环由静止释放,设在运动过程中金属环所带电荷量不变.
(1)试定性说明金属环沿杆的运动情况;
(2)求金属环运动的最大加速度的大小;
(3)求金属环运动的最大速度的大小.
随着速度的增大,
解:
(1)金属环在电场力和摩擦力的共同作用下由静止开始做加速运动.
合外力减小.所以金属环将做一个
洛伦兹力从零逐渐增大,金属环所受的摩擦力逐渐变大,
加速度逐渐减小的加速运动,达到最大速度Vmax后做匀速运动.
(2)开始时金属环速度为零,所受的摩擦力为最小,此时
金属环所受的合外力最大,根据牛顿第二定律qEmgmamax,得金属环的最大加
速度amax
qEmgm
(3)当摩擦力fqE时,金属环所受的合外力为零,金属环达到最大速度Vmax,则此
时所受的洛伦兹力为q洛BqVmax,方向垂直纸面向外.因此,杆对金属环的弹力为
N(mg)2(BqVmax)2,当金属环达到最大速度时有(mg)2(BqVmax)2qE,
解得Vmax
(qE/)2(mg)2
Bq
2.如图所示,长L=O.80m,电阻r=0.30Q,质量m=0.10kg的金属棒CD垂直放在水平导轨上,导轨由两条平行金属杆组成,已知金属杆表面光滑且电阻不计,导轨间距也是L,
金属棒与导轨接触良好,量程为0〜3.0A的电流表串联接在一条导轨上,在导轨左端接有
阻值R=0.50Q的电阻,量程为0〜1.0V的电压表接在电阻R两端,垂直于导轨平面的匀强磁场向下穿过导轨平面.现以向右恒定的外力F=1.6N使金属棒向右运动,当金属棒以最大速度在导轨平面上匀速滑动时,观察到电路中的一个电表正好满偏,而另一个电表未满偏.
(1)试通过计算判断此满偏的电表是哪个表;
(2)求磁感应强度的大小;
(3)在金属棒CD达到最大速度后,撤去水平拉力F,求此后电阻
消耗的电能.
(1)电压表
(2)1.0T
(3)0.125J(提示:
达到最大速度时外力F与安培力平衡,由F
R5
度vm=2m/s,撤去拉力后,动能全都转化为电能,R消耗的电能是总电能的厂8。
3.如图所示,为某一装置的俯视图,PQMN为竖直放置的很长
的平行金属薄板,两板间有匀强磁场,它的磁感应强度大小为B,方
向竖直向下,金属棒AB搁置在两板上缘,并与两板垂直良好接触,现有质量为m、带电量大小为q,其重力不计的粒子,以初速度vo水
平射入两板间.问:
-
K.W
耳
Lv
-H
二
(1)金属棒AB应朝什么方向、以多大的速度运动,可以使带电粒子做匀速运动?
(2)若金属棒运动突然停止,带电粒子在磁场中继续运动,从这刻开始位移第一次达到mvo/(qB)时的时间间隔是多少?
(磁场足够大)
解:
(1)棒AB向左运动.以正电荷为例:
向垂直指向板PQ,据右手定则可知棒AB
Eqqv0B,EBlv,则v
受洛伦兹力方向,垂直指向板向左运动.
MN,则电场方
Vo。
2
V
(2)qvBm,带电粒子运动半径
R
IB。
当位移大小第一次
达到空°时,如图所示带电粒子转过的圆心角为600,其运动时间tT,则
qB6
qvBm4;r。
T2
故带电粒子运动周期
2m、一「、m
,运动时间t
qB3qB
4.如图所示,在竖直平面内建立xOy直角坐标系,Oy表示竖直向上的方向.已知该平
面内存在沿x轴负方向的区域足够大的匀强电场,现有一个带电量为2.5X10-4c的小球从坐标原点O沿y轴正方向以0.kg•m/s的初动量竖直向上抛出,它到达的最高点位置为图中的
Q点,不计空气阻力,g取10m/s2.
(1)指出小球带何种电荷;
(2)求匀强电场的电场强度大小;
(3)求小球从O点抛出到落回z轴的过程中电势能的改变量.解:
(1)小球带负电.
(2)小球在
的坐标为(1.6,
y方向上做竖直上抛运动,在
3.2),则v02
x方向做初速度为零的匀加速运动,最高点Q
2gy8m/s,pmvo,m0.05kg
又x1at
2
-gt2,Eiio3n/c。
2
(3)由y-gt2可解得上升阶段时间为t0.8s,所以全过程时间为t
2
2t1.6s。
由于电场力做正功,所以电势能减少,设减少量为△E,代入数据得△E=qEx=1.6J.
5•在电场强度为E的匀强电场中,有一条与电场线平行的几何线,如图中虚线所示,几何线上有两个静止的小球A和B(均可看做质点),两小球的质量均为m,A球带电荷
量+Q,B球不带电,开始时两球相距L,在电场力的作用下,A球开始沿直线运动,并与B
球发生对碰撞,碰撞中A、B两球的总动能无损失,设在各次碰撞过程中,A、B两球间无电量转移,且不考虑重力及两球间的万有引力,问:
(1)A球经过多长时间与B球发生第一次碰撞?
(2)第一次碰撞后,AB两球的速度各为多大?
(3)试问在以后A、B两球有再次不断地碰撞的时间吗?
如果相等,请计算该时间间隔T,如果不相等,请说明理由.
解:
(1)A球在电场力的作用下做匀加速直线运动,则
QE,l爲2
m2
.解之得
2mL
QE.
(2)A球与B球碰撞,动量守恒,则mvA
mvA
mvB
根据题意,总能量不损失,则lmvA2mvA2
2
2
mvB
联立解得Va0,VbVa
2QEL
(3)取B球为参考系,A、B碰撞后,A球以Va向左做匀减速直线运动,经时间
t后,速
度减为零,同时与B球相距L,然后A球向右做匀加速直线运动,又经过时间t后,速度增
为Va,与B球发生第二次碰撞,同理可证,每次总能量无损失的碰撞均为互换速度,则以
后第三、四次碰撞情况可看成与第一、二次碰撞的情况重复,以此类推可知
A、B两球不断
1
碰撞的时间间隔相等,均为甸=2「簷
6.一电阻为R的金属圆环,放在匀强磁场中,磁场与圆环所在平面垂直,如图⑻所示,已知通过圆环的磁通量随时间的变化关系如图(b)所示,图中的最大磁
通量0和变化周期T都是已知量,求:
!
\/i
|\
/I
1
/1a\
i
1\
f-i\
/i
tii1.
-J*
(1)在t=0到t=T/4的时间内,通过金属圆环横截面的电荷量⑵在t=0到t=2T的时间内,金属环所产生的电热Q.
解:
(1)由磁通量随时间变化的图线可知在t=0至Ut=T/4
时间内,环中的感应电动势为
Ei
在以上时段内,环中的电流为
t
Ii
,则在这段时间内通过金属环某横截面
R
的电量q屮,联立求解得q
(2)在t=T/4到t=T/2和在
t=3T/4
t=T
时间内,环中的感应电动势
Ei=0;在t=T/2到
t=3T/4时间内,
环中的感应电动
由欧姆定律可知在以上时段内,
环中的电流为
I3红。
在
TR
2
t=0到t=2T时间内金属环所产生的电热为Q2(11Rt3
2
I3Rt3)。
联立求解得
2
Q=16-0-
RT
7.如图所示,在直角坐系中的第I象限中存在沿y轴负方向的匀强电场,在第W象限
中存在垂直纸面的匀强磁场,一质量为m、带电量为q的粒子(不计重力)在y轴上的A(0,3)
P点(4.5,0)
以平行x轴的初速度V0=120m/s射入电场区,然后从电场区进入磁场区,又从磁场区进入电场区,并通过x轴上
和Q点(8,0)各一次.已知该粒子的荷质比为
108C/kg,
求磁感应强度的大小与方向?
解:
(1)若先运动到P再运动到Q.则
L
y
V。
1.2
2at,
vyat160m/s,贝yv=200m/s,tan
由几何关系得r
^PQ
2sin
35m。
16
2
v
由qvBm得
R
32B
35
106t
0.91
6
10T,方向垂直纸面向里.
(2)若先运动到Q再运动到
P,
如2,
vyat90m/s,tan
35m.
12
18
B106T0.51
35
&如图甲所示,由均匀电阻丝做成的正方形线框将线框以与ab垂直的速度v匀速穿过一宽度为21、过程中ab、cd两边始终保持与边界平行,令线框的
106T,
垂直底面向外
abed的电阻为R,ab=bc=cd=da=l,现
磁感应强度为B的匀强磁场区域,整个
cd边刚与磁场左边界重合时t=0,电流
沿abcda流动的方向为正.
(1)求此过程中线框产生的焦耳热;
⑵在图乙中画出线框中感应电流随时间变化的图象;
(3)在图丙中画出线框中a、b两点间电势差Uab随时间t变化的图象.
闪
解:
(1)ab或cd切割磁感线所产生的感应电动势为
EBlv,对应的感应电流为
E,ab或cd所受的安培FBIl
RR
2,2
Blv
•外力所做的功为
W=2Fl
由能的转化和守恒定律可知,线框匀速拉出过程中所产生的焦耳热应与外力所做的功相等,
即Q=W=2
Blv
(2)今I0,画出的图象分为三段,如图所示:
R
l..
t=0〜,1I0;
v
tl2l.
t=〜,i
vv
2l3l.
t=〜,i
vv
l
E
R
E
Blv
u。
t=0〜,Uab
—
—
—
v
R
4
4
4
4
(3)今Uo=Blv,画出的图象分为三段,如图所示:
t=〜v
Uab
v
Blv
U0;
2lt=-
v
3l
,Uab
v
E
3R
3E
3Blv
3U0
R
4
4
4
4
9•如图甲所示,水平放置的上、下两平行金属板,板长约为0.5m,板间电压u随时间
t呈正弦规律变化,函数图象如图乙所示•竖直虚线MN为两金属板右边缘的连线,MN的
右边为垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B,现在带正电的粒子连续不断的以速度
v°=2X105m/s沿两板间的中线00从O点平行金属板射入电场中.已知带电粒子的荷质比
为q108C/kg,粒子的重力和粒子间的相互作用力均忽略不计.
m
(1)设t=0.1s时刻射入电场的带电粒子恰能从平行金属板右边缘射出电场,进入磁场.求
该带电粒子射出电场时速度的大小?
⑵对于t=0.3s时刻射入电场的粒子,设其射入磁场的入射点和从磁场射出的出射点的
间距为d,试用题中所给物理量的符号(vo、mq、B)表示d.
解:
(1)由于粒子速度很大,可以认为粒子在匀强电场u中做匀加速运动,由动能定理得
Um
1212
mvmv0
22
解得v3105m/s.
2
(2)如图所示,设圆周运动的半径为
v
r,粒子在磁场中运动的速度为v。
由qvBm得
r
rmv,d2rcos,v的水平分量与V0相等,则vcosv0,d2Bq
mv。
。
Bq
10.如图所示,在xOy平面内的第川象限中有沿一y方向的匀强电
场,场强大小为E.在第I和第II象限有匀强磁场,方向垂直于坐标平面向里.有一个质量为m,电荷量为e的电子,从y轴的P点以初速度V0垂直于电场方向进入电场(不计电子所受重力),经电场偏转后,沿着与x轴负方向成45°角进入磁场,并能返回到原出发点P.
(1)简要说明电子的运动情况,并画出电子运动轨迹的示意图;
(2)求P点距坐标原点的距离;
(3)电子从P点出发经多长时间再次返回
E
f1
P点?
解:
(1)轨迹如图中虚线所示•设0P
S,在电场中偏转450,
说明在M点进入磁场时的速度是.2v0,
由动能定理知电场力做功
1v
Eesmv0,得s01,由OMv0t,可知OM2s.
22
E
由对
称性,从N点射出磁场时速度与x轴也成450,又恰好能回到
P点,
因此ONs.可知在
磁场中做圆周运动的半径R1.5-2s;
(3)在第川象限的平抛运动时间为t1
⑵s
2eE
2s
mv0
v
eE
2
,在第
IV象限直线运动的时间为
v2smv。
t32v0茨,
32R厂
在第I、n象限运动的时间是t24,R.232mv0
因此tt1t2t3
3mv0
(43任
,所以t2
9mv0
8eE
V2v024eE
11.如图所示,坐标系直于纸面向外的匀强磁场,x轴正方向的匀强电场,场强的大小为中的x轴上的A点,沿着与水平方向成
状态,由题设条件知sin300
业,所以小球的运动速率为v生。
BqvB
(2)小球在x<0的区域做匀速圆周运动,则小球的重力与所受的电场力平衡,洛伦兹力提
供做圆周运动的向心力.则mgqE,又tan300=史
mg
所以E,3E,方向竖直向上.
(3)如图所示,连接BC,过B作AB的垂线交x轴于0.因为
=30°,所以在△ABO中/AOB=60°,又OA
OCB==30°,所以/CBO=30°,OCOB,则O
为小球做圆周
OC,故/
运动的圆心.
设小球做圆周运动的半径为R,周期为T,则OC
OB=R,
xOy在竖直平面内,空间有沿水平方向垂
磁感应强度大小为B,在x>0的空间里有沿
E,—个带正电的小球经过图
=300角的斜向下直线做匀速
运动,经过y轴上的B点进人x<0的区域,要使小球进入x<0区域后能在竖直面内做匀速圆周运动,需在x<0区域另加一匀强电场,若带电小球做圆周运动通过x轴上的C点,且OAOC,设重力加速度为g,求:
(1)小球运动速率的大小;
⑵在x<0的区域所加电场大小和方向;
⑶小球从B点运动到C点所用时间及OA的长度.
解:
(1)小球从A运动到
B的过程中,小球受重力、电场力和洛伦兹力作用而处于平衡
2
vmv〒
且qvBm,R,T
RBq
由于/COB=120°,小球从点
一1
B运动到点C的时间为t1T
2m
3Bq,
1R
又/OBO=30°,所以00—OB,
22
R3R
所以0CR-三,即0A
3R
2
3mv
2Bq
空,所以
g
ti
3gB,0A
23E2
gB2
12.平行轨道PQ、MN两端各接一个阻值Ri=R2=8Q的电热丝,轨道间距L=1m,轨道很长,本身电阻不计,轨道间磁场按如图所示的规律分布,其中每段垂直纸面向里和向外的
磁场区域宽度为2cm,磁感应强度的大小均为B=1T,每段无磁场的区域宽度为1cm,导
体棒ab本身电阻r=1Q,与轨道接触良好,现让ab以v=10m/s的速度向右匀速运动.求:
(1)当ab处在磁场区域时,ab中的电流为多大?
ab两端的电压为多大?
ab所受磁场力为多大?
(2)整个过程中,通过ab的电流是否是交变电流?
若是,则其有效值为多大?
并画出通过ab的电流随时间的变化图象.
R12r
ab两端的电压为U=IR12=8V,
ab所受的安培力为F=BIL=2N,方向向左.
d1d2
(2)是交变电流,ab中交流电的周期T=2—+22=0.006s,由交流电有效值的定义,
vv
d1
可得I2R(2-)=1有效2RT,即I有效
v
通过ab的电流随时间变化图象如图所示.
13.有
种角速度计可以测量航天器的转动角速度,其结构如图所示,
角速度计固定
在待测装置上,当装置绕竖直轴00转动时,元件A在光滑杆上发生位移并输出电压信号,成为航天器制导系统的信息源.已知A的质量为m,弹簧的劲度系数为k,自然长度为Io,电源的电动势为E,当
系统以角速度转动时,求
解:
当系统以角速度
U与的函数关系.转动时,
对元件A,弹簧弹力提供做圆周运动的向心力为
2
kxm(l0x),
电压表的读数U=EX,
l
解得U与
的函数关系
U=—
klm
2l°E
当x=l时,
UE,
kl
m(l。
l)
,上式成立的条件是
kl
m(l0l)°
B是水平放置的平行金属板,两板间的距
离为d。
在两板间有一个圆柱形金属网P,其横截面直径为-,圆柱体的轴线与金属板
2
平行,圆柱体内充满磁感应强度为B的匀强磁场,磁场方向与轴线平行。
圆柱体横截面
的最低点与极板B的距离很小,可忽略不计。
现将两金属板分别带上等量异种电荷,使
两金属板间的电势差为U,问:
圆柱体横截面圆心O处的电场强度;
圆柱体横截面最高点D与极板A之间的电势差;
若在D点使一个质量为m的带电粒子,沿竖直向下的方向,以大小为V0的速度进入磁
场,发现该粒子离开磁场时其速度方向与金属板平行,求这个粒子的带电量和在磁场中运动的时间。
(不计带电粒子的重力作用)
14.(18分)
如图14
所示,A、
(1)
(2)
(3)
如图4所示,光滑的平行导轨P、Q相距
l1m,处在同一水平面中,导轨左端接有如图所示的电路,其中水平放置的平行板电容器C两极板间距离d
15、
R(R38,R22
,导轨电阻不计,磁感应强度
导轨平面,当金属棒ab
沿导轨向右匀速运动(开关
m11014kg,带电量
宀第16题图
10mm,疋
值电阻
B=0.4T的匀强磁场竖直向下穿过
S断开)时,电容器两极之间质量
q11015C的粒子恰好静止不动;当S闭合时,粒子以加速
度a7m/s2向下做匀加速运动,取g10m/s2,求:
(1)金属棒ab运动的速度多大?
电阻多大?
(2)S闭合后,使金属棒ab做匀速运动的外力的功率多大?
图4
解析:
(1)带电粒子在电容器两极板间静止时,受向上的电场力和向下的重力作用而
14
平衡mgqU1,可得电容器两极板间的电压:
U,mgd口0丫°01V1V
dq10
由于粒子带负电,可知上极板电势高。
由于S断开,R1上无电流,R2、R3上电压等于
U1,电路中的感应电流即通过R2、R3的电流强度为:
U11
I11A01A
EU1I1r,其中r为
R2R382
由闭合电路欧姆定律可知:
ab切割磁感线产生感应电动势:
ab金属棒的电阻即:
E101r。
当闭合S后,带电粒子向下做匀加速运动,根据牛顿第二定律有:
mgq—2ma,
d
可得s闭合后电容器两极板间的电压
V0.3V
m(ga)d11014(107)0.01
15
10
U2
q
这时电路中的感应电流为:
I2
U2
R2
015A
根据闭合电路欧姆定律有:
EI2(R1
R2
r)可得
12V,r
又因:
E
BL
12
m/s
0.41
3m/s,即金属棒做匀速运动的速度为
3m/s,电阻
合后,通过
ab的电流J0.15A,ab所受安培力
f2bil
0.41015N0.06N,ab以速度v3m/s匀速运动时,所受外力必与安
培力F2大小相等,方向相反,即F=0.06N。
方向向右(与v同向),可见外力F的功率为:
PFv0063W0.18W
16.如图5所示,水平面中的光滑平行导轨p、Q相距I50cm,电池电动势E'6V,内阻不计;电容C2F,定值电阻R9;直导线MN的质量m50g,横放在平行导轨上,其中导轨间的电阻R'3;竖直向下穿过导轨面的匀强磁场的磁感应强度
B1.0T;导轨足够长,电阻不计。
图5
(1)闭合开关S,直导线MN由静止开始运动的瞬时加速度多大?
MN运动能达到的
最大速度多大?
(2)直导线MN由静止开始运动到速度最大的过程中,电容器的带电荷量变化了多少?
解析:
(1)S闭合后,电流由M到N通过直导线,电流大小为I。
05A。
RR'
一BII010050522
MN开始运动(速度为零)时的加速度为a0-m/s5m/s,方向
m0.05
水平向右。
当MN运动速度为v(方向向右)时,感应电动势大小为EBLv,这时通过
MN的电流(仍由M到N)为I
E'E
RR'
E'B|v
,可见,MN的运动速度增大时I减小,
RR'
MN所受安培力、加速度也随之减小;当时,MN速度最大,最大速度为Vm
旦
BI
I减小至零时,MN所受安培力、加速度为零。
这
m/s12m/s。
1005
(2)S刚闭合时,MN速度为零,
电容器两极板间电压为
U。
I0R'053V1.5V,
MN以最大速度vm12m/s运动时,电路中电流为零,电容器两极板间电压为
UE'BlVm6V,可见,电容器的带电荷量在MN由开始运动到达最大速度的过程中
66
QCU210(61.5)C9.010C。
19、如图10所示,在xOy平面内,有场强E=12N/C,方向沿x轴正方向的匀强电场和
磁感应强度大小为B=2T、方向垂直xOy平面指向纸里的匀强磁场.一个质量m=4X10-5kg,电量q=2.5X10-5C带正电的微粒,在xOy平面内做匀速直线运动,运动到原点O
时,撤去磁场,经一段时间后,带电微粒运动到了x轴上的
XXXx
P点.求:
(1)P点到原点O的距离;
(2)带电微粒由原
点0运动到P点的时间.
20、如图所示,宽为L=8cm的虚线框内有互相垂直的匀强电场和匀强磁场,电子以垂直于电场和磁场方向的初速度V。
从O点射入虚线框内,恰好做匀速直线运动,并从0/
点射出。
若只撤去磁场而其余条件不变,则电子从A点射出,O'、A相距3.2cm。
若只撤去
FCE'
18、如图,置于光滑水平面上的小车缘物体C现使小车知碰后B最小速度。
电场而其余条件不变