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北京市丰台区届高考一模数学理试题含答案

丰台区2018年高三年级第二学期综合练习

（一）

数学（理科）

2018.03

（本试卷满分共150分，考试时间120分钟）

注意事项：

1.答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。

2.本次考试所有答题均在答题卡上完成。

选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。

非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。

3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。

4．请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集U={xIx<5}，集合

，则

（A）

（B）

（C）

（D）

（2）已知命题p：

x<1，

，则

为

（A）

x≥1,

（B）

x<1,

（C）

x<1,

（D）

x≥1,

（3）设不等式组

表示的平面区域为

.则

（A）原点O在

内

（B）

的面积是1

（C）

内的点到y轴的距离有最大值

（D）若点P（x0,y0）

，则x0+y0≠0

（4）执行如图所示的程序框图，如果输出的a=2，

那么判断框中填入的条件可以是

（A）n≥5（B）n≥6（C）n≥7（D）n≥8

（5）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

（

为参数）．若以射线Ox为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为

（A）

=sin

（B）

=2sin

（C）

=cos

（D）

=2cos

（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

（A）

（B）

（C）2（D）

（7）某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为

（A）4（B）8（C）12（D）24

（8）设函数

若函数

恰有三个零点x1,x2,x3（x1

（A）

（B）

（C）

（D）

第二部分〔非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长

都为1,点A,B对应的复数分别是

，则

.

（10）已知数列

的前n项和

=n2+n，则a3+a4＝.

（11）己知抛物线M的开口向下，其焦点是双曲线

的一个焦点，则M的标准方程为.

（12）在△ABC中，a=2,c=4，且3sinA=2sinB,则cosC=.

（13）函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f（x）的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）.

1当

时，y的取值范围是;

②如果对任意

（b<0），都有

，那么b的最大值是.

（14）已知C是平面ABD上一点，AB⊥AD,CB=CD=1.

①若

=3

，则

=;

2

=

+

，则

的最小值为.

三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

己知函数

（Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期；

（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间．

（16）（本小题共14分）

如图，在四棱锥P一ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,AB⊥BC,AD//BC,AD=3,PA=BC=2AB=2,

PB＝

．

（Ⅰ）求证：

BC⊥PB;

（Ⅱ）求二面角P一CD一A的余弦值；

（Ⅲ）若点E在棱PA上，且BE//平面PCD，求线段BE的长．

（17）（本小题共13分）

某地区工会利用“健步行APP”开展健步走积分奖励活动．会员每天走5千步可获积分30分（不足5千步不积分），每多走2千步再积20分（不足2千步不积分）．记年龄不超过40岁的会员为A类会员，年龄大于40岁的会员为B类会员．为了解会员的健步走情况，工会从A,B两类会员中各随机抽取m名会员，统计了某天他们健步走的步数，并将样本数据分为［3,5）,[5,7）,[7,9）,[9,11）,[11,13）,[13,15）,[15,17）,[17,19）,[19,21」九组，将抽取的A类会员的样本数据绘制成频率分布直方图，B类会员的样本数据绘制成频率分布表（如下所示）.

（Ⅰ）求m和a的值；

（Ⅱ）从该地区A类会员中随机抽取3名，设这3名会员中健步走的步数在13千步以上（含13千步）的人数为x，求x的分布列和数学期望；

（Ⅲ）设该地区A类会员和B类会员的平均积分分别为

和

，试比较

和

的大小（只需写出结论）.

（18）（本小题共13分）

已知函数

.

（Ⅰ）求曲线

在点

处的切线方程；

（Ⅱ）若函数

在

上有极值，求a的取值范围．

（19）（本小题共14分）

已知点

在椭圆C:

上，

是椭圆的一个焦点.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）椭圆C上不与P点重合的两点D,E关于原点O对称，直线PD，PE分别交y轴于M,N两点，求证：

以MN为直径的圆被直线

截得的弦长是定值.

（20）（本小题共13分）

已知无穷数列

的前n项和为

，记

，

，…，

中奇数的个数为

．

（Ⅰ）若

=n，请写出数列

的前5项；

（Ⅱ）求证：

"

为奇数，

（i=2,3,4,...）为偶数”是“数列

是单调递增数列”的充分不必要条件；

（Ⅲ）若

，i=1,2,3,…，求数列

的通项公式.

丰台区2018年高三年级第二学期综合练习

（一）

数学（理科）

2018.03

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

题号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

答案

C

C

D

C

D

A

B

A

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）

（10）

（11）

（12）

（13）

；

（14）

；

注：

第13、14题，第一空3分，第二空2分．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

（15）（本小题共13分）

解：

（Ⅰ）由

得，

，

，

所以

的定义域为

．……………………2分

因为

……………………4分

．……………………6分

所以

的最小正周期为

．……………………8分

（Ⅱ）由

，……………………10分

可得

，……………………11分

所以

的单调递减区间为

，

．………………13分

（16）（本小题共14分）

（Ⅰ）证明：

因为平面

⊥平面

，

且

平面

平面

，

因为

⊥

，且

平面

所以

⊥平面

．……………………3分

因为

平面

，

所以

⊥

．……………………4分

（Ⅱ）解：

在△

中，因为

，

，

，

所以

，所以

⊥

．……………………5分

所以，建立空间直角坐标系

，如图所示．

所以

，

，

，

，

，

，

．

易知平面

的一个法向量为

．……………………6分

设平面

的一个法向量为

，

则

，即

，

令

，则

．……………………8分

设二面角

的平面角为

，可知

为锐角，

则

，

即二面角

的余弦值为

．…………………10分

（Ⅲ）解：

因为点

在棱

，所以

，

．……………………11分

因为

，

所以

，

．……………………12分

又因为

平面

，

为平面

的一个法向量，

所以

，即

，所以

．…………………13分

所以

，所以

．……………………14分

（17）（本小题共13分）

解：

（Ⅰ）因为

，所以

．……………………2分

因为

，所以

，所以

．……………………4分

所以

，

．

（Ⅱ）由频率分布直方图可得，从该地区A类会员中随机抽取1名会员，健步走的步数在13千步以上（含13千步）的概率为

．………………5分

所以

，

；

；

；

．………………7分

所以，

的分布列为

0

1

2

3

……………………８分

.…………………10分

（Ⅲ）

．……………………13分

（18）（本小题共13分）

解：

函数

的定义域为

，

．……………………1分

（Ⅰ）因为

，

，……………………3分

所以曲线

在点

处的切线方程为

，

即

．……………………5分

（Ⅱ）

．

（ⅰ）当

时，对于任意

，都有

，…………………6分

所以函数

在

上为增函数，没有极值，不合题意．………………8分

（ⅱ）当

时，令

，则

．……………………9分

所以

在

上单调递增，即

在

上单调递增，…………………10分

所以函数

在

上有极值，等价于

……………………12分

所以

所以

．

所以

的取值范围是

．……………………13分

（19）（本小题共14分）

解：

（Ⅰ）依题意，椭圆的另一个焦点为

，且

．………………1分

因为

，

所以

，

，……………………3分

所以椭圆

的方程为

．…………………4分

（Ⅱ）证明：

由题意可知

，

两点与点

不重合．

因为

，

两点关于原点对称，

所以设

，

，

．……………………5分

设以

为直径的圆与直线

交于

两点，

所以

．……………………6分

直线

：

．

当

时，

，所以

．…………………7分

直线

：

．

当

时，

，所以

．……………………8分

所以

，

，……………………9分

因为

，所以

，……………………10分

所以

．…………………11分

因为

，即

，

，………………12分

所以

，所以

．……………………13分

所以

，

，所以

．

所以以

为直径的圆被直线

截得的弦长是定值

．………………14分

（20）（本小题共13分）

（Ⅰ）解：

，

，

，

，

．……………………3分

（Ⅱ）证明：

（充分性）

因为

为奇数，

为偶数，

所以，对于任意

，

都为奇数．……………………4分

所以

．……………………5分

所以数列

是单调递增数列．……………………6分

（不必要性）

当数列

中只有

是奇数，其余项都是偶数时，

为偶数，

均为奇数，

所以

，数列

是单调递增数列．……………………7分

所以“

为奇数，

为偶数”不是“数列

是单调递增数列”的必要条件；……………………8分

综上所述，“

为奇数，

为偶数”是“数列

是单调递增数列”的充分不必要条件．

（Ⅲ）解：

（1）当

为奇数时，

如果

为偶数，

若

为奇数，则

为奇数，所以

为偶数，与

矛盾；

若

为偶数，则

为偶数，所以

为奇数，与

矛盾．

所以当

为奇数时，

不能为偶数．……………………9分

（2）当

为偶数时，

如果

为奇数，

若

为奇数，则

为偶数，所以

为偶数，与

矛盾；

若

为偶数，则

为奇数，所以

为奇数，与

矛盾．

所以当

为偶数时，

不能为奇数．……………………10分

综上可得

与

同奇偶．

所以

为偶数．

因为

为偶数，所以

为偶数．……………………11分

因为

为偶数，且

，所以

．

因为

，且

，所以

．……………………12分

以此类推，可得

．……………………13分