07b19be60ba1284ac850ad02de80d4d8d15a01d6.docx
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山东省冬季普通高中学业水平合格性考试仿真模拟数学试题及参考答案
山东省2021年冬季普通高中学业水平合格性考试仿真模拟数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．命题“
，
”的否定形式是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
3．已知四边形ABCD的两条对角线分别为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．设
，则z的共轭复数的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知
，
，若
，则
与
夹角的大小为（ ）
A．30°B．60°
C．120°D．150°
6．函数
的值域是（ ）.
A．
B．
C．
D．
7．函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数
，则
（ ）
A．
B．0C．1D．2
9．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个白球与都是红球B．恰好有一个白球与都是红球
C．至少有一个白球与都是白球D．至少有一个白球与至少一个红球
10．一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为
的样本，如果样本按比例分配，男运动员抽取的人数为16人，则
为（ ）
A．16B．20C．24D．28
11．将函数
的图象向左平移
个单位后，所得图象对应的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．设
，
，
，则
，
，
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．设
，
是两条不同的直线，
是两个不同的平而，下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
14．函数
的最小正周期是（ ）
A．
B．
C．
D．
15．下列说法正确的是（ ）
A．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
B．圆锥用平行于底面的平面截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台
C．圆锥、圆台的底面都是圆，母线都与底面垂直
D．位于上方的面是棱台的上底面，位于下方的面是棱台的下底面
16．长方体的长，宽，高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A．14πB．28πC．42πD．56π
17．已知向量
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
18．某人从出发点
向正东走
后到
，然后向左转150°再向前走
到
，测得
的面积为
，此人这时离出发点的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
19．函数
的零点所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
20．设函数
，则函数
的零点个数为（ ）
A．
个B．
个C．
个D．
个
二、填空题
21．已知
，求函数
的最小值是______．
22．在锐角
中，
，则角A的大小为___________.
23．已知函数
，在区间
上不单调，则实数
的取值范围是___________．
24．在三棱锥
中，若平面
平面
，
且
.则直线
与平面
所成角的大小为_____________.
25．一张方桌有四个座位，
先坐在如图所示的座位上，
，
，
三人随机坐到其他三个位置上，则
与
相邻的概率为___________.
三、解答题
26．已知函数
，
（1）判断并用定义证明
的单调性；
（2）求
的值域.
27．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，E，F分别是PB，AC的中点．
（1）证明：
平面
；
（2）求三棱锥
的体积．
28．某工厂对200个电子元件的使用寿命进行检查，按照使用寿命（单位：
h），可以把这批电子元件分成第一组
，第二组
，第三组
，第四组
，第五组
，第六组
.由于工作中不慎将部分数据丢失，现有以下部分图表：
使用
寿命
频数
30
20
频率
0.2
0.4
（1）求图2中A的值；
（2）补全图2频率分布直方图，并求图2中阴影部分的面积；
（3）为了某次展销会，用分层抽样的方法在寿命位于
内的产品中抽取5个作为样本，那么在
内应抽取多少个？
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
直接计算交集得到答案.
【详解】
因为
，
，所以
，
故选：
B.
2．B
【解析】
【分析】
全称命题的否定是特称命题
【详解】
“任意”改为“存在”，否定结论即可.
对“
，
”的否定形式是“
，
”.
故选：
B
3．A
【解析】
【分析】
根据充分、必要条件的定义对命题进行判断即可.
【详解】
若四边形ABCD为菱形，则
；
反之，若
，则四边形ABCD不一定是菱形．
故为充分不必要条件.
故选：
A．
4．C
【解析】
【分析】
先对复数
化简，从而可求出其共轭复数，进而可求出其虚部
【详解】
因为
，
所以
，
所以
的虚部为
，
故选：
C
5．C
【解析】
【分析】
根据向量夹角公式直接计算即可.
【详解】
解：
因为
，
，
所以
因为
，
所以
.
故选：
C
6．B
【解析】
【分析】
判断
在
上的单调性，确定
的最大值和最小值，从而确定值域；
【详解】
在
上单调递增，在
上单调递减
在
上单调递增，在
上单调递减
当
时
取最大值
且
当
时
取最大值
函数
的值域是
故选：
B
7．B
【解析】
【分析】
由根式内部的代数式大于等于0及分母不等于0，列出不等式，即可求解.
【详解】
要使函数
有意义，则
，解得
.
所以函数
的定义域为
.
故选：
B.
8．B
【解析】
【分析】
带入数据计算得到
，再计算得到答案.
【详解】
，故
，
.
故选：
B.
9．B
【解析】
【分析】
列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.
【详解】
解：
对于A，事件：
“至少有一个白球”与事件：
“都是红球”不能同时发生，但是对立，故A错误；
对于B，事件：
“恰好有一个白球”与事件：
“都是红球”不能同时发生，但从口袋内任取两个球时还有可能是两个都是白球，
所以两个事件互斥而不对立，故B正确；
对于C，事件：
“至少有一个白球”与事件：
“都是白球”可以同时发生，所以这两个事件不是互斥的，故C错误；
对于D，事件：
“至少有一个白球”与事件：
“至少一个红球”可以同时发生，即“一个白球，一个红球”，所以这两个事件不是互斥的，故D错误.
故选：
B.
10．D
【解析】
【分析】
根据分层抽样的知识列方程，由此求得
的值.
【详解】
依题意
.
故选：
D
11．C
【解析】
【分析】
根据函数平移的原则即可求出.
【详解】
将函数
的图象向左平移
个单位后，可得
.
故选：
C.
12．B
【解析】
【分析】
利用指数、对数函数的性质判断指对数式的大小.
【详解】
，即
.
故选：
B
13．C
【解析】
【分析】
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案．
【详解】
解：
对于A，若
，则
相交或平行，故A错误；
对于B，若
，则
或
，故B错误；
对于C，若
，则
，故C正确；
对于D，若
，则
，故D错误.
故选：
C.
14．B
【解析】
【分析】
根据三角函数最小正周期的计算方法，即可求解.
【详解】
由题意，函数
，
根据正弦型函数的周期的计算方法，可得
最小正周期为
.
故选：
B.
15．B
【解析】
【分析】
根据圆锥、圆台和棱台的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】
根据圆台母线的定义知，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以A错误；
根据圆台的定义，可得圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台，所以B正确；
由圆锥、圆台的母线都不与底面垂直，所以C错误；
由棱台的两个底面相似，其中较小的面叫做上底面，较大的面叫做下底面，所以D错误．
故选：
B.
16．A
【解析】
【分析】
先求出长方体的外接球半径，进一步求出球的表面积．
【详解】
长方体的长，宽，高分别为3，2，1，设外接球的半径为
，则
，
解得
，
所以
．
故选：
．
17．A
【解析】
【分析】
先求出
的坐标，然后由
，可得
，从而可求出
的值
【详解】
因为
，
，
所以
，
因为
，所以
，
解得
，
故选：
A
18．D
【解析】
【分析】
由题意可得
，再由
的面积为
，求出
的长，然后利用余弦定理求出
即可
【详解】
如图，由题意可得
，
因为
的面积为
，
，
，
所以
，解得
，
由余弦定理得
，
所以
，
故选：
D
19．C
【解析】
【分析】
结合
的单调性以及零点存在性定理求得正确选项.
【详解】
在
上递增，
，
，
，所以
的唯一零点在区间
.
故选：
C
20．B
【解析】
【分析】
由已知函数
的解析式作出图象，把函数
的零点转化为函数
与
的交点得答案．
【详解】
由函数解析式
由图可知，函数
的零点的个数为2个．
故选：
．
21．2
【解析】
【分析】
由
，得
，利用基本不等式即可得出答案.
【详解】
解：
因为
，所以
，
则
，
当且仅当
，即
时，取等号.
故答案为：
2.
22．
【解析】
【分析】
利用余弦定理表示出
，把已知等式代入求出
的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数.
【详解】
解：
由
，得
，
由余弦定理：
，
又因为A为锐角三角形的内角，
所以
，
故答案为：
.
23．
【解析】
【分析】
由二次函数的单调性求解.
【详解】
函数
对称轴为
，
因为函数在区间
上不单调，
所以
，
解得
，
所以实数
的取值范围是
，
故答案为：
24．
；
【解析】
【分析】
过
作
，交
于
，推导出
是
中点，且
平面
，从而直线
与平面
所成角为
，由此能求出直线
与平面
所成角的大小．
【详解】
过
作
，交
于
，
∵在三棱锥
中，平面
平面
，
且
，
∴
为等腰直角三角形，
是
中点，且
平面
，
∴直线
与平面
所成角为
，
∵在等腰直角三角形
中
，
∴直线
与平面
所成角的大小为
．
故答案为：
．
【点睛】
本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
25．
【解析】
【分析】
先计算
，
，
三人随机坐到其他三个位置上的所有情况，再计算“
与
不相邻”的情况，利用古典概型的概率公式，即得解
【详解】
，
，
三人随机坐到其他三个位置上，共有
种等可能情况，
要使
与
不相邻，则
必坐在
的对面，此时
与
的坐法共有2种情况，
所以根据古典概型求概率公式可知
与
相邻的概率为
.
故答案为：
26．
（1）增函数，证明见解析；
（2）
.
【解析】
【分析】
（1）定义法证明函数单调性步骤：
取点、作差、判号；
（2）结合第一问求得的函数的单调性求解函数的值域.
【详解】
（1）
为增函数，证明如下：
，
，
因为
，
可得：
所以
在
上为增函数.
（2）由第一问可知该函数在
上为增函数，则当
，
有最小值，当
，
有最大值.
因为
，
，所以函数
值域为
.
27．
（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】
（1）利用中位线定理即可证明
，从而得出
平面
；
（2）计算
到平面
的距离和三角形
的面积，代入棱锥的体积公式计算．
（1）
证明：
四边形
是正方形，
是
的中点，
，
，
三点共线，且
是
的中点，
又
是
的中点，
，
又
平面
，
平面
，
平面
．
（2）
解：
平面
，
是
的中点，
到平面
的距离为
，
四边形
是正方形，
，
，
三棱锥
的体积为：
．
28．
（1）
（2）频率分布直方图答案见解析，阴影部分的面积为
（3）
【解析】
【分析】
（1）根据题意得到
，解得答案.
（2）补全表格，画出频率分布直方图并计算面积得到答案.
（3）根据分层抽样的比例关系得到答案.
（1）
由题意可知
，所以
.
（2）
使用
寿命
频数
20
30
40
80
20
10
频率
0.1
0.15
0.2
0.4
0.1
0.05
补全后的频率分布直方图如图所示，
阴影部分的面积为
.
（3）
由分层抽样的性质，知在
内应抽取
.
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