第4讲 有限差分法稳定性分析..pptx

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4.1Fourier方法（或VonNeumann方法）4.2直接方法（或矩阵方法）4.3Hirt启示法4.4能量分析法（或范数法）4.5数值算例,第四讲有限差分法稳定性分析,4.1Fourier方法（或VonNeumann方法）4.2直接方法（或矩阵方法）4.3Hirt启示法4.4能量分析法（或范数法）4.5数值算例,第四讲有限差分法稳定性分析,Fourier方法判别准则算例,4.1Fourier方法（或VonNeumann方法）,Fourier方法判别准则算例,4.1Fourier方法（或VonNeumann方法）,以一维线性平流方程初值问题,Fourier方法,（4.1.1）,的两层显式差分格式（时间向前差，空间向后差）,为例介绍该方法，其中为网格比。

（4.1.2）,Fourier方法,以一维线性平流方程初值问题,（4.1.1）,的两层显式差分格式（时间向前差，空间向后差）,为例介绍该方法，其中为网格比。

（4.1.2）,扩充离散函数定义域,差分格式,（4.1.2）,的解及初值只是在网格点上有意义。

为了应用Fourier方法，必须扩充这些函数的定义域，令,（4.1.2）式中第一个方程可以写为：

（4.1.3）,Fourier积分变换,（4.1.3）,对上式应用Fourier积分：

由此得出：

由此得出：

推广到一般形式的差分格式（限于常系数情形）：

上式中因子称为增长因子。

（4.1.2）,由此得出：

推广到一般形式的差分格式（限于常系数情形）：

上式中因子称为增长因子。

（4.1.2）,上式中因子称为增长因子（或增幅因子，放大因子等）。

令,Fourier方法,（4.1.4）,若（4.1.4）可写为,（4.1.6）,（4.1.5）,对于二层差分格式,上式中因子称为增长因子（或增幅因子，放大因子等）。

令,Fourier方法,（4.1.4）,若（4.1.4）可写为,（4.1.6）,（4.1.5）,对于二层差分格式,上式中因子称为增长因子（或增幅因子，放大因子等）。

令,Fourier方法,（4.1.4）,若（4.1.4）可写为,（4.1.6）,（4.1.5）,从物理角度，（4.1.5）式也可理解为将表示为其谐波分量的形式，其中，为振幅，为波数，为波长，。

对于二层差分格式,Fourier方法判别准则算例,4.1Fourier方法（或VonNeumann方法）,上式中因子称为增长因子（或增幅因子，放大因子等）。

令,判别准则,（4.1.4）,若（4.1.4）可写为,（4.1.6）,（4.1.5）,下面不加证明地给出用增长因子判定差分格式（4.1.4）稳定性的一系列判定定理。

对于二层差分格式,上式中因子称为增长因子（或增幅因子，放大因子等）。

令,（4.1.4）,若（4.1.4）可写为,（4.1.6）,（4.1.5）,对于二层差分格式,VonNeumann条件,VonNeumann条件,对于二层差分格式,上式中因子称为增长因子（或增幅因子，放大因子等）。

令,（4.1.4）,若（4.1.4）可写为,（4.1.6）,（4.1.5）,条件（4.1.7）称为VonNeumann条件，其重要性在于，很多情况下，这个条件也是稳定性的充分条件。

正规矩阵,设n阶方阵A，为其共轭转置矩阵，如果，则A称为正规矩阵。

对于正规矩阵A，有，即A的2-范数等于其谱半径。

设A是nn矩阵，i是其特征值，i=1，2，n。

称（A）=max|i|,i=1,2,n为A的谱半径。

即矩阵A的谱半径等于矩阵A的特征值的模的最大值；若特征值为虚数，则谱半径为实部与虚部的平方和的开方。

判别准则,定理4.2如果差分格式的增长矩阵G（k）是正规矩阵，则VonNeumann条件是差分格式稳定的必要且充分条件。

推论1当G（k）是实对称矩阵，酉矩阵，Hermite矩阵时，VonNeumann条件是差分格式稳定的必要且充分条件。

推论2当p=1时，G（k）只有一个元素，则VonNeumann条件是差分格式稳定的充要条件。

判别准则,判别准则,则VonNeumann条件是差分格式稳定的必要且充分条件。

定理4.5如果增长矩阵，其中，为网格比，并对任意给定的，下列条件之一成立：

（1）有p个不同的特征值；

（2）有p个不同的特征值；（3）,Fourier方法判别准则算例,4.1Fourier方法（或VonNeumann方法）,例4.1考虑逼近一维线性平流方程,的三个两层显式差分格式：

（2）时间向前差，空间向后差格式：

（3）时间向前差，空间中央差格式：

（2.15）,（2.16）,（2.13）,

（1）时间向前差，空间向前差格式：

（2）时间向前差，空间向后差格式：

（3）时间向前差，空间中央差格式：

（1）时间向前差，空间向前差格式：

记网格比为，首先将三个格式改写为：

（2.15）,（2.16）,（2.13）,

（2）时间向前差，空间向后差格式：

（3）时间向前差，空间中央差格式：

（1）时间向前差，空间向前差格式：

记网格比为，首先将三个格式改写为：

（2.15）,（2.16）,（2.13）,

（2）时间向前差，空间向后差格式：

（3）时间向前差，空间中央差格式：

（1）时间向前差，空间向前差格式：

令，代入各式，得：

（2）时间向前差，空间向后差格式：

（3）时间向前差，空间中央差格式：

（1）时间向前差，空间向前差格式：

消去令，整理得：

所以，各式的增长因子分别为,

（2）时间向前差，空间向后差格式：

（3）时间向前差，空间中央差格式：

（1）时间向前差，空间向前差格式：

所以，当时，有，即VonNeumann条件满足，格式是稳定的。

稳定性条件，即为,

（1）时间向前差，空间向前差格式：

所以，当时，有，即VonNeumann条件满足，格式是稳定的。

稳定性条件，即为,

（2）时间向前差，空间向后差格式：

（3）时间向前差，空间中央差格式：

当时，不管怎样选取网格比，总有，这样不满足差分格式稳定的必要条件VonNeumann条件，所以格式是不稳定的。

例4.2考虑逼近一维线性平流方程,的三层显式差分格式，蛙跳格式：

例4.2考虑逼近一维线性平流方程,的三层显式差分格式，蛙跳格式：

（2.21）,例4.2考虑逼近一维线性平流方程,的三层显式差分格式，蛙跳格式：

这是一个三层格式，讨论这种类型的差分格式的稳定性，一般先化成与其等价的二层差分方程组：

（2.21）,这是一个三层格式，讨论这种类型的差分格式的稳定性，一般先化成与其等价的二层差分方程组：

如果令，则上述方程组可以写成：

这是一个三层格式，讨论这种类型的差分格式的稳定性，一般先化成与其等价的二层差分方程组：

如果令，则上述方程组可以写成：

如果令，则上述方程组可以写成：

令，其中，代入上式并消去，得：

所以，增长矩阵为,所以，增长矩阵为,下面求增长矩阵的特征值,所以，增长矩阵为,下面求增长矩阵的特征值,增长矩阵的特征值为,所以，当时，有，因此当时，蛙跳格式满足VonNeumann条件满足。

当时，增长矩阵有两个互不相同的特征值，所以蛙跳格式是稳定的。

当时，为方便起见，取，则增长矩阵,容易计算得出,用数学归纳法可推得,由此得出,当时，为方便起见，取，则增长矩阵,容易计算得出,用数学归纳法可推得,由此得出,从而知，当时，蛙跳格式不稳定。

4.1Fourier方法（或VonNeumann方法）4.2直接方法（或矩阵方法）4.3Hirt启示法4.4能量分析法（或范数法）4.5数值算例,第四讲有限差分法稳定性分析,直接方法（或矩阵方法）,（4.2.1）,若（4.2.1）可写为,对于二层差分格式,其中，A为J阶方阵。

（2）如果A为正规方阵，则（4.2.2）也是格式稳定的充分条件,（4.2.2）,直接方法举例,考虑一维扩散方程的初边值问题,采用下列显式差分格式来逼近,（4.2.3）,采用下列显式差分格式来逼近,（4.2.3）,先把差分方程（4.2.3a）写成,（4.2.3）,采用下列显式差分格式来逼近,（4.2.4）,先把差分方程（4.2.3a）写成,（4.2.4）,其中，可以把（4.2.4）写成向量形式，即,（4.2.5）,先把差分方程（4.2.3a）写成,（4.2.4）,其中,可以表示为，I为J-1阶单位矩阵，S为,关键是求出S的特征值。

设和分别为S的特征值和特征向量。

关键是求出S的特征值。

设和分别为S的特征值和特征向量。

关键是求出S的特征值。

设和分别为S的特征值和特征向量。

S为对称矩阵，所以特征值为实数。

由Gerschgorin（盖尔）圆盘定理知：

S为对称矩阵，所以特征值为实数。

由Gerschgorin（盖尔）圆盘定理知：

其中为矩阵S的元素，所以。

设（4.2.6）的解具有形式：

则（4.2.6）第一式的特征方程为：

解为：

S为对称矩阵，所以特征值为实数。

由Gerschgorin（盖尔）圆盘定理知：

解为：

显然，,取，,则，因此（4.2.6）,的解可以表示为,显然，,取，,则，因此（6.2.6）,的解可以表示为,由，得到，再由，得到,则，,由于，有,则，,所以，,注意到，则S的特征值为,，A的特征值为,当时，,，因此格式的稳定性条件为,如果采用的是隐式差分格式,（4.2.7）,直接方法举例,考虑一维扩散方程的初边值问题,如果采用的是隐式差分格式,（4.2.7）,如果采用的是隐式差分格式,（6.2.7）,可以把（4.2.7）写成向量形式：

其中，利用前面求得的S的特征值，可以得到B的特征值,可以把（4.2.7）写成向量形式：

其中，利用前面求得的S的特征值，可以得到B的特征值,由此可知，从而有，因为B为对称矩阵，所以也为对称矩阵，因此由直接方法的两个结论知，上述隐式格式是无条件稳定的。

4.1Fourier方法（或VonNeumann方法）4.2直接方法（或矩阵方法）4.3Hirt启示法4.4能量分析法（或范数法）4.5数值算例,第四讲有限差分法稳定性分析,Hirt启示法,Hirt启示法是一种近似分析方法，主要是把差分格式在某确定点上作Taylor级数展开，把高阶误差项略去，只留最低阶的误差项。

如果差分格式是相容的，那么这样得到的新的微分方程（称之为第一微分近似或修正微分方程）与原来的微分方程相比只增加了一些含有小参数的较高阶导数的附加项。

Hirt启示法的判别准则是：

如果第一微分近似是适定的（解是存在、唯一且稳定的），那么原来微分方程的差分格式是稳定的，否则是不稳定的。

Hirt启示法的优点是可以对非线性问题进行分析，从而得到近似的稳定性条件。

Hirt启示法举例,以一维线性平流方程初值问题,的两层显式差分格式（时间向前差，空间向后差）,为例介绍该方法。

在格点处进行Taylor级数展开，有,在格点处进行Taylor级数展开，有,即,即,即,在格点处，由差分方程得到,在格点处，由差分方程得到,由平流方程可以得到,在格点处，由差分方程得到,因此,略去高阶误差项，得到第一微分近似,略去高阶误差项，得到第一微分近似,当时，方程化为原来的平流方程。

否则为抛物型方程，要有意义，必须,略去高阶误差项，得到第一微分近似,当时，方程化为原来的平流方程。

否则为抛物型方程，要有意义，必须,当时，方程化为原来的平流方程。

否则为抛物型方程，要有意义，必须,因此，第一微分近似适定的条件为,由此得出所讨论差分格式稳定的条件为,Hirt启示法举例,再分析一维线性平流方程初值问题,的两层显式差分格式（时间向前差，空间向前差）,仿照上面推导可以得到它的第一微分近似为,可以看出上式右端项二阶偏导前面的系数小于0，因此第一微分近似是不适定的，从而得出此格式是不稳定。

4.1Fourier方法（或VonNeumann方法）4.2直接方法（或矩阵方法）4.3Hirt启示法4.4能量分析法（或范数法）4.5数值算例,第四讲有限差分法稳定性分析,能量分析法（或范数法）,对于变系数问题和非线性问题，一般不能采用Fourier方法和直接法来讨论差分格式的稳定性。

而对于上述这些问题，能量不等式方法是研究差分格式稳定性的有理工具。

考虑算子形式的发展方程,（4.4.1）,和对应的二层差分格式,（4.4.2）,离散空间及其范数,引入空间：

由n维向量所构成的离散空间，定义其上的内积为,（4.4.3）,其中，为空间中任意两个元素，为对角矩阵的对角元，称为权重系数矩阵。

相应地，上的范数定义为,（4.4.4）,对于差分格式（4.4.2）的解，其内积和范数可以直接采用上述定义，只是其中的恒取为空间步长即可。

非负算子,定义4.1如果算子L满足,（4.4.5）,则称算子L为非负算子；当等号成立时，称算子L满足为零算子或广义反对称算子。

主要稳定性定理,定义4.2若当足够小，由差分格式（6.4.2）得到的解满足,（4.4.5）,则称差分格式是稳定的。

显然当或（C为常数）时，格式是稳定的。

定理4.6若为非负算子，则当时，差分格式（4.4.2）是无条件稳定的。

定理4.6若为非负算子，则当时，差分格式（4.4.2）是无条件稳定的。

证明：

用与（4.4.2）作内积，得,定理4.6若为非负算子，则当时，差分格式（4.4.2）是无条件稳定的。

由条件为非负算子，可知,证明：

用与（4.4.2）作内积，得,所以,由条件，可知，因此,所以,由条件，可知，因此,所以,由条件，可知，因此,整理得,由于，因此有,即,由稳定性的定义知当时，格式（4.4.2）是无条件稳定的，定理得证。

能量分析法举例,对于一维非线性平流方程,作如下等价形式的变形,差分之,其中。

上式两边同乘，并对j求和得,差分之,其中。

上式两边同乘，并对j求和得,在周期边界条件下，可得,即,即,即,所以格式是稳定的。

此时格式是能量守恒的。

4.1Fourier方法（或VonNeumann方法）4.2直接方法（或矩阵方法）4.3Hirt启示法4.4能量分析法（或范数法）4.5数值算例,第四讲有限差分法稳定性分析,考虑一维线性平流方程初边值问题：

设，并设初值函数为,则此初边值问题有行波解：

1.对如下显式差分格式进行数值实验：

（2）时间向前差，空间向后差格式：

（3）时间向前差，空间中央差格式：

（1）时间向前差，空间向前差格式：

将差分格式改写为易于计算的形式：

（2）时间向前差，空间向后差格式：

（3）时间向前差，空间中央差格式：

（1）时间向前差，空间向前差格式：

取，柯郎条件满足：

（1）时间向前差，空间向前差格式：

精确解：

数值解：

n=500,

（1）时间向前差，空间向前差格式：

精确解：

数值解：

n=1000,

（2）时间向前差，空间向后差格式：

精确解：

数值解：

n=2000,（3）时间向前差，空间中央差格式：

精确解：

数值解：

n=6000,2.对蛙跳格式进行数值实验：

改写为易于计算的形式：

计算初值（及第1层的值）用时间向前差，空间中央差格式来计算：

蛙跳格式：

精确解：

数值解：

n=6000,蛙跳格式：

精确解：

数值解：

n=100000,3.对如下隐式差分格式进行数值实验：

（2）时间向前差，空间向后差格式：

（3）时间向前差，空间中央差格式：

（1）时间向前差，空间向前差格式：

将差分格式改写为易于计算的形式：

（2）时间向前差，空间向后差格式：

（3）时间向前差，空间中央差格式：

（1）时间向前差，空间向前差格式：

（1）时间向前差，空间向前差格式：

由周期边界条件可知：

，上述后m个方程写为：

由周期边界条件可知：

，上述后m个方程写为：

（2）时间向前差，空间向后差格式：

由周期边界条件可知：

，上述后m个方程写为：

（3）时间向前差，空间中央差格式：

第四讲小结,介绍了分析差分格式稳定性的4个方法，Fourier方法，直接法，Hirt启示发法和能量分析法。

其中前两个格式常用来判断线性差分格式的稳定性，后两个方法可用来分析非线性差分格式的稳定性。

重点是第一种和第四种方法：

Fourier方法和能量分析法。

课外作业,1.试用Fourier方法分析如下格式的稳定性,

（1）,

（2）,课外作业,2.对于二层差分格式,若L为广义反对称算子，证明,

（1）当时，,

（2）当时，,（3）当时，,谢谢！

非线性计算不稳定:

Phillips（1959）在积分非线性正压涡度方程时发现非线性计算不稳定现象。

曾庆存（1978）提出构成计算紊乱和计算不稳定的三种机理：

（1）频散效应；

（2）能谱的非线性转移效应；（3）能量增长效应。

曾庆存、季仲贞（1981）又研究了克服非线性发展方程计算不稳定的方法，特别分析了计算稳定性与能量守恒性的密切关系，证明了时空差分意义下的格式的完全平方守恒性是格式长时间计算稳定的最好的保证。