江苏省苏州市届高三上学期期中考试数学Word版含答案.docx
《江苏省苏州市届高三上学期期中考试数学Word版含答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《江苏省苏州市届高三上学期期中考试数学Word版含答案.docx(15页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
江苏省苏州市届高三上学期期中考试数学Word版含答案
密封线
____________ 号学 ____________ 名姓 ____________ 级班 ____________ 校学
(这是边文,请据需要手工删加)
苏州市2017~2018学年度第一学期期中考试·数学 第页(共6页)
(这是边文,请据需要手工删加)
苏州市2017~2018学年度第一学期期中考试
数学一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1.已知集合U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={2,3},则A∩(∁UB)=________.
2.函数y=的定义域为______________.
3.设命题p:
x>4;命题q:
x2-5x+4≥0,那么p是q的______________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
4.已知幂函数y=x2m-m2(m∈N*)在(0,+∞)是增函数,则实数m的值是________.
5.已知曲线f(x)=ax3+lnx在点(1,f
(1))处的切线的斜率为2,则实数a的取值是________.
6.已知在等比数列{an}中,a3=2,a4a6=16,则=________.
7.函数y=sin(2x+φ)图象的一条对称轴是直线x=,则φ的值是________.
8.已知奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f
(2)=0,则不等式>0的解集是________.
9.已知tan=2,则cos2α的值是________.
10.若函数f(x)=(a>0且a≠1)的值域为[6,+∞),则实数a的取值范围是________.
11.已知数列{an},{bn}满足a1=,an+bn=1,bn+1=(n∈N*),则b1·b2·…·b2017=________.
12.设△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,D为AB的中点,若b=acosC+csinA且CD=,则△ABC面积的最大值是________.
13.已知函数f(x)=sin,若对任意的实数α∈,都存在唯一的实数β∈[0,m],使f(α)+f(β)=0,则实数m的最小值是________.
14.已知函数f(x)=若直线y=ax与y=f(x)交于三个不同的点A(m,f(m)),B(n,f(n)),C(t,f(t))(其中m二、解答题:
本大题共6个小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
已知函数f(x)=-sin++b(a>0,b>0)的图象与x轴相切,且图象上相邻两个最高点之间的距离为.
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)在上的最大值和最小值.
16.(本小题满分14分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知sinB+sinC=msinA(m∈R),且a2-4bc=0.
(1)当a=2,m=时,求b,c的值;
(2)若角A为锐角,求实数m的取值范围.
17.(本小题满分15分)
已知数列{an}的前n项和是Sn,且满足a1=1,Sn+1=3Sn+1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)在数列{bn}中,b1=3,bn+1-bn=(n∈N*),若不等式λan+bn≤n2对n∈N*有解,求实数λ的取值范围.
18.(本小题满分15分)
如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是等腰梯形,其中AB为2米,梯形的高为1米,CD为3米,上部是个半圆,固定点E为CD的中点.MN是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆(横杆面积可忽略不计),且滑动过程中始终保持和CD平行.当MN位于CD下方和上方时,通风窗的形状均为矩形MNGH(阴影部分均不通风).
(1)设MN与AB之间的距离为x米,试将通风窗的通风面积S(平方米)表示成关于x的函数y=S(x);
(2)当MN与AB之间的距离为多少米时,通风窗的通风面积S取得最大值?
19.(本小题满分16分)
已知函数f(x)=lnx,g(x)=x2-x-m.
(1)求过点P(0,-1)的f(x)的切线方程;
(2)当m=0时,求函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,a]上的最大值;
(3)证明:
当m≥-3时,不等式f(x)+g(x)20.(本小题满分16分)
已知数列{an}的各项均为正数,a1=1,a2=2,且anan+3=an+1an+2对任意n∈N*恒成立,记{an}的前n项和为Sn.
(1)若a3=3,求a5的值;
(2)证明:
对任意正实数p,{a2n+pa2n-1}成等比数列;
(3)是否存在正实数t,使得数列{Sn+t}为等比数列?
若存在,求出此时an和Sn的表达式;若不存在,请说明理由.
密封线
(这是边文,请据需要手工删加)
密封线
____________ 号学 ____________ 名姓 ____________ 级班 ____________ 校学
(这是边文,请据需要手工删加)
苏州市2017~2018学年度第一学期期中考试·数学附加题 第页(共2页)
(这是边文,请据需要手工删加)
苏州市2017~2018学年度第一学期期中考试
数学附加题21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题作答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修41:
几何证明选讲(本小题满分10分)
如图,AB为圆O的直径,点C在圆O上,CF⊥AB,垂足为F,D为线段CF上任意一点,延长AD交圆O于点E,∠AEC=30°.
(1)求证:
AF=FO;
(2)若CF=,求AD·AE的值.
B.选修42:
矩阵与变换(本小题满分10分)
已知矩阵A=,α=,求A49α.
C.选修44:
坐标系与参数方程(本小题满分10分)
在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=acos(a≠0).
(1)求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程;
(2)若圆C的任意一条直径的两个端点到直线l的距离之和为,求实数a的值.
D.选修45:
不等式选讲(本小题满分10分)
设x,y均为正数,且x>y,求证:
2x+≥2y+3.
【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
在小明的婚礼上,为了活跃气氛,主持人邀请10位客人做一个游戏.第一轮游戏中,主持人将标有数字1,2,…,10的十张相同的卡片放入一个不透明箱子中,让客人依次去摸,摸到数字6,7,…,10的客人留下,其余的淘汰;第二轮放入1,2,…,5五张卡片,让留下的客人依次去摸,摸到数字3,4,5的客人留下;第三轮放入1,2,3三张卡片,让留下的客人依次去摸,摸到数字2,3的客人留下;同样第四轮淘汰一位,最后留下的客人获得小明准备的礼物.已知客人甲参加了该游戏.
(1)求甲拿到礼物的概率;
(2)设ξ表示甲参加游戏的轮数,求ξ的概率分布列和数学期望E(ξ).
23.(本小题满分10分)
(1)若不等式(x+1)ln(x+1)≥ax对任意x∈[0,+∞)恒成立,求实数a的取值范围;
(2)设n∈N*,试比较++…+与ln(n+1)的大小,并证明你的结论.
密封线
(这是边文,请据需要手工删加)
苏州市2017~2018学年度第一学期期中考试
数学参考答案
1.{1} 2.(1,2)∪(2,+∞) 3.充分不必要
4.1 5. 6.4 7. 8.(-2,0)∪(1,2)
9.- 10.(1,2] 11. 12.+1
13. 14.
15.
(1)因为f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为,
所以f(x)的周期为,
所以=且a>0,
所以a=2,
此时f(x)=-sin++b.
因为f(x)的图象与x轴相切,
所以=且b>0,
所以b=-.
(2)由
(1)可得f(x)=-sin(4x+)+.
因为x∈,所以4x+∈,
所以当4x+=,即x=时,f(x)有最大值为;
当4x+=,即x=时,f(x)有最小值为0.
16.
(1)由题意得b+c=ma,a2-4bc=0.
当a=2,m=时,b+c=,bc=1,
解得或
(2)cosA====2m2-3.
因为A为锐角,所以cosA=2m2-3∈(0,1),
所以又由b+c=ma可得m>0,
所以17.解:
(1)因为Sn+1=3Sn+1(n∈N*),
所以Sn=3Sn-1+1(n∈N*,n≥2),
所以an+1=3an(n∈N*,n≥2).
又当n=1时,由S2=3S1+1得a2=3符合a2=3a1,
所以an+1=3an(n∈N*),
所以数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列,
所以an=3n-1(n∈N*).
(2)因为bn+1-bn==3(n∈N*),
所以{bn}是以3为首项,3为公差的等差数列,
所以bn=3+3(n-1)=3n(n∈N*),
所以λan+bn≤n2,即λ≤对n∈N*有解.
设f(n)=(n∈N*).
因为f(n+1)-f(n)=-=,
所以当n≥4时,f(n+1)f(n),
所以f
(1)(2)f(5)>f(6)>…,
所以f(n)max=f(4)=,
所以λ≤.
18.
(1)当0≤x<1时,过点A作AK⊥CD,垂足K,如图1,则AK=1,DK==,HM=1-x.
由==2,得DH==,
所以HG=3-2DH=2+x,
所以S(x)=HM·HG=(1-x)(2+x)=-x2-x+2;
当1所以MN=2,
所以S(x)=MN·ET=2·(x-1).
综上所述,
S(x)=
图1
图2
(2)当0≤x<1时,S(x)=-x2-x+2=-+在[0,1)上单调递减,
所以S(x)max=S(0)=2;
当1S(x)=2(x-1)≤2×=,
当且仅当x-1=,即x=+1∈时取等号,
所以S(x)max=,此时S(x)max=>2,
所以S(x)的最大值为.
答:
当MN与AB之间的距离为米时,通风窗的通风面积S取得最大值.
19.
(1)设切点坐标为(x0,lnx0),则切线方程为y-lnx0=(x-x0),
将点P(0,-1)代入上式,得lnx0=0,即x0=1,
所以切线方程为y=x-1.
(2)当m=0时,F(x)=lnx-x2+x,x∈(0,+∞),
所以F′(x)=-,x∈(0,+∞),
所以当00;当x>1时,F′(x)<0,
所以F(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
所以当0当a>1时,F(x)的最大值为F
(1)=0.
(3)f(x)+g(x)(x-2)ex+lnx-x.
设h(x)=(x-2)ex+lnx-x,x∈,要证m≥-3时m>h(x)对任意x∈均成立,只要证h(x)max<-3.下证此结论成立:
因为h′(x)=(x-1),
所以当设u(x)=ex-,则u′(x)=ex+>0,
所以u(x)在上单调递增.
因为u(x)在区间上的图象是一条不间断的曲线,且u=-2<0,u
(1)=e-1>0,
所以∃x0∈,使得u(x0)=0,即ex0=,lnx0=-x0,
所以当x∈时,u(x)<0,h′(x)>0;
当x∈(x0,1)时,u(x)>0,h′(x)<0,
所以函数h(x)在上单调递增,在[x0,1]上单调递减,
所以h(x)max=h(x0)=(x0-2)ex0+lnx0-x0=(x2-2)·-2x0=1--2x0.
因为y=1--2x在x∈上单调递增,
所以h(x0)=1--2x0<1-2-2=-3,即h(x)max<-3,
所以当m≥-3时,不等式f(x)+g(x)20.
(1)因为a1a4=a2a3,所以a4=6.
又a2a5=a3a4,
所以a5=a4=9.
(2)由已知得
两式相乘得anan+1an+3an+4=an+1aan+3.
因为an>0,所以anan+4=a(n∈N*),
所以{an}的奇数项和偶数项均构成等比数列.
设{an}的奇数项和偶数项的公比分别为q1,q2,则a2n=a2q=2q,a2n-1=a1q=q.
因为=,
所以==2=,即q1=q2.
设q1=q2=q,则a2n+pa2n-1=q(a2n-2+pa2n-3),且a2n+pa2n-1>0恒成立,
所以数列{a2n+pa2n-1}是首项为2+p,公比为q的等比数列.
(3)由
(2)知a2n=2qn-1,a2n-1=qn-1,且S1=1,S2=3,S3=3+q,S4=3+3q.
因为数列{Sn+t}为等比数列,
所以
即
即
解得或(舍去),
所以a2n=2qn-1=22n-1,a2n-1=22n-2,从而对任意n∈N*有an=2n-1,
所以Sn=20+21+22+…+2n-1==2n-1,
此时Sn+t=2n,=2为常数,满足{Sn+t}成等比数列,
综上,存在t=1使得数列{Sn+t}为等比数列,此时an=2n-1,Sn=2n-1(n∈N*).
数学附加题
21.A.
(1)如图,连结OC,AC.
因为∠AEC=30°,
所以∠AOC=2∠AEC=60°.
又OA=OC,所以△AOC为等边三角形.
因为CF⊥AB,
所以CF为△AOC中AO边上的中线,
所以AF=FO.
(2)如图,连结BE.
因为CF=,△AOC是等边三角形,
所以AF=1,AB=4.
因为AB为圆O的直径,所以∠AEB=90°,
所以∠AEB=∠AFD.
因为∠BAE=∠DAF,
所以△AEB∽△AFD,所以=,
所以AD·AE=AB·AF=4×1=4.
B.矩阵A的特征多项式为f(λ)==λ2-2λ-3,
令f(λ)=0,解得λ1=-1,λ2=3,
当λ1=-1时,对应的特征向量为α1=;
当λ2=3时,对应的特征向量为α2=,
所以α==α1+3α2,
所以A49α=λα1+3λα2=.
C.
(1)直线l的普通方程为x+2y-2=0,
圆C的直角坐标方程为+=.
(2)因为圆C的任意一条直径的两个端点到直线l的距离之和为,
所以圆心C到直线l的距离为,
即=,
解得a=3或a=-.
D.因为x>0,y>0,x-y>0,
所以2x+-2y=2(x-y)+
=(x-y)+(x-y)+
≥3=3,
所以2x+≥2y+3.
22.
(1)记“甲拿到礼物”为事件A.
在每一轮游戏中,甲留下的概率和他摸卡片的顺序无关,
则P(A)=×××=,
答:
甲拿到礼物的概率为.
(2)随机变量ξ的所有可能取值是1,2,3,4.
P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=×=,
P(ξ=3)=××=,
P(ξ=4)=××=,
随机变量ξ的概率分布列为
ξ
1
2
3
4
P
所以E(ξ)=1×+2×+3×+4×=2.
23.
(1)原问题等价于ln(x+1)-≥0对任意x∈[0,+∞)恒成立,
令g(x)=ln(x+1)-,
则g′(x)=.
当a≤1时,g′(x)=≥0恒成立,
所以g(x)在[0,+∞)上单调递增,
所以g(x)≥g(0)=0恒成立;
当a>1时,令g(x)=0,则x=a-1>0,
所以g(x)在(0,a-1)上单调递减,在(a-1,+∞)上单调递增,
所以g(a-1)0使得g(x)<0,不合题意.
综上所述,实数a的取值范围是(-∞,1].
(2)方法一:
在
(1)中取a=1,得ln(x+1)>(x∈(0,+∞)),
令x=(n∈N*),
上式即为ln>,
即ln(n+1)-lnn>,
所以
上述各式相加可得++…+方法二:
注意到故猜想++…+下面用数学归纳法证明该猜想成立.
证明:
①当n=1时,②假设当n=k时结论成立,即++…+在
(1)中取a=1,得ln(x+1)>(x∈(0,+∞)),
令x=(k∈N*),则那么,当n=k+1时,
++…++由①②可知++…+