n4）,（3）x1（n）的波形是x（n）的波形右移2位，再乘以2，画出图形如题2解图

（二）所示。

（4）x2（n）的波形是x（n）的波形左移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。

（5）画x3（n）时，先画x（n）的波形（即将x（n）的波形以纵轴为中心翻转180），然后再右移2位，x3（n）波形如题2解图（四）所示。

题2解图

（一）,题2解图

（二）,题2解图（三）,题2解图（四）,3判断下面的序列是否是周期的;若是周期的，确定其周期。

（1）,

（2）,解：

（1）因为=,所以,这是有理数，因此是周期序列，周期T=14。

（2）因为=,所以=16,这是无理数，因此是非周期序列。

4对题1图给出的x（n）要求：

（1）画出x（n）的波形；

（2）计算xe（n）=x（n）+x（n），并画出xe（n）波形；（3）计算xo（n）=x（n）x（n），并画出xo（n）波形;（4）令x1（n）=xe（n）+xo（n）,将x1（n）与x（n）进行比较，你能得到什么结论？

解：

（1）x（n）的波形如题4解图

（一）所示。

（2）将x（n）与x（n）的波形对应相加，再除以2，得到xe（n）。

毫无疑问，这是一个偶对称序列。

xe（n）的波形如题4解图

（二）所示。

（3）画出xo（n）的波形如题4解图（三）所示。

题4解图

（一）,题4解图

（二）,题4解图（三）,（4）很容易证明：

x（n）=x1（n）=xe（n）+xo（n）上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。

偶对称序列可以用题中

（2）的公式计算，奇对称序列可以用题中（3）的公式计算。

5设系统分别用下面的差分方程描述，x（n）与y（n）分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。

（1）y（n）=x（n）+2x（n1）+3x（n2）

（2）y（n）=2x（n）+3（3）y（n）=x（nn0）n0为整常数（4）y（n）=x（n）,（5）y（n）=x2（n）（6）y（n）=x（n2）（7）y（n）=（8）y（n）=x（n）sin（n）解：

（1）令输入为x（nn0）输出为y（n）=x（nn0）+2x（nn01）+3x（nn02）y（nn0）=x（nn0）+2x（nn01）+3（nn02）=y（n）,故该系统是非时变系统。

因为y（n）=Tax1（n）+bx2（n）=ax1（n）+bx2（n）+2ax1（n1）+bx2（n1）+3ax1（n2）+bx2（n2）Tax1（n）=ax1（n）+2ax1（n1）+3ax1（n2）Tbx2（n）=bx2（n）+2bx2（n1）+3bx2（n2）所以Tax1（n）+bx2（n）=aTx1（n）+bTx2（n）故该系统是线性系统。

（2）令输入为x（nn0）输出为y（n）=2x（nn0）+3y（nn0）=2x（nn0）+3=y（n）故该系统是非时变的。

由于Tax1（n）+bx2（n）=2ax1（n）+2bx2（n）+3Tax1（n）=2ax1（n）+3Tbx2（n）=2bx2（n）+3Tax1（n）+bx2（n）aTx1（n）+bTx2（n）故该系统是非线性系统。

（3）这是一个延时器，延时器是线性非时变系统，下面证明。

令输入为x（nn1）输出为y（n）=x（nn1n0）y（nn1）=x（nn1n0）=y（n）故延时器是非时变系统。

由于Tax1（n）+bx2（n）=ax1（nn0）+bx2（nn0）=aTx1（n）+bTx2（n）故延时器是线性系统。

（4）y（n）=x（n）令输入为x（nn0）输出为y（n）=x（n+n0）y（nn0）=x（n+n0）=y（n）因此系统是线性系统。

由于Tax1（n）+bx2（n）=ax1（n）+bx2（n）=aTx1（n）+bTx2（n）因此系统是非时变系统。

（5）y（n）=x2（n）令输入为x（nn0）输出为y（n）=x2（nn0）y（nn0）=x2（nn0）=y（n）故系统是非时变系统。

由于Tax1（n）+bx2（n）=ax1（n）+bx2（n）2aTx1（n）+bTx2（n）=ax21（n）+bx22（n）因此系统是非线性系统。

（6）y（n）=x（n2）令输入为x（nn0）输出为y（n）=x（nn0）2）y（nn0）=x（nn0）2）=y（n）故系统是非时变系统。

由于Tax1（n）+bx2（n）=ax1（n2）+bx2（n2）=aTx1（n）+bTx2（n）故系统是线性系统。

（7）y（n）=x（m）令输入为x（nn0）输出为y（n）=0DD）x（m-n0）y（nn0）=x（m）y（n）故系统是时变系统。

由于Tax1（n）+bx2（n）=ax1（m）+bx2（m）=aTx1（n）+bTx2（n）故系统是线性系统。

（8）y（n）=x（n）sin（n）令输入为x（nn0）输出为y（n）=x（nn0）sin（n）y（nn0）=x（nn0）sin（nn0）y（n）故系统不是非时变系统。

由于Tax1（n）+bx2（n）=ax1（n）sin（n）+bx2（n）sin（n）=aTx1（n）+bTx2（n）故系统是线性系统。

6给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果稳定系统，并说明理由。

（1）y（n）=x（nk）

（2）y（n）=x（n）+x（n+1）（3）y（n）=x（k）（4）y（n）=x（nn0）（5）y（n）=ex（n）,解：

（1）只要N1，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。

如果|x（n）|M，则|y（n）|M，因此系统是稳定系统。

（2）该系统是非因果系统，因为n时间的输出还和n时间以后（n+1）时间）的输入有关。

如果|x（n）|M,则|y（n）|x（n）|+|x（n+1）|2M,因此系统是稳定系统。

（3）如果|x（n）|M，则|y（n）|x（k）|2n0+1|M，因此系统是稳定的；假设n00，系统是非因果的，因为输出还和x（n）的将来值有关。

（4）假设n00，系统是因果系统，因为n时刻输出只和n时刻以后的输入有关。

如果|x（n）|M,则|y（n）|M，因此系统是稳定的。

（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x（n）的未来值。

如果|x（n）|M,则|y（n）|=|ex（n）|e|x（n）|eM，因此系统是稳定的。

7设线性时不变系统的单位脉冲响应h（n）和输入序列x（n）如题7图所示，要求画出y（n）输出的波形。

解：

解法

（一）采用列表法。

y（n）=x（n）*h（n）=x（m）h（nm）,题7图,y（n）=2,1,0.5,2,1,4.5,2,1;n=2,1,0,1,2,3,4,5,解法

（二）采用解析法。

按照题7图写出x（n）和h（n）的表达式分别为x（n）=（n+2）+（n1）+2（n3）h（n）=2（n）+（n1）+（n2）由于x（n）*（n）=x（n）x（n）*A（nk）=Ax（nk）故,y（n）=x（n）*h（n）=x（n）*2（n）+（n1）+（n2）=2x（n）+x（n1）+x（n2）将x（n）的表示式代入上式，得到y（n）=2（n+2）（n+1）0.5（n）+2（n1）+（n2）+4.5（n3）+2（n4）+（n5）,8.设线性时不变系统的单位脉冲响应h（n）和输入x（n）分别有以下三种情况，分别求出输出y（n）。

（1）h（n）=R4（n）,x（n）=R5（n）

（2）h（n）=2R4（n）,x（n）=（n）（n2）（3）h（n）=0.5nu（n）,xn=R5（n）解：

（1）y（n）=x（n）*h（n）=R4（m）R5（nm）先确定求和域。

由R4（m）和R5（nm）确定y（n）对于m的非零区间如下:

0m34mn,根据非零区间，将n分成四种情况求解：

n7时，y（n）=0,最后结果为0n7n+10n38n4n7y（n）的波形如题8解图

（一）所示。

（2）y（n）=2R4（n）*（n）（n2）=2R4（n）2R4（n2）=2（n）+（n1）（n+4）（n+5）y（n）的波形如题8解图

（二）所示,y（n）=,题8解图

（一）,题8解图

（二）,（3）y（n）=x（n）*h（n）=R5（m）0.5nmu（nm）=0.5nR5（m）0.5mu（nm）y（n）对于m的非零区间为0m4,mnn0时，y（n）=00n4时，,=（10.5n1）0.5n=20.5n,n5时,最后写成统一表达式：

y（n）=（20.5n）R5（n）+310.5nu（n5）,9证明线性卷积服从交换律、结合律和分配律，即证明下面等式成立：

（1）x（n）*h（n）=h（n）*x（n）

（2）x（n）*（h1（n）*h2（n）=（x（n）*h1（n）*h2（n）（3）x（n）*（h1（n）+h2（n）=x（n）*h1（n）+x（n）*h2（n）证明：

（1）因为令m=nm,则,

（2）利用上面已证明的结果，得到,交换求和号的次序，得到,10设系统的单位脉冲响应h（n）=（3/8）0.5nu（n），系统的输入x（n）是一些观测数据，设x（n）=x0,x1,x2,xk,，试利用递推法求系统的输出y（n）。

递推时设系统初始状态为零状态。

解：

n=0时，,n0,n=1时，,n=2时，,最后得到,11设系统由下面差分方程描述：

设系统是因果的，利用递推法求系统的单位脉冲响应。

解：

令x（n）=（n）,则,n=0时，,n=1时，,n=2时，,n=3时，,归纳起来，结果为,12.设系统用一阶差分方程y（n）=ay（n1）+x（n）描述，初始条件y（-1）=0，试分析该系统是否是线性非时变系统。

解：

分析的方法是让系统输入分别为（n）、（n1）、（n）+（n1）时，求它的输出，再检查是否满足线性叠加原理和非时变性。

（1）令x（n）=（n）,这时系统的输出用y1（n）表示。

该情况在教材例1.4.1中已求出，系统的输出为y1（n）=anu（n）,

（2）令x（n）=（n1），这时系统的输出用y2（n）表示。

n=0时，,n=1时，,n=2时，,任意n时，,最后得到,（3）令x（n）=（n）+（n1）,系统的输出用y3（n）表示。

n=0时，,n=1时，,n=2时，,n=3时，,任意n时，,最后得到,由

（1）和

（2）得到y1（n）=T（n）,y2（n）=T（n1）y1（n）=y2（n1）因此可断言这是一个时不变系统。

情况（3）的输入信号是情况

（1）和情况

（2）输入信号的相加信号，因此y3（n）=T（n）+（n1）。

观察y1（n）、y2（n）、y3（n），得到y3（n）=y1（n）+y2（n），因此该系统是线性系统。

最后得到结论：

用差分方程y（n）=ay（n1）+x（n）,0a1描写的系统，当初始条件为零时，是一个线性时不变系统。

13有一连续信号xa（t）=cos（2ft+j），式中，f=20Hz,j=/2。

（1）求出xa（t）的周期；

（2）用采样间隔T=0.02s对xa（t）进行采样，试写出采样信号的表达式；（3）画出对应的时域离散信号（序列）x（n）的波形，并求出x（n）的周期。

解：

（1）xa（t）的周期为,

（2）,（3）x（n）的数字频率=0.8，故，因而周期N=5，所以x（n）=cos（0.8n+/2）画出其波形如题13解图所示。

题13解图,14.已知滑动平均滤波器的差分方程为,

（1）求出该滤波器的单位脉冲响应；

（2）如果输入信号波形如前面例1.3.4的图1.3.1所示，试求出y（n）并画出它的波形。

解：

（1）将题中差分方程中的x（n）用（n）代替，得到该滤波器的单位脉冲响应，即,

（2）已知输入信号，用卷积法求输出。

输出信号y（n）为,表1.4.1表示了用列表法解卷积的过程。

计算时，表中x（k）不动，h（k）反转后变成h（k），h（nk）则随着n的加大向右滑动，每滑动一次，将h（nk）和x（k）对应相乘，再相加和平均，得到相应的y（n）。

“滑动平均”清楚地表明了这种计算过程。

最后得到的输出波形如前面图1.3.2所示。

该图清楚地说明滑动平均滤波器可以消除信号中的快速变化，使波形变化缓慢。

15*.已知系统的差分方程和输入信号分别为,用递推法计算系统的零状态响应。

解：

求解程序ex115.m如下：

%程序ex115.m%调用filter解差分方程y（n）+0.5y（n1）=x（n）+2x（n2）xn=1，2，3，4，2，1，zeros（1，10）；%x（n）=单位脉冲序列，长度N=31B=1，0，2；A=1，0.5；%差分方程系数,yn=filter（B，A，xn）%调用filter解差分方程，求系统输出信号y（n）n=0：

length（yn）1；subplot（3，2，1）；stem（n，yn，.）；axis（1，15，2，8）title（系统的零状态响应）；xlabel（n）；ylabel（y（n）程序运行结果：

yn=1.00001.50004.25005.87505.06256.46880.76561.6172-0.80860.4043-0.20210.1011-0.05050.0253-0.01260.0063-0.00320.0016-0.00080.0004-0.00020.0001-0.00000.0000-0.00000.0000程序运行结果的y（n）波形图如题15*解图所示。

题15*解图,16*.已知两个系统的差分方程分别为

（1）y（n）=0.6y（n1）0.08y（n2）+x（n）

（2）y（n）=0.7y（n1）0.1y（n2）+2x（n）x（n2）分别求出所描述的系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应。

解：

（1）系统差分方程的系数向量为B1=1，A1=1，0.6，0.08

（2）系统差分方程的系数向量为B2=2，0，1,A2=1，0.7，0.1,2.5习题与上机题解答1设X（ej）和Y（ej）分别是x（n）和y（n）的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换：

（1）x（nn0）

（2）x*（n）（3）x（n）（4）x（n）*y（n）（5）x（n）y（n）（6）nx（n）（7）x（2n）（8）x2（n）,（9）,解：

（1）,令n=nn0,即n=n+n0，则,

（2）,（3）,令n=n，则,（4）FTx（n）*y（n）=X（ej）Y（ej）下面证明上式成立：

令k=nm,则,（5）,或者,（6）因为,对该式两边求导，得到,因此,（7）,令n=2n，则,或者,（8）,利用（5）题结果，令x（n）=y（n）,则,（9）,令n=n/2，则,2已知,求X（ej）的傅里叶反变换x（n）。

解：

3.线性时不变系统的频率响应（频率响应函数）H（ej）=|H（ej）|ej（），如果单位脉冲响应h（n）为实序列，试证明输入x（n）=Acos（0n+j）的稳态响应为,解：

假设输入信号x（n）=ej0n，系统单位脉冲响应为h（n），则系统输出为,上式说明当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位取决于网络传输函数。

利用该性质解此题：

上式中|H（ej）|是的偶函数，相位函数是的奇函数，|H（ej）|=|H（e-j）|，（）=（）,故,4设,将x（n）以4为周期进行周期延拓，形成周期序列，画出x（n）和的波形，求出的离散傅里叶级数和傅里叶变换。

解：

画出x（n）和的波形如题4解图所示。

题4解图,或者,5.设题5图所示的序列x（n）的FT用X（ej）表示，不直接求出X（ej），完成下列运算或工作：

题5图,

（1）,

（2）,（3）,（4）确定并画出傅里叶变换实部ReX（ej）的时间序列xa（n）；,（5）,（6）,解

（1）,

（2）,（3）,（4）因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分，即,按照上式画出xe（n）的波形如题5解图所示。

题5解图,（5）,（6）因为,因此,6试求如下序列的傅里叶变换：

（1）x1（n）=（n3）,

（2）,（3）x3（n）=anu（n）0a1（4）x4（n）=u（n+3）u（n4）解,

（1）,

（2）,（3）,（4）,或者:

7设：

（1）x（n）是实偶函数，

（2）x（n）是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，其x（n）的傅里叶变换性质。

解：

令,

（1）因为x（n）是实偶函数，对上式两边取共轭，得到,因此X（ej）=X*（ej）上式说明x（n）是实序列，X（ej）具有共轭对称性质。

由于x（n）是偶函数，x（n）sin是奇函数，那么,因此,该式说明X（ej）是实函数，且是的偶函数。

总结以上,x（n）是实偶函数时，对应的傅里叶变换X（ej）是实函数，是的偶函数。

（2）x（n）是实奇函数。

上面已推出，由于x（n）是实序列，X（ej）具有共轭对称性质，即X（ej）=X*（ej）,由于x（n）是奇函数，上式中x（n）cos是奇函数，那么,因此,这说明X（ej）是纯虚数，且是的奇函数。

8设x（n）=R4（n），试求x（n）的共轭对称序列xe（n）和共轭反对称序列xo（n），并分别用图表示。

解：

xe（n）和xo（n）的波形如题8解图所示。

题8解图,9已知x（n）=anu（n）,0a1，分别求出其偶函数xe（n）和奇函数xo（n）的傅里叶变换。

解：

因为xe（n）的傅里叶变换对应X（ej）的实部，xo（n）的傅里叶变换对应X（ej）的虚部乘以j，因此,10若序列h（n）是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：

HR（ej）=1+cos求序列h（n）及其傅里叶变换H（ej）。

解：

11若序列h（n）是实因果序列，h（0）=1，其傅里叶变换的虚部为HI（ej）=sin求序列h（n）及其傅里叶变换H（ej）。

解：

12设系统的单位脉冲响应h（n）=anu（n）,0a1，输入序列为x（n）=（n）+2（n2）完成下面各题：

（1）求出系统输出序列y（n）；

（2）分别求出x（n）、h（n）和y（n）的傅里叶变换。

解

（1）,

（2）,13已知xa（t）=2cos（2f0t），式中f0=100Hz，以采样频率fs=400Hz对xa（t）进行采样，得到采样信号和时域离散信号x（n），试完成下面各题：

（1）写出的傅里叶变换表示式Xa（j）；

（2）写出和x（n）的表达式；（3）分别求出的傅里叶变换和x（n）序列的傅里叶变换。

解：

上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数函数，它的傅里叶变换可以表示成：

（2）,（3）,式中,式中0=0T=0.5rad上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数函数才能写出它的傅里叶变换表示式。

14求出以下序列的Z变换及收敛域:

（1）2nu（n）

（2）2nu（n1）（3）2nu（n）（4）（n）（5）（n1）（6）2nu（n）u（n10）,解

（1）,

（2）,（3）,（4）ZT（n）=10|z|（5）ZT（n1）=z10|z|（6）,15求以下序列的Z变换及其收敛域，并在z平面上画出极零点分布图。

（1）x（n）=RN（n）N=4

（2）x（n）=Arncos（0n+j）u（n）r=0.9,0=0.5rad,j=0.25rad（3）,式中，N=4。

解

（1）,由z41=0，得零点为,由z3（z1）=0，得极点为z1,2=0,1零极点图和收敛域如题15解图（a）所示，图中,z=1处的零极点相互对消。

题15解图,

（2）,零点为,极点为,极零点分布图如题15解图（b）所示。

（3）令y（n）=R4（n）,则x（n+1）=y（n）*y（n）zX（z）=Y（z）2,X（z）=z1Y（z）2,因为,因此,极点为z1=0,z2=1零点为,在z=1处的极零点相互对消，收敛域为0|z|，极零点分布图如题15解图（c）所示。

16已知,求出对应X（z）的各种可能的序列表达式。

解：

X（z）有两个极点：

z1=0.5,z2=2，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有三种情况：

|z|0.5，0.5|z|2，2|z|。

三种收敛域对应三种不同的原序列。

（1）收敛域|z|0.5：

令,n0时，因为c内无极点，x（n）=0;n1时，c内有极点0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有z1=0.5,z2=2，那么,

（2）收敛域0.5|z|2:

n0时，c内有极点0.5，,n0时，c内有极点0.5、0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外极点只有一个，即2，x（n）=ResF（z）,2=22nu（n1）最后得到,（3）收敛域|z|2:

n0时，c内有极点0.5、2，,n0时，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x（n）=0；或者这样分析，c内有极点0.5、2、0，但0是一个n阶极点，改求c外极点留数，c外无极点，所以x（n）=0。

最后得到,17已知x（n）=anu（n）,0a1。

分别求：

（1）x（n）的Z变换；

（2）nx（n）的Z变换；（3）anu（n）的Z变换。

解：

（1）,

（2）,（3）,18已知,分别求：

（1）收敛域0.52对应的原序列x（n）。

解：

（1）收敛域0.5|z|2:

n0时，c内有极点0.5，x（n）=ResF（z）,0.5=0.5n=2nn0时，c内有极点0.5、0，但0是一个n阶极点，改求c外极点留数，c外极点只有2，x（n）=ResF（z）,2=2n,最后得到x（n）=2nu（n）+2nu（n1）=2|n|2:

n0时，c内有极点0.5、2，,n0时，c内有极点0.5、2、0，但极点0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，可是c外没有极点，因此x（n）=0最后得到x（n）=（0.5n2n）u（n）19用部分分式法求以下X（z）的反变换：

（1）,

（2）,解：

（1）,

（2）,20设确定性序列x（n）的自相关函数用下式表示：

试用x（n）的Z变换X（z）和x（n）的傅里叶变换X（ej）分别表示自相关函数的Z变换Rxx（z）和傅里叶变换Rxx（ej）。

解：

解法一,令m=n+m,则,解法二,因为x（n）是实序列，X（ej）=X*（ej），因此,21用Z变换法解下列差分方程：

（1）y（n）0.9y（n1）=0.05u（n），y（n）=0n1

（2）y（n）0.9y（n1）=0.05u（n），y

（1）=1，y（n）=0n1（3）y（n）0.8y（n1）0.15y（n2）=（n）y

（1）=0.2,y

（2）=0.5,y（n）=0,当n3时。

解：

（1）y（n）0.9y（n1）=0.05u（n），y（n）=0n1,n0时，,n0时，y（n）=0最后得到y（n）=0.5（0.9）n+1+0.5u（n）,

（2）y（n）0.9y（n1）=0.05u（n）,y

（1）=1,y（n）=0n1,n0时，,n0时，y（n）=0最后得到y（n）=0.45（0.9）n+0.5u（n）,（3）y（n）0.8y（n1）0.15y（n2）=（n）y

（1）=0.2,y

（2）=0.5,y（n）=0,当n2时Y（z）0.8z1Y（z）+y

（1）z0.15z2Y（z）+y

（1）z+y

（2）z2=1,n0时，,y（n）=4.3650.3n+6.3750.5nn0时,y（n）=0最后得到y（n）=（4.3650.3n+6.3750.5n）u（n）,22设线性时不变系统的系统函数H（z）为,

（1）在z平面上用几何法证明该系统是全通网络，即|H（ej）|=常数；

（2）参数a如何取值，才能使系统因果稳定？

画出其极零点分布及收敛域。

解