高考定积分练习题.docx
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高考定积分练习题
高考定积分应用常有题型大全
一．选择题（共21小题）
1．（2012?
福建）如下图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰巧取自暗影部分的概率为（）
A．B．C．D．
2．（2010?
山东）由曲线
y=x2，y=x3围成的关闭图形面积为（
）
A．
B．
C．
D．
3．设
f（x）=
，函数图象与
x轴围成关闭地区的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
4．定积分
的值为（
）
A．
B．3+ln2
C．3﹣ln2
D．6+ln2
5．如下图，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（暗影部分），其面积是（）
A．1B．C．D．
6．
=（
）
A．π
B．2
C．﹣π
D．4
7．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，4]，且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数
如下图，则平面地区f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）所围成的面积是（）
y=f′（x）的图象
A．2
B．4
C．5
D．8
1
x
1x
dx对比有关系式（
0
0
）
8．∫edx
与∫e
A．1x
1x
dx
B．1x
1x
dx
0
0
0
0
∫edx
＜∫e
∫edx＞∫e
C．
1x
2
1x
D．1x
1x
（∫
edx）=∫0edx
∫0edx=∫0e
dx
0
9．若a=
，b=
，则a与b的关系是（
）
A．a＜b
B．a＞b
C．a=b
D．a+b=0
10．
的值是（
）
A．
B．
C．
D．
11．若f（x）=
（e为自然对数的底数），则
=（
）
A．
B．+e
C．﹣e2+e
D．﹣+e2﹣e
+e2﹣e
12．已知f（x）=2﹣|x|，则
（
）
A．3
B．4
C．3.5
D．4.5
13．设f（x）=3﹣
2
f（x）dx=（
）
|x﹣1|，则∫
﹣2
A．7
B．8
C．7.5
D．6.5
14．积分
=（
）
A．
B．
C．πa2
D．2πa2
15．已知函数
的图象与x轴所围成图形的面积为（
）
A．1/2
B．1
C．2
D．3/2
16．由函数y=cosx（0≤x≤2π）的图象与直线及y=1所围成的一个关闭图形的面积是（）
A．4B．C．D．2π
17．曲线y=x3在点（1，1）处的切线与
x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
18．图中，暗影部分的面积是（）
A．16B．18C．20D．22
19．如图中暗影部分的面积是（）
A．B．C．D．
20．曲线与坐标轴围成的面积是（）
A．B．C．D．
21．如图，点P（3a，a）是反比率函y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中暗影部分的面积为10π，则反比率函数
的分析式为（）
A．y=B．y=C．y=D．y=
高考定积分应用常有题型大全（含答案）
参照答案与试题分析
一．选择题（共21小题）
1．（2012?
福建）如下图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰巧取自暗影部分的概率为（）
A．B．C．D．
考点：
定积分在求面积中的应用；几何概型．
专题：
计算题．
剖析：
依据题意，易得正方形OABC的面积，察看图形可得，暗影部分由函数y=x与y=围成，由定积分公式，
计算可得暗影部分的面积，从而由几何概型公式计算可得答案．
解答：
解：
依据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，
而暗影部分由函数y=x与y=围成，其面积为∫01（﹣x）dx=（﹣）|01=，
则正方形OABC中任取一点P，点P取自暗影部分的概率为=；
应选C．
评论：
本题考察几何概型的计算，波及定积分在求面积中的应用，要点是正确计算出暗影部分的面积．
2．（2010?
山东）由曲线
y=x2，y=x3围成的关闭图形面积为（
）
A．
B．
C．
D．
考点：
定积分在求面积中的应用．
专题：
计算题．
2
3
围成的关闭图形面积，依据定积分的几何意义，只需求
1
2
3
剖析：
要求曲线y=x，y=x
∫（x﹣x）dx即可．
0
解答：
解：
由题意得，两曲线的交点坐标是（
1，1），（0，0）故积分区间是[0，1]
所求关闭图形的面积为
∫01（x2﹣x3）dx═
，
应选A．
评论：
本题考察定积分的基础知识，由定积分求曲线围成关闭图形的面积．
3．设f（x）=，函数图象与x轴围成关闭地区的面积为（）
A．B．C．D．
考点：
分段函数的分析式求法及其图象的作法；函数的图象；定积分在求面积中的应用．
专题：
计算题；数形联合．
剖析：
利用坐标系中作出函数图象的形状，经过定积分的公式，分别对两部分用定积分求出其面积，再把它们相
加，即可求出围成的关闭地区曲边图形的面积．
解答：
解：
依据题意作出函数的图象：
依据定积分，得所围成的关闭地区的面积S=
应选C
评论：
本题考察分段函数的图象和定积分的运用，考察积分与曲边图形面积的关系，属于中档题．解题要点是找出被积函数的原函数，注意运算的正确性．
4．定积分
的值为（
）
A．
B．3+ln2
C．3﹣ln2
D．6+ln2
考点：
定积分；微积分基本定理；定积分的简单应用．
专题：
计算题．
剖析：
由题设条件，求出被积函数的原函数，而后依据微积分基本定理求出定积分的值即可．
解答：
解：
=（x2
1
22
2
）=3+ln2
+lnx）|
=（2
+ln2）﹣（1+ln1
应选B．
评论：
本题考察求定积分，求解的要点是掌握住定积分的定义及有关函数的导数的求法，属于基础题．
5．如下图，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（暗影部分），其面积是（）
A．1B．C．D．
考点：
定积分；定积分的简单应用．
专题：
计算题．
剖析：
联立由曲线y=x2和曲线y=两个分析式求出交点坐标，而后在x∈（0，1）区间上利用定积分的方法求出
围成的面积即可．
解答：
解：
联立得，
解得或，
设曲线与直线围成的面积为S，
1
2
）dx=
则S=∫0（
﹣x
应选：
C
评论：
考察学生求函数交点求法的能力，利用定积分求图形面积的能力．
6．
=（
）
A．π
B．2
C．﹣π
D．4
考点：
微积分基本定理；定积分的简单应用．
专题：
计算题．
剖析：
因为F（x）=x2
ab
ab
公式即
+sinx为f（x）=x+cosx的一个原函数即
F′（x）=f（x），依据∫f（x）dx=F（x）|
可求出值．
解答：
解：
∵（
x2++sinx）′=x+cosx，
∴
（x+cosx）dx
=（x2+sinx）
=2．
故答案为：
2．
评论：
本题考察学生掌握函数的求导法例，会求函数的定积分运算，是一道基础题．
7．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，4]，且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象
如下图，则平面地区f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）所围成的面积是（）
A．2B．4C．5D．8
考点：
定积分的简单应用．
剖析：
依据导函数的图象，剖析原函数的性质或作出原函数的草图，找出
求解．
解答：
解：
由图可知[﹣2，0）上f′（x）＜0，
∴函数f（x）在[﹣2，0）上单一递减，（0，4]上f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（0，4]上单一递加，
故在[﹣2，4]上，f（x）的最大值为f（4）=f（﹣2）=1，
a、b知足的条件，画出平面地区，即可
∴f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）?
表示的平面地区如下图：
应选B．
评论：
本题考察了导数与函数单一性的关系，以及线性规划问题的综合应用，属于高档题．解决时要注意数形联合思想应用．
01
x
01
x
dx对比有关系式（
）
8．∫edx
与∫e
A．1x
1
x
dx
B．
1x
1x
dx
∫0
edx
＜∫0
e
∫0edx＞∫0
e
C．
1x
2
1x
D．
1x
1
x
（∫0
edx）
0
dx
0
0
dx
=∫e
∫edx=∫e
考点：
定积分的简单应用；定积分．
专题：
计算题．
剖析：
x=0，x=1及函数y=ex或y=ex
在图象第一象限内圆弧与坐标轴围
依据积分所表示的几何意义是以直线
成的面积，只需画出函数图象察看面积大小即可．
解答：
解：
∫01exdx表示的几何意义是以直线
x=0，x=1及函数y=ex在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，
1
x
dx表示的几何意义是以直线
x=0，x=1及函数y=e
x
在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，
∫0
e
如图
∵当
xx
，故有：
∫1x
1
x
dx
0＜x＜1时，ex＞e
0edx＞∫0
e
应选B．
评论：
本题主要考察了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的要点是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题．
9．若a=，b=，则a与b的关系是（）
A．a＜bB．a＞bC．a=bD．a+b=0
考点：
定积分的简单应用．
专题：
计算题．
剖析：
a==（﹣cosx）=（﹣cos2）﹣（﹣cos）=﹣cos2≈sin24.6°，b==sinx=sin1
﹣sin0=sin1≈sin57.3°．
解答：
解：
∵a==（﹣cosx）=（﹣cos2）﹣（﹣cos）=﹣cos2≈﹣cos114.6°=sin24.6°，
b==sinx=sin1﹣sin0=sin1≈sin57.3°，
∴b＞a．
应选A．
评论：
本题考察定积分的应用，是基础题．解题时要认真审题，认真解答．
10．
的值是（
）
A．
B．
C．
D．
考点：
定积分的简单应用．专题：
计算题．2
分坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x轴和直线x=1围成
的图形的面积即可．
2
分坐标轴围成的面积，
故只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x轴和直线x=1围成的图形的面积之差．
即
=﹣
=﹣
=
故答案选A
评论：
本题主要考察了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的要点是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题
11．若f（x）=
（e为自然对数的底数），则
=（
）
A．
B．+e
C．﹣e2+e
D．﹣+e2﹣e
+e2﹣e
考点：
定积分的简单应用．
专题：
计算题．
剖析：
因为函数为分段函数，故将积分区间分为两部分，从而分别求出相应的积分，即可获得结论．
解答：
解：
=
=
=
应选C．
评论：
本题要点考察定积分，解题的要点是将积分区间分为两部分，再分别求出相应的积分．
12．已知f（x）=2﹣|x|，则
（
）
A．3
B．4
C．3.5
D．4.5
考点：
定积分的简单应用．
专题：
计算题．
剖析：
由题意，
，由此可求定积分的值．
解答：
解：
由题意，
=
+
=2﹣+4
﹣2=3.5
应选C．
评论：
本题考察定积分的计算，解题的要点是利用定积分的性质化为两个定积分的和．
﹣
22
f（x）dx=（
）
13．设f（x）=3﹣|x﹣1|，则∫
A．7
B．8
C．7.5
D．6.5
考点：
定积分的简单应用．
专题：
计算题．
2（3﹣|x﹣1|）dx，将∫﹣
2（3﹣|x﹣1|）dx转变成∫﹣
1（2+x）dx+∫2（4﹣x）dx，而后依据
剖析：
∫﹣
2
2
﹣
f（x）dx=∫2
2
2
1
定积分的定义先求出被积函数的原函数，而后求解即可．
解答：
2
2
1
2
2
1
2
）|1
2
解：
∫﹣2
﹣2（3﹣|x﹣1|）dx=∫﹣2（
2+x）dx+∫1（4﹣x）dx=（2x+
x）|﹣2
+（4x
﹣
x
=7
f（x）dx=∫
应选A．
评论：
本题主要考察了定积分，定积分运算是求导的逆运算，同时考察了转变与划归的思想，属于基础题．
14．积分
=（
）
A．
B．
C．πa2
D．2πa2
考点：
定积分的简单应用；定积分．
专题：
计算题．
剖析：
本题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数
y=
与x轴所围成的图形的面积，围成的
图象是半个圆．
解答：
解：
依据定积分的几何意义，则
表示圆心在原点，半径为
3的圆的上半圆的面积，
故==．
应选B．
评论：
本小题主要考察定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识，考察考察数形联合思想．属于基础题．
15．已知函数
的图象与
x轴所围成图形的面积为（
）
A．1/2
B．1
C．2
D．3/2
考点：
定积分在求面积中的应用．
专题：
计算题．
剖析：
依据几何图形用定积分表示出所围成的关闭图形的面积，求出函数
f（x）的积分，求出所求即可．
解答：
x轴所围成图形的面积为
解：
由题企图象与
=（﹣
1
）|0+sinx
=+1
=
应选D．
评论：
本题考察定积分在求面积中的应用，求解的要点是正确利用定积分的运算规则求出定积分的值，本题易因为对两个知识点不熟习公式用错而致使错误，坚固掌握好基础知识很重要．
16．由函数
y=cosx（0≤x≤2π）的图象与直线
及
y=1
所围成的一个关闭图形的面积是（
）
A．4
B．
C．
D．2π
考点：
定积分在求面积中的应用．
专题：
计算题．
剖析：
由题意可知函数
y=cosx（0≤x
≤2π）的图象与直线
及y=1所围成的一个关闭图形可利用定积分进行计
算，只需求∫0
（1﹣cosx）dx即可．而后依据积分的运算公式进行求解即可．
解答：
解：
由函数y=cosx（0≤x≤2π）的图象与直线
及y=1所围成的一个关闭图形的面积，
就是：
∫0
0
（1﹣cosx）dx=（x﹣sinx）|
=．
应选B．
评论：
本题考察余弦函数的图象，定积分，考察计算能力，解题的要点是两块关闭图形的面积之和就是上部直接积分减去下部积分．
17．曲线y=x3在点（1，1）处的切线与
x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
考点：
定积分在求面积中的应用．
专题：
计算题．
剖析：
欲求所围成的三角形的面积，先求出在点（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故要利用导
数求出在x=1处的导函数值，再联合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．解答：
解：
∵y=x3，
∴y'=3x2，当x=1时，y'=3得切线的斜率为3，因此k=3；因此曲线在点（1，1）处的切线方程为：
y﹣1=3×（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．
令y=o得：
x=，
∴切线与x轴、直线x=1所围成的三角形的面积为：
S=×（1﹣）×1=
应选B．
评论：
本小题主要考察直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，属于基础题．
18．图中，暗影部分的面积是（）
A．16
B．18
C．20
D．22
考点：
定积分在求面积中的应用．
专题：
计算题．
剖析：
从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（
2，﹣2），（8，4）．过（2，﹣2）作x轴的垂线把暗影部分分
为S1，S2两部分，利用定积分的方法分别求出它们的面积并相加即可获得暗影部分的面积．
解答：
解：
从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（
2，﹣2），（8，4）．过（2，﹣2）作x轴的垂线把暗影部
分分为S1，S2两部分，分别求出它们的面积
A1，A2：
1
02
]dx=2
dx=
，
A
=∫[
A2=∫28[
]dx=
因此暗影部分的面积
A=A1+A2=
=18
应选B．
评论：
本题考察定积分在求面积中的应用，解题是要注意切割，要点是要注意在x轴下方的部分积分为负（积分的几何意义重申代数和），属于基础题．考察学生利用定积分求暗影面积的方法的能力．
19．如图中暗影部分的面积是（）
A．B．C．D．
考点：
定积分在求面积中的应用．
专题：
计算题．
剖析：
求暗影部分的面积，先要对暗影部分进行切割到三个象限内，分别对三部分进行积分乞降即可．
解答：
解：
直线y=2x与抛物线y=3﹣x2解得交点为（﹣
3，﹣6）和（1，2）
抛物线y=3﹣x2与x轴负半轴交点（﹣
，0）
设暗影部分面积为s，则
=
=
因此暗影部分的面积为，
应选C．
评论：
本题考察定积分在求面积中的应用，解题是要注意切割，要点是要注意在x轴下方的部分积分为负（积分的几何意义重申代数和），属于基础题．
20．曲线与坐标轴围成的面积是（）
A．B．C．D．
考点：
定积分在求面积中的应用．
专题：
计算题．
剖析：
先依据题意画出地区，而后依照图形获得积分下限为0，积分上限为，从而利用定积分表示出曲边梯形
的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．
解答：
解：
先依据题意画出图形，
获得积分上限为，积分下限为0
曲线与坐标轴围成的面积是：
S=∫0（﹣）dx+∫dx
=
∴围成的面积是
应选D．
评论：
本题主要考察了学生会求出原函数的能力，以及考察了数形联合的思想，同时会利用定
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