5.已知某消费者每年用于商品1和商品2的收入为540元，两商品的价格分别为P1＝20元和P2＝30元，该消费者的效用函数为U＝3X1X
，该消费者每年购买这两种商品的数量应各是多少？
每年从中获得的总效用是多少？
解答：
根据消费者的效用最大化的均衡条件
＝
其中，由U＝3X1X
可得
MU1＝
＝3X
MU2＝
＝6X1X2
于是，有
＝
整理得 X2＝
X1
（1）
将式
（1）代入预算约束条件20X1＋30X2＝540，得
20X1＋30·
X1＝540解得 X
＝9
将X
＝9代入式
（1）得X
＝12
因此，该消费者每年购买这两种商品的数量应该为
将以上最优的商品组合代入效用函数，得
U*＝3X
（X
）2＝3×9×122＝3888
它表明该消费者的最优商品购买组合给他带来的最大效用水平为3888。
6.假设某商品市场上只有A、B两个消费者，他们的需求函数各自为Q
＝20－4P和Q
＝30－5P。
（1）列出这两个消费者的需求表和市场需求表。
（2）根据
（1），画出这两个消费者的需求曲线和市场需求曲线。
解答：
（1）由消费者A的需求函数Q
＝20－4P，可编制消费者A的需求表；由消费者B的需求函数Q
＝30－5P，可编制消费B的需求表。
至于市场的需求表的编制可以使用两种方法，一种方法是利用已得到消费者A、B的需求表，将每一价格水平上两个消费者的需求数量加总来编制市场需求表；另一种方法是先将消费者A和B的需求函数加总来求得市场需求函数，即市场需求函数Qd＝Q
＋Q
＝（20－4P）＋（30－5P）＝50－9P，然后运用所得到的市场需求函数Qd＝50－9P来编制市场需求表。
这两种方法所得到的市场需求表是相同的。
按以上方法编制的3张需求表如下所示。
消费者A的需求表
P
Q
0
20
1
16
2
12
3
8
4
4
5
0
消费者B的需求表
P
Q
0
30
1
25
2
20
3
15
4
10
5
5
6
0
市场的需求表
P
Qd＝Qeq\o\al（d,A）＋Qeq\o\al（d,B）
0
50
1
41
2
32
3
23
4
14
5
5
6
0
（2）由
（1）中的3张需求表，所画出的消费者A和B各自的需求曲线以及市场的需求曲线如图3—4所示。
图3—4
在此，需要特别指出的是，市场需求曲线有一个折点，该点发生在价格P＝5和需求量Qd＝5的坐标点位置。
关于市场需求曲线的这一特征，可以从两个角度来解释：
一个角度是从图形来理解，市场需求曲线是市场上单个消费者需求曲线的水平加总，即在P≤5的范围，市场需求曲线由两个消费者需求曲线水平加总得到；而当P＞5时，只有消费者B的需求曲线发生作用，所以，他的需求曲线就是市场需求曲线。
另一个角度是从需求函数看，在P≤5的范围，市场需求函数Qd＝Qeq\o\al（d,A）＋Qeq\o\al（d,B）＝50－9P成立；而当P＞5时，只有消费者B的需求函数才构成市场需求函数，即Qd＝Qeq\o\al（d,B）＝30－5P。
7.假定某消费者的效用函数为U＝xeq\f（3,8）1xeq\f（5,8）2，两商品的价格分别为P1，P2，消费者的收入为M。
分别求该消费者关于商品1和商品2的需求函数。
解答：
根据消费者效用最大化的均衡条件
eq\f（MU1,MU2）＝eq\f（P1,P2）
其中，由已知的效用函数U＝xeq\f（3,8）1xeq\f（5,8）1可得
MU1＝eq\f（dTU,dx1）＝eq\f（3,8）x－eq\f（5,8）1xeq\f（5,8）2
MU2＝eq\f（dTU,dx2）＝eq\f（5,8）xeq\f（3,8）1x－eq\f（3,8）2
于是，有
eq\f（\f（3,8）x－\f（5,8）1x\f（5,8）2,\f（5,8）x\f（3,8）1x－\f（3,8）2）＝eq\f（P1,P2）
整理得 eq\f（3x2,5x1）＝eq\f（P1,P2）
即有 x2＝eq\f（5P1x1,3P2）
（1）
将式
（1）代入约束条件P1x1＋P2x2＝M，有
P1x1＋P2·eq\f（5P1x1,3P2）＝M
解得 xeq\o\al（*,1）＝eq\f（3M,8P1）
代入式
（1）得xeq\o\al（*,2）＝eq\f（5M,8P2）。
所以，该消费者关于两商品的需求函数为
eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x\o\al（*,1）＝\f（3M,8P1）
x\o\al（*,2）＝\f（5M,8P2）））
8.令某消费者的收入为M，两商品的价格为P1、P2。
假定该消费者的无差异曲线是线性的，且斜率为－a。
求该消费者的最优商品消费组合。
解答：
由于无差异曲线是一条直线，且其斜率的绝对值MRS12＝－eq\f（dx2,dx1）＝a，又由于预算线总是一条直线，且其斜率为－eq\f（P1,P2），所以，该消费者的最优商品组合有以下三种情况，其中第一、二种情况属于边角解，如图3—5所示。
第一种情况：
当MRS12＞eq\f（P1,P2），即a＞eq\f（P1,P2）时，如图3—5（a）所示，效用最大化的均衡点E位于横轴，它表示此时的最优解是一个边角解，即xeq\o\al（,1）＝eq\f（M,P1），xeq\o\al（*,2）＝0。
也就是说，消费者将全部收入都购买商品1，并由此达到最大的效用水平，该效用水平在图中用以实线表示的无差异曲线标出。
显然，该效用水平高于在既定的预算线上的其他任何一个商品组合所能达到的效用水平，例如那些用虚线表示的无差异曲线的效用水平。
图3—5
第二种情况：
当MRS12＜eq\f（P1,P2），即a＜eq\f（P1,P2）时，如图3—5（b）所示，效用最大化的均衡点E位于纵轴，它表示此时的最优解是一个边角解，即xeq\o\al（,1）＝0，xeq\o\al（,2）＝eq\f（M,P2）。
也就是说，消费者将全部收入都购买商品2，并由此达到最大的效用水平，该效用水平在图中用以实线表示的无差异曲线标出。
显然，该效用水平高于在既定的预算线上的其他任何一个商品组合所能达到的效用水平，例如那些用虚线表示的无差异曲线的效用水平。
第三种情况：
当MRS12＝eq\f（P1,P2），即a＝eq\f（P1,P2）时，如图3—5（c）所示，无差异曲线与预算线重叠，效用最大化的均衡点可以是预算线上任何一点的商品组合，即最优解为xeq\o\al（,1）≥0，xeq\o\al（,2）≥0，且满足P1x1＋P2x2＝M。
此时所达到的最大效用水平在图中用以实线表示的无差异曲线标出，显然，该效用水平高于其他任何一条在既定预算约束条件下可以实现的用虚线表示的无差异曲线的效用水平。
9.假定某消费者的效用函数为U＝q0.5＋3M，其中，q为某商品的消费量，M为收入。
求：
（1）该消费者的需求函数；
（2）该消费者的反需求函数；
（3）当p＝eq\f（1,12），q＝4时的消费者剩余。
解答：
（1）由题意可得，商品的边际效用为
MU＝eq\f（∂U,∂q）＝0.5q－0.5
货币的边际效用为
λ＝eq\f（∂U,∂M）＝3
于是，根据消费者均衡条件eq\f（MU,p）＝λ，有
eq\f（0.5q－0.5,p）＝3
整理得需求函数为q＝eq\f（1,36p2）。
（2）由需求函数q＝eq\f（1,36p2），可得反需求函数为
p＝eq\f（1,6\r（q））
（3）由反需求函数p＝eq\f（1,6\r（q）），可得消费者剩余为
CS＝∫eq\o\al（q,0）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,6\r（q））））dq－pq＝eq\f（1,3）qeq\f（1,2）eq\o\al（q,0）－pq＝eq\f（1,3）qeq\f（1,2）－pq
将p＝eq\f（1,12），q＝4代入上式，则有消费者剩余
CS＝eq\f（1,3）×4eq\f（1,2）－eq\f（1,12）×4＝eq\f（1,3）
10.设某消费者的效用函数为柯布道格拉斯类型的，即U＝xαyβ，商品x和商品y的价格分别为Px和Py，消费者的收入为M，α和β为常数，且α＋β＝1。
（1）求该消费者关于商品x和商品y的需求函数。
（2）证明当商品x和y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时，消费者对两商品的需求关系维持不变。
（3）证明消费者效用函数中的参数α和β分别为商品x和商品y的消费支出占消费者收入的份额。
解答：
（1）由消费者的效用函数U＝xαyβ，算得
eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（MUx＝\f（∂U,∂x）＝αxα－1yβ
MUy＝\f（∂U,∂y）＝βxαyβ－1））
消费者的预算约束方程为
Pxx＋Pyy＝M
（1）
根据消费者效用最大化的均衡条件
eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（MUx,MUy）＝\f（Px,Py）
Pxx＋Pyy＝M））
（2）
得 eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（αxα－1yβ,βxαyβ－1）＝\f（Px,Py）
Pxx＋Pyy＝M））（3）
图3—6
解方程组（3），可得
x＝αM/Px（4）
y＝βM/Py（5）
式（4）和式（5）即为消费者关于商品x和商品y的需求函数。
上述需求函数的图形如图3—6所示。
（2）商品x和y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例，相当于消费者的预算线变为
λPxx＋λPyy＝λM（6）
其中λ为一非零常数。
此时消费者效用最大化的均衡条件变为
eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（αxα－1yβ,βxαyβ－1）＝\f（Px,Py）
λPxx＋λPyy＝λM））（7）
由于λ≠0，故方程组（7）化为
eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（αxα－1yβ,βxαyβ－1）＝\f（Px,Py）
Pxx＋Pyy＝M））（8）
显然，方程组（8）就是方程组（3），故其解就是式（4）和式（5）。
这表明，消费者在这种情况下对两商品的需求关系维持不变。
（3）由消费者的需求函数式（4）和式（5），可得
α＝Pxx/M（9）
β＝Pyy/M（10）
关系式（9）的右边正是商品x的消费支出占消费者收入的份额。
关系式（10）的右边正是商品y的消费支出占消费者收入的份额。
故结论被证实。
11.已知某消费者的效用函数为U＝X1X2，两商品的价格分别为P1＝4，P2＝2，消费者的收入是M＝80。
现在假定商品1的价格下降为P1＝2。
求：
（1）由商品1的价格P1下降所导致的总效应，使得该消费者对商品1的购买量发生多少变化？
（2）由商品1的价格P1下降所导致的替代效应，使得该消费者对商品1的购买量发生多少变化？
（3）由商品1的价格P1下降所导致的收入效应，使得该消费者对商品1的购买量发生多少变化？
解答：
利用图3—7解答此题。
在图3—7中，当P1＝4，P2＝2时，消费者的预算线为AB，效用最大化的均衡点为a。
当P1＝2，P2＝2时，消费者的预算线为AB′，效用最大化的均衡点为b。
图3—7
（1）先考虑均衡点a。
根据效用最大化的均衡条件MRS12＝eq\f（P1,P2），其中，MRS12＝eq\f（MU1,MU2）＝eq\f（X2,X1），eq\f（P1,P2）＝eq\f（4,2）＝2，于是有eq\f（X2,X1）＝2，X1＝eq\f（1,2）X2。
将X1＝eq\f（1,2）X2代入预算约束等式4X1＋2X2＝80，有
4·eq\f（1,2）X2＋2X2＝80
解得 X2＝20
进一步得 X1＝10
则最优效用水平为
U1＝X1X2＝10×20＝200
再考虑均衡点b。
当商品1的价格下降为P1＝2时，与上面同理，根据效用最大化的均衡条件MRS12＝eq\f（P1,P2），有eq\f（X2,X1）＝eq\f（2,2），X1＝X2。
将X1＝X2代入预算约束等式2X1＋2X2＝80，解得X1＝20，X2＝20。
从a点到b点商品1的数量变化为ΔX1＝20－10＝10，这就是P1变化引起的商品1消费量变化的总效应。
（2）为了分析替代效应，作一条平行于预算线AB′且相切于无差异曲线U1的补偿预算线FG，切点为c点。
在均衡点c，根据MRS12＝eq\f（P1,P2）的均衡条件，有eq\f（X2,X1）＝eq\f（2,2），X1＝X2。
将X1＝X2代入效用约束等式U1＝X1X2＝200，解得X1＝14，X2＝14（保留整数）。
从a点到c点的商品1的数量变化为ΔX1＝14－10＝4，这就是P1变化引起的商品1消费量变化的替代效应。
（3）至此可得，从c点到b点的商品1的数量变化为ΔX1＝20－14＝6，这就是P1变化引起的商品1消费量变化的收入效应。
当然，由于总效应＝替代效应＋收入效应，故收入效应也可由总效应ΔX1＝10减去替代效应ΔX1＝4得到，仍为6。
12.某消费者是一个风险回避者，他面临是否参与一场赌博的选择：
如果他参与这场赌博，他将以5%的概率获得10000元，以95%的概率获得10元；如果他不参与这场赌博，他将拥有509.5元。
那么，他会参与这场赌博吗？
为什么？
解答：
该风险回避的消费者不会参与这场赌博。
因为如果该消费者不参与这场赌博，那么，在无风险条件下，他可拥有一笔确定的货币财富量509.5元，其数额刚好等于风险条件下的财富量的期望值10000×5%＋10×95%＝509.5元。
由于他是一个风险回避者，所以在他看来，作为无风险条件下的一笔确定收入509.5元的效用水平，一定大于风险条件下这场赌博所带来的期望效用。
13.基数效用论者是如何推导需求曲线的？
解答：
要点如下：
（1）基数效用论者提出的商品的边际效用递减规律是其推导需求曲线的基础。
他们指出，在其他条件不变的前提下，随着消费者对某商品消费数量的连续增加，该商品的边际效用是递减的，所以，消费者对每增加一单位商品所愿意支付的最高价格（即需求价格）也是递减的，即消费者对该商品的需求曲线是向右下方倾斜的。
（2）在只考虑一种商品的前提下，消费者实现效用最大化的均衡条件是eq\f（MU,P）＝λ。
由此均衡条件出发，可以计算出需求价格，并推导与理解
（1）中的消费者的向右下方倾斜的需求曲线。
14.用图说明序数效用论者对消费者均衡条件的分析，以及在此基础上对需求曲线的推导。
解答：
要点如下：
（1）本题涉及的两个基本分析工具是无差异曲线和预算线。
无差异曲线是用来表示消费者偏好相同的两种商品的全部组合的，其斜率的绝对值可以用商品的边际替代率MRS来表示。
预算线表示在消费者收入和商品价格给定的条件下，消费者全部收入所能购买到的两种商品的全部组合，其斜率为－eq\f（P1,P2）。
（2）消费者效用最大化的均衡点发生在一条给定的预算线与无数条无差异曲线中的一条相切的切点上，于是，消费者效用最大化的均衡条件为：
MRS12＝eq\f（P1,P2），或者eq\f（MU1,P1）＝eq\f（MU2,P2）。
（3）在
（2）的基础上进行比较静态分析，即令一种商品的价格发生变化，便可以得到该商品的价格—消费曲线。
价格—消费曲线是在其他条件不变的前提下，与某一种商品的不同价格水平相联系的消费者效用最大化的均衡点的轨迹。
如图3—8（a）所示。
图3—8
（4）在（3）的基础上，将一种商品的不同价格水平和相应的最优消费量即需求量之间的一一对应关系描绘在同一坐标平面上，就可以得到需求曲线，如图3—8（b）所示。
显然有：
需求曲线一般斜率为负，表示商品的价格和需求量成反方向变化；而且，在需求曲线上与每一价格水平相对应的需求量都是可以在该价格水平给消费者带来最大效用的最优消费数量。
15.分别用图分析正常物品、低档物品和吉芬物品的替代效应和收入效应，并进一步说明这三类物品的需求曲线的特征。
解答：
要点如下：
（1）当一种商品的价格发生变化时所引起的该商品需求量的变化可以分解为两个部分，它们分别是替代效应和收入效应。
替代效应是指仅考虑商品相对价格变化所导致的该商品需求量的变化，而不考虑实际收入水平（即效用水平）变化对需求量的影响。
收入效应则相反，它仅考虑实际收入水平（即效用水平）变化导致的该商品需求量的变化，而不考虑相对价格变化对需求量的影响。
（2）无论是分析正常物品还是低档物品，甚至吉芬物品的替代效应和收入效应，都需要运用的一个重要分析工具即补偿预算线。
在图3—9中，以正常物品的情况为例加以说明。
图3—9中，初始的消费者效用最大化的均衡点为a点，相应的正常物品（即商品1）的需求为x11。
价格P1下降以后的效用最大化的均衡点为b点，相应的需求量为x12。
即P1下降的总效应为x11x12，且为增加量，故有总效应与价格成反方向变化。
图3—9
然后，作一条平行于预算线AB′且与原有的无差异曲线U1相切的补偿预算线FG（以虚线表示），相应的效用最大化的均衡点为c点，而且注意，此时b点的位置一定处于c点的右边。
于是，根据
（1）中的阐述，则可以得到：
给定的代表原有效用水平的无差异曲线U1与代表P1变化前后的不同相对价格的（即斜率不同的）预算线AB、FG分别相切的a、c两点，表示的是替代效应，即替代效应为x11x13，且为增加量，故有替代效应与价格成反方向变化；代表不同效用水平的无差异曲线U1和U2分别与两条代表相同相对价格的（即斜率相同的）预算线FG、AB′相切的c、b两点，表示的是收入效应，即收入效应为x13x12，且为增加量，故有收入效应与价格成反方向变化。
最后，由于正常物品的替代效应和收入效应都分别与价格成反方向变化，所以，正常物品的总效应与价格一定成反方向变化，由此可知，正常物品的需求曲线是向右下方倾斜的。
（3）关于低档物品和吉芬物品。
在此略去关于这两类商品的具体的图示分析。
需要指出的要点是，这两类商品的替代效应都与价格成反方向变化，而收入效应都与价格成同方向变化，其中，大多数低档物品的替代效应大于收入效应，而低档物品中的特殊商品吉芬物品的收入效应大于替代效应。
于是，大多数低档物品的总效应与价格成反方向变化，相应的需求曲线向右下方倾斜，低档物品中少数的特殊商品即吉芬物品的总效应与价格成同方向的变化，相应的需求曲线向
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