①x1+x2<0;②x1+x2>0;③f(-x1)>f(-x2);
④f(-x1)·f(-x2)<0.
2.下列判断:
①如果一个函数的定义域关于坐标原点对称,那么这个函数为偶函数;
②对于定义域为实数集R的任何奇函数f(x)都有f(x)·f(-x)≤0;
③解析式中含自变量的偶次幂而不含常数项的函数必是偶函数;
④既是奇函数又是偶函数的函数存在且唯一.
其中正确的序号为________.
3.定义两种运算:
a⊕b=ab,a⊗b=a2+b2,则函数f(x)=
为________函数(填“奇”、“偶”或“非奇非偶”).
4.用min{a,b}表示a,b两数中的最小值,若函数f(x)=min{|x|,|x+t|}的图象关于直线x=-
对称,则t的值为________.
5.如果奇函数f(x)在区间[1,5]上是减函数,且最小值为3,那么f(x)在区间[-5,-1]上是________.(填序号)
①增函数且最小值为3;②增函数且最大值为3;③减函数且最小值为-3;④减函数且最大值为-3.
6.若f(x)是偶函数,且当x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,则f(x-1)<0的解集是________.
7.若函数f(x)=-
为区间[-1,1]上的奇函数,则它在这一区间上的最大值为____.
8.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-3,则f(-2)+f(0)=________.
9.函数f(x)=x2+2x+a,若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是________.
二、解答题
10.已知奇函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(x)在(0,+∞)上是增函数,f
(1)=0.
(1)求证:
函数f(x)在(-∞,0)上是增函数;
(2)解关于x的不等式f(x)<0.
11.已知f(x)=
,x∈(0,+∞).
(1)若b≥1,求证:
函数f(x)在(0,1)上是减函数;
(2)是否存在实数a,b.使f(x)同时满足下列二个条件:
①在(0,1)上是减函数,(1,+∞)上是增函数;②f(x)的最小值是3.若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
能力提升
12.设函数f(x)=1-
,x∈[0,+∞)
(1)用单调性的定义证明f(x)在定义域上是增函数;
(2)设g(x)=f(1+x)-f(x),判断g(x)在[0,+∞)上的单调性(不用证明),并由此说明f(x)的增长是越来越快还是越来越慢?
13.如图,有一块半径为2的半圆形纸片,计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状,它的下底AB是⊙O的直径,上底CD的端点在圆周上,设CD=2x,梯形ABCD的周长为y.
(1)求出y关于x的函数f(x)的解析式;
(2)求y的最大值,并指出相应的x值.
1.函数单调性的判定方法
(1)定义法.
(2)直接法:
运用已知的结论,直接判断函数的单调性,如一次函数,二次函数,反比例函数;还可以根据f(x),g(x)的单调性判断-f(x),
,f(x)+g(x)的单调性等.
(3)图象法:
根据函数的图象判断函数的单调性.
2.二次函数在闭区间上的最值
对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在区间[m,n]上最值问题,有以下结论:
(1)若h∈[m,n],则ymin=f(h)=k,ymax=max{f(m),f(n)},
(2)若h∉[m,n],则ymin=min{f(m),f(n)},
ymax=max{f(m),f(n)}(a<0时可仿此讨论).
3.函数奇偶性与单调性的差异.
函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的,这一点与研究函数的单调性不同,从这个意义上说,函数的单调性是函数的“局部”性质,而奇偶性是函数的“整体”性质,只是对函数定义域内的每一个值x,都有f(-x)=-f(x)[或f(-x)=f(x)],才能说f(x)是奇函数(或偶函数).
习题课
双基演练
1.(-∞,-
)
解析 由已知,令2k+1<0,解得k<-
.
2.③
解析 由
>0,知f(a)-f(b)与a-b同号,
由增函数的定义知③正确.
3.①②④
解析 ∵a+b>0,∴a>-b,b>-a.
由函数的单调性可知,f(a)>f(-b),f(b)>f(-a).
两式相加得③正确.
4.f(0),f(-
)
解析 由图象可知,当x=0时,f(x)取得最大值;
当x=-
时,f(x)取得最小值.
5.
0
解析 偶函数定义域关于原点对称,
∴a-1+2a=0.∴a=
.
∴f(x)=
x2+bx+1+b.
又∵f(x)是偶函数,∴b=0.
6.(-∞,-1)
解析 若a≥0,则
a-1>a,解得a<-2,∴a∈∅;
若a<0,则
>a,解得a<-1或a>1,∴a<-1.
综上,a∈(-∞,-1).
作业设计
1.②
解析 由已知得f(x1)=f(-x1),且-x1<0,x2<0,而函数f(x)在(-∞,0)上是增函数,因此由f(x1)0.
2.②
解析 判断①,一个函数的定义域关于坐标原点对称,是这个函数具有奇偶性的前提条件,但并非充分条件,故①错误.
判断②正确,由函数是奇函数,知f(-x)=-f(x),特别地当x=0时,f(0)=0,所以f(x)·f(-x)=-[f(x)]2≤0.
判断③,如f(x)=x2,x∈[0,1],定义域不关于坐标原点对称,即存在1∈[0,1],而-1
[0,1];又如f(x)=x2+x,x∈[-1,1],
有f(x)≠f(-x).故③错误.
判断④,由于f(x)=0,x∈[-a,a],根据确定一个函数的两要素知,a取不同的实数时,得到不同的函数.故④错误.
综上可知,只有②正确.
3.奇
解析 因为f(x)=
,f(-x)=-f(x),故f(x)为奇函数.
4.1
解析 当t>0时f(x)的图象如图所示(实线)
对称轴为x=-
,则
=
,∴t=1.
5.④
解析 当-5≤x≤-1时,1≤-x≤5,
∴f(-x)≥3,即-f(x)≥3.
从而f(x)≤-3,
又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同,
故f(x)在[-5,-1]是减函数.
6.(0,2)
解析 依题意,因为f(x)是偶函数,
所以f(x-1)<0化为f(|x-1|)<0,
又x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,所以|x-1|-1<0,
即|x-1|<1,解得07.1
解析 f(x)为[-1,1]上的奇函数,且在x=0处有定义,
所以f(0)=0,故a=0.
又f(-1)=-f
(1),所以-
=
,
故b=0,于是f(x)=-x.
函数f(x)=-x在区间[-1,1]上为减函数,
当x取区间左端点的值时,函数取得最大值1.
8.-1
解析 ∵f(-0)=-f(0),∴f(0)=0,
且f
(2)=22-3=1.
∴f(-2)=-f
(2)=-1,
∴f(-2)+f(0)=-1.
9.a>-3
解析 ∵f(x)=x2+2x+a=(x+1)2+a-1,
∴[1,+∞)为f(x)的增区间,
要使f(x)在[1,+∞)上恒有f(x)>0,则f
(1)>0,
即3+a>0,∴a>-3.
10.
(1)证明 设x1-x2>0.
∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴f(-x1)>f(-x2).
由f(x)是奇函数,
∴f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2),
∴-f(x1)>-f(x2),即f(x1)∴函数f(x)在(-∞,0)上是增函数.
(2)解 若x>0,则f(x)(1),∴x<1,∴0若x<0,则f(x)∴关于x的不等式f(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).
11.
(1)证明 设00,x1-x2<0.
又b>1,且0∵f(x1)-f(x2)=
>0,
∴f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)在(0,1)上是减函数.
(2)解 设0则f(x1)-f(x2)=
由函数f(x)在(0,1)上是减函数,知x1x2-b<0恒成立,则b≥1.
设1x∈(0,+∞)时,通过图象可知f(x)min=f
(1)=a+2=3.
故a=1.
12.解
(1)设x1>x2≥0,f(x1)-f(x2)=(1-
)-(1-
)=
.
由x1>x2≥0⇒x1-x2>0,(x1+1)(x2+1)>0,
得f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
所以f(x)在定义域上是增函数.
(2)g(x)=f(x+1)-f(x)=
,
g(x)在[0,+∞)上是减函数,自变量每增加1,f(x)的增加值越来越小,所以f(x)的增长是越来越慢.
13.解
(1)作OH,DN分别垂直DC,AB交于H,N,
连结OD.
由圆的性质,H是中点,设OH=h,
h=
=
.
又在直角△AND中,AD=
=
=
=2
,
所以y=f(x)=AB+2AD+DC=4+2x+4
,其定义域是(0,2).
(2)令t=
,则t∈(0,
),且x=2-t2,
所以y=4+2·(2-t2)+4t=-2(t-1)2+10,
当t=1,即x=1时,y的最大值是10.