初二奥数题及答案.docx
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初二奥数题及答案
初二数学奥数
1、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,DE=EC,EF∥AB交BC于点F,EF=EC,连结DF。
(1)试说明梯形ABCD是等腰梯形;
(2)若AD=1,BC=3,DC=
,试判断△DCF的形状;
(3)在条件
(2)下,射线BC上是否存在一点P,使△PCD是等腰三角形,若存在,请直接写出PB的长;若不存在,请说明理由。
2、在边长为6的菱形ABCD中,动点M从点A出发,沿A→B→C向终点C运动,连接DM交AC于点N.
(1)如图25-1,当点M在AB边上时,连接BN.
①求证:
△ABN≌△ADN;
②若∠ABC=60°,AM=4,求点M到AD的距离;
(2)如图25-2,若∠ABC=90°,记点M运动所经过的路程为x(6≤x≤12)试问:
x为何值时,△ADN为等腰三角形.
3、对于点O、M,点M沿MO的方向运动到O左转弯继续运动到N,使OM=ON,且OM⊥ON,这一过程称为M点关于O点完成一次“左转弯运动”.
正方形ABCD和点P,P点关于A左转弯运动到P1,P1关于B左转弯运动到P2,P2关于C左转弯运动到P3,P3关于D左转弯运动到P4,P4关于A左转弯运动到P5,…….
(1)请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P1的位置;
(2)连接P1A、P1B,判断△ABP1与△ADP之间有怎样的关系并说明理由。
(3)以D为原点、直线AD为
轴建立直角坐标系,并且已知点B在第二象限,A、P两点的坐标为(0,4)、(1,1),请你推断:
P4、P2009、P2010三点的坐标.
4、如图1和2,在20×20的等距网格(每格的宽和高均是1个单位长)中,Rt△ABC从点A与点M重合的位置开始,以每秒1个单位长的速度先向下平移,当BC边与网的底部重合时,继续同样的速度向右平移,当点C与点P重合时,Rt△ABC停止移动.设运动时间为x秒,△QAC的面积为y.
(1)如图1,当Rt△ABC向下平移到Rt△A1B1C1的位置时,请你在网格中画出Rt△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形;
(2)如图2,在Rt△ABC向下平移的过程中,请你求出y与x的函数关系式,并说明当x分别取何值时,y取得最大值和最小值最大值和最小值分别是多少
(3)在Rt△ABC向右平移的过程中,请你说明当x取何值时,y取得最大值和最小值最大值和最值分别是多少为什么
5、如图①,△ABC中,AB=AC,∠B、∠C的平分线交于O点,过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.
(1)图中有几个等腰三角形猜想:
EF与BE、CF之间有怎样的关系,并说明理由.
(2)如图②,若AB≠AC,其他条件不变,图中还有等腰三角形吗如果有,分别指出它们.在第
(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗
(3)如图③,若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O,过O点作OE∥BC交AB于E,交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗EF与BE、CF关系又如何说明你的理由。
6、已知,如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为AC上一点,且∠BDC=124°,延长BA到点E,使AE=AD,BD的延长线交CE于点F,求∠E的度数。
7、
如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,将一三角尺的直角顶点放在点O处,让其绕点O旋转,三角尺的直角边与正方形ABCD的两边交于点E和F。
通过观察或测量OE,OF的长度,你发现了什么试说明理由。
1、解:
(1)证明:
∵EF=EC,∴∠EFC=∠ECF,∵EF∥AB,∴∠B=∠EFC,
∴∠B=∠ECF,∴梯形ABCD是等腰梯形;
(2)△DCF是等腰直角三角形,证明:
∵DE=EC,EF=EC,∴EF=
CD,
∴△CDF是直角三角形(如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形),
∵梯形ABCD是等腰梯形,∴CF=
(BC-AD)=1,∵DC=
,∴由勾股定理得:
DF=1,
∴△DCF是等腰直角三角形;
(3)共四种情况:
PB=1,PB=2,PB=3-
,PB=3+
2、证明:
(1)①∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,∠1=∠2.又∵AN=AN,
∴△ABN≌△ADN.
②解:
作MH⊥DA交DA的延长线于点H.由AD∥BC,得∠MAH=∠ABC=60°.
在Rt△AMH中,MH=AM•sin60°=4×sin60°=2
.∴点M到AD的距离为2
.
∴AH=2.∴DH=6+2=8.
(2)解:
∵∠ABC=90°,∴菱形ABCD是正方形.∴∠CAD=45°.
下面分三种情形:
(Ⅰ)若ND=NA,则∠ADN=∠NAD=45°.
此时,点M恰好与点B重合,得x=6;
(Ⅱ)若DN=DA,则∠DNA=∠DAN=45°.此时,点M恰好与点C重合,得x=12;
(Ⅲ)若AN=AD=6,则∠1=∠2.∵AD∥BC,∴∠1=∠4,又∠2=∠3,
∴∠3=∠4.∴CM=CN.∴AC=62.∴CM=CN=AC-AN=62-6.
故x=12-CM=12-(62-6)=18-62.
综上所述:
当x=6或12或18-62时,△ADN是等腰三角形。
3、解:
(1)用直尺和圆规作图,作图痕迹清晰;
(2)△ABP1≌△ADP,且△ABP1可看成是由△ADP绕点A顺时针旋转90°而得.
理由如下:
在△ABP1和△ADP中,
由题意:
AB=AD,AP=AP1,∠PAD=∠P1AB,
∴△ABP1≌△ADP,
又∵△ABP1和△ADP有公共顶点A,且∠PAP1=90°,
∴△ABP1可看成是由△ADP绕点A顺时针旋转90°而得;
(3)点P(1,1)关于点A(0,4)左转弯运动到P1(-3,3),
点P1(-3,3)关于点B(-4,4)左转弯运动到点P2(-5,3),
点P2(-5,3)关于点C(-4,0)左转弯运动到点P3(-1,1),
点P3(-1,1)关于点D(0,0)左转弯运动到点P4(1,1),
点P4(1,1)关于点A(0,4)左转弯运动到点P5(-3,3),
点P5与点P1重合,点P6与点P2重合,,点P2009的坐标为(-3,3)
点P2010的坐标为(-5,3).
4、解:
(1)如图1,△A2B2C2是△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形;
(2)当△ABC以每秒1个单位长的速度向下平移x秒时(如图2),
则有:
MA=x,MB=x+4,MQ=20,
y=S梯形QMBC-S△AMQ-S△ABC
=
4+20)(x+4)-
×20x-
×4×4
=2x+40(0≤x≤16).
由一次函数的性质可知:
当x=0时,y取得最小值,且y最小=40,
当x=16时,y取得最大值,且y最大=2×16+40=72;
(3)解法一:
当△ABC继续以每秒1个单位长的速度向右平移时,
此时16≤x≤32,PB=20-(x-16)=36-x,PC=PB-4=32-x,
∴y=S梯形BAQP-S△CPQ-S△ABC=
(4+20)(36-x)-
×20×(32-x)-
×4×4
=-2x+104(16≤x≤32).
由一次函数的性质可知:
当x=32时,y取得最小值,且y最小=-2×32+104=40;
当x=16时,y取得最大值,且y最大=-2×16+104=72.
解法二:
在△ABC自左向右平移的过程中,
△QAC在每一时刻的位置都对应着
(2)中△QAC某一时刻的位置,
使得这样的两个三角形关于直线QN成轴对称.
因此,根据轴对称的性质,
只需考查△ABC在自上至下平移过程中△QAC面积的变化情况,
便可以知道△ABC在自左向右平移过程中△QAC面积的变化情况.
当x=16时,y取得最大值,且y最大=72,
当x=32时,y取得最小值,且y最小=40.
5、解:
(1)图中有5个等腰三角形,
EF=BE+CF,∵△BEO≌△CFO,且这两个三角形均为等腰三角形,
可得EF=EO+FO=BE+CF;
(2)还有两个等腰三角形,为△BEO、△CFO,
如下图所示:
∵EF∥BC,∴∠2=∠3,
又∵∠1=∠2,∴∠1=∠3,
∴△BEO为等腰三角形,在△CFO中,同理可证.
∴EF=BE+CF存在.
(3)有等腰三角形:
△BEO、△CFO,此时EF=BE-CF,
∵如下图所示:
OE∥BC,∴∠5=∠6,
又∠4=∠5,∴∠4=∠6,∴,△BEO是等腰三角形,
在△CFO中,同理可证△CFO是等腰三角形,
此时EF=BE-CF,
6、解:
在△ABD和△ACE中,
∵AB=AC,∠DAB=∠CAE=90°AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠E=∠ADB.
∵∠ADB=180°-∠BDC=180°-124°=56°,
∴∠E=56°.
7、解:
OE=OF.
证明:
正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,
∴OA=OB,∠OAB=∠OBE=45°,AC⊥BD.
∵∠AOF+∠FOB=∠EOB+∠FOB=90°,
∴∠AOF=∠EOB.
在△AOF和△BOE中
∠OAB=∠OBE,OA=OB,∠AOF=∠EOB,
∴△AOF≌△BOE(ASA).
∴OE=OF.