小学数学6年级培优奥数讲义 第29讲 综合推理教师版.docx
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小学数学6年级培优奥数讲义第29讲综合推理教师版
第29讲综合推理
学会对一个问题进行分析、推理；
利用我们的推理来解决一些较简单的问题；
通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇于探索的意志品质。
解数学题，从已知条件到未知的结果需要推理，也需要计算，通常是计算与推理交替进行，而且这种推理不仅是单纯的逻辑推理，而是综合运用了数学知识和专门的生活常识相结合来运用。
这种综合推理的问题形式多样、妙趣横生，也是小学数学竞赛中比较流行的题型。
解答综合推理问题，要恰当地选择一个或几个条件作为突破口。
统称从已知条件出发可以推出两个或两个以上结论，而又一时难以肯定或否定其中任何一个时，这就要善于运用排除法、反证法逐一试验。
当感到题中条件不够时，要注意生活常识、数的性质、数量关系和数学规律等方面寻找隐蔽条件。
例1、甲、乙两队进行象棋对抗赛，甲队的三人是张、王、李，乙队的三人是赵、钱、孙，按照以往的比赛成绩看，张能胜钱，钱能胜李，李能胜孙，但是第一轮的三场比赛他们都没有成为对手．请问：
第一轮比赛的分别是谁对谁？
【解析】根据上述分析可知：
张能胜钱，说明第一轮只会碰赵或者孙；
钱能胜李，说明第一轮只会碰张，或者是王；
李能胜孙，说明第一轮只会碰赵或者钱
综上所述：
第一轮比赛是张与孙，王与钱，李与赵
答：
第一轮比赛是张与孙，王与钱，李与赵．
例2、甲、乙、丙三名选手参加马拉松比赛，起跑后甲处在第一的位置，在整个比赛过程中，甲的位置共发生了7次变化．比赛结束时甲是第几名？
（注：
整个比赛过程中没有出现三人跑在同一位置的情形．）
【解析】据题意可知，当甲与共交换了奇数次位置时，甲一定是第二名；
偶数次时，甲一定不在第二名．
所以甲共交换了7次位置时，7是奇数，则甲一定是在第二名．
答：
比赛的结果甲是第二名．
例3、6支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分，请问：
（1）各队总分之和最多是多少分？
最少是多少分？
（2）如果在比赛中出现了6场平局，那么各队总分之和是多少？
【解析】
（1）每支球队赛5场，全胜得分最多：
5×3=15（分）
最少得分就是全输得0分：
答：
各队总分之和最多是15分，最少是0分．
（2）6×5÷2=15（场）
6×2+（15﹣6）×3
=12+27
=39（分）
答：
那么各队总分之和是39分．
例4、编号为1、2、3、4、5、6的同学进行围棋比赛，每2个人都要赛1盘．现在编号为1、2、3、4、5的同学已经赛过的盘数和他们的编号数相等．请问：
编号为6的同学赛了几盘？
【解析】因为是每2个人都要赛1盘，所以可以这样推理：
①5号赛了5场，说明他与1，2，3，4，6，各赛了1场；
②1号赛1场，那么1号只跟5号赛了1场；
③4号赛了4场，除了跟5号赛1场，另外3场是跟2，3，6号；
④那么2号此时分别和5号、4号已赛了2场；
④3号赛了3场，除了和4号，5号之外，又和6号赛了1场．
将上述推理过程用图表示为：
答：
此时6号已经赛了3场．
例5、甲、乙、丙、丁、戊五个同学的各科考试成绩如表，已知：
①每门功课五个人的分数恰巧分别为l、2、3、4、5；
②五个人的总分互不相同，且从高到低的顺序排列是：
甲、乙、丙、丁、戊；
③丙有四门功课的分数相同．请你把表格补充完整．
语文数学英语音乐美术总分
田24
乙
丙
丁4
戊35
【解析】因为甲得24分，而戊得英语得5分，所以甲的英语只能得4分，根据题意可得甲的其它科目都得5分；而戊是最后一名，且语文3分，英语5分，所以其它科目就是1，2，4分，因为是最后一名，甲得分数是5或者是4，所以戊的分数不会出现4分和2分，只能是1分，据此戊得11分；
语文数学英语音乐美术总分
田5545524
乙
丙
丁4
戊3151111
而丙有四门功课的分数相同，且每门功课五个人的分数恰巧分别为l、2、3、4、5，丙得分最少是13分，所以丙的成绩如下：
语文数学英语音乐美术总分
田5545524
乙
丙1333313
丁4
戊3151111
所以乙的数学是2分，英语是1或者2分，音乐是2或者4分，美术是2或者4分，语文是2或者4分，且乙的总分小于19分大于13分，据此乙的成绩分别是4，2，1，4，4；进而推出丁的成绩即可．
根据上述分析及其题意得出他们的成绩如下：
数学英语音乐美术总分
田545524
乙214415
丙333313
丁422212
戊151111
例6、九个外表完全相同的小球，重量分别是1，2，…，9．为了加以区分，它们都被贴上了数字标签，可是有一天，不知被哪个调皮鬼重新乱贴了一通．我们用天平做了两次称量，得到如下结果：
（1）①②＞③④⑤⑥⑦；
（2）③⑧=⑦，请问：
⑨号小球的重量是多少？
【解析】根据分析及其题意可得：
①②必须有一个是8，一个是9的；
所以⑦是5，6，7都可以．
（1）当⑦=5时，
③=1，⑧=4
则1+2+3+5+6=17不符合题意；
③=2，⑧=3时，
则：
1+2+4+5+6=18，
显然不合适；
（2）当⑦=6时，
③=2，⑧=4
则：
1+2+3+5+6=17不合适；
③=1，⑧=5
则1+2+3+4+6=16
故此①②是8和9中的一个，③是1，⑧是5，⑦是6，④⑤⑥就是2，3，4中的一个，
所以⑨是7；
（3）当⑦=7时，
③+④+⑤+⑥+⑦＞17不符合题意．
答：
：
⑨号小球的重量是7．
例7、在一次射击练习中，甲、乙、丙三位战士打了四发子弹，全部中靶，其中命中情况如下：
（1）每人四发子弹命中的环数各不相同；
（2）每人四发子弹命中的总环数均为17环；
（3）乙有两发命中的环数分别与甲其中两发一样，乙另外两发命中的环数与丙其中两发一样；
（4）甲与丙只有一发环数相同；
（5）每人每发子弹的最好成绩不超过7环．
问：
甲与丙命中的相同环数是几？
【解析】根据
（1）、
（2）、（5）三个条件，可以列举出四个加数互不相同，且最大加数不超过7，总和为17的所有情况：
1+3+6+7=17①；
1+4+5+7=17②；
2+3+5+7=17③；
2+4+5+6=17④；
因为（3）乙有两发命中的环数分别与甲其中两发一样，乙另外两发命中的环数与丙其中两发一样；
只有算式③中的加数2、3、5、7中的不同的两对分别出现在两个算式①④中；
算式①④的加数也符合（4）甲与丙只有一发环数相同；
所以：
甲：
1，3，6，7
乙：
2，3，5，7
丙：
2，4，5，6
所以：
甲与丙的相同环数为6．
例8、9个小朋友从前到后站成一列．现在将红黄蓝三种颜色的帽子各三顶分别戴在这些小朋友的头上．每个小朋友都只能看到站在他前面的小朋友帽子的颜色．后来统计了一下，发现他们看到的红颜色帽子的总次数等于他们看到的黄颜色帽子的总次数，也等于他们看到的蓝颜色帽子的总次数．已知从前往后数第三个小朋友戴着红帽子，第六个小朋友戴着黄帽子，请问：
最后一个小朋友戴着什么颜色的帽子？
【解析】（1+2+3+4+…+8）÷3
=36÷3
=12（次）
第三个人是红帽子，已经被6个人看到，所以剩下两顶帽子要么是在第4和第8，要么是
第5和第7，这样两顶帽子被看到的次数是6，6+6=12，刚好；
最后一个小朋友不可能是戴红帽子，他也不可能带黄帽子：
因为第6个是黄帽子，被3个人看到，如果最后一个是黄帽子，那么就没人看到了，剩下的一顶黄帽子即使被第一个小朋友戴，也才被8个人看到，3+0+8=11
所以最后一个小朋友戴的是蓝帽子；
例9、现有A、B、C共3支足球队举行单循环比赛，即每两队之间都要比赛一场．比赛积分的规定是胜一场积2分，平一场积1分，负一场积0分，表1是一张记有比赛详细情况表格，但是，经过核对，发现表中恰好有4个数字是错误的，请你把正确的结果填入表2中．
表1
场数胜负平进球失球积分
A2201023
B2110362
C1212011
表2
场数胜负平进球失球积分
A
B
C
【解析】根据题意及其条件可得：
场数胜负平进球失球积分
A2101623
B2110362
C2011011
Ø课堂狙击
1.甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘．到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘．问：
小强已经赛了几盘？
分别与谁赛过？
【解析】用五个点分别表示参加比赛的五个人，如果某两人已经赛过，就用线段把代表这两个人的点连接起来，因为甲已经赛了4盘，除了甲以外还有4个点，所以甲与其他4个点都有线段相连（见左下图），
因为丁只赛了1盘，所以丁只与甲有线段相连，
因为乙赛了3盘，除了丁以外，乙与其他三个点都有线段相连（见右上图），
因为丙赛了2盘，右上图中丙已有两条线段相连，所以丙只与甲、乙赛过，
由上页右图清楚地看出，小强赛过2盘，分别与甲、乙比赛，
答：
小强赛过2盘，分别与甲、乙比赛．
2.有10名选手参加乒乓球单打比赛，每名选手都要和其它选手各赛一场，而且每场比赛都分出胜负，请问：
（1）总共有多少场比赛？
（2）这10名选手胜的场数能否全都相同？
（3）这10名选手胜的场数能否两两不同？
【解析】
（1）
×10×（10﹣1）=45（场），
答：
一共要进行45场比赛．
（2）45÷10=4（个）…5（场）（不相同，有余数．）
答：
这10名选手胜的场数不相同．
（3）45可以分成1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的数列（有五列，是整数，可以）
答：
这10名选手胜的场数可以两两不同．
3.5支球队进行单循环赛，每两队之间比赛一场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，打平则双方各得1分，最后5支球队的积分各不相同，第三名得了7分，并且和第一名打平．请问：
这5支球队的得分，从高到低依次是多少？
【解析】由题意可知，每支球队进行了4场比赛，
第三名得了7分，并且和第一名打平，那么另三场只能是两胜一负；
因各队得分都不相同，第一名平一场，另三场只能胜，积3×3+1=10分，也就是胜2、4、5名；
第二名只能是三胜一负，积3×3+0=9分．也就是胜3、4、5；
第三名胜4、5，负2，平1；
第四名为负1、2、3，第五名也负1、2、3名；
又因各队比分不同则4胜5积3分，
则第五名全负，积0分；
即：
第一名：
10分，
第二名：
9分，
第三名：
7分，
第四名：
3分，
第五名：
0分．
答：
第一名：
10分，第二名：
9分，第三名：
7分，第四名：
3分，第五名：
0分．
4.红、黄、蓝三支乒乓球队进行比赛，每队派出3名队员参赛．比赛规则如下：
参赛的9名队员进行单循环赛决出名次，按照获胜场数进行排名，并按照排名获得一定的分数，第一名得9分，第二名得8分，…，第九名得1分；除产生个人名次外，每个队伍还会计算各自队员的得分总和，按团体总分的高低评出团体名次．最后，比赛结果没有并列名次．其中个人评比的情况是：
第一名是一位黄队队员，第二名是一位蓝队队员，相邻的名次的队员都不在同一个队．团体评比的情况是：
团体第一的是黄队，总分16分；第二名是红队，第三名是蓝队．请问：
红队队员分别得了多少分？
【解析】1）由于1到9名分数分别是9到1分，那么总共9人总分就是45分
2）由于团队第一名16分，第二名只能是小于等于15，第三名小于等于14．而总分是45．所以第二，第三只能分别是15分，14分．（因为16+15+14=45，没有其他组合等于45分）
因此第二名红对共得15分．
3）由于单打前两名分别由黄队和蓝队的队员获得．因此红对个人得分最多的一个小于等于7分．又因为相邻名次没有同队的人员，所以红对的三人得分可能是7，5，3或者7，4，2等几种（没有列全）．但是红队总分能达到15分的组合只有7+5+3=15．
所以红对队员分别得了7，5，3分．
答：
红队队员分别得了7，5，3分．
5.一次考试共有10道判断题，正确的画“√”，错误的画“×”，每道题10分，满分为100分．甲、乙、丙、丁4名同学的解答及甲、乙、丙3名同学得分如下表所示．丁应得 90 分．
题号
学生12345678910得分
甲××√√××√×√√70
乙×√×√√××√√×70
丙√×××√√√×××60
丁×√×√√×√×√×
【解析】由于A、B有1、4、6、9这四道题答案相同，6道题答案不同．
且每人都是70分，所以4道答案相同的题都答对了，6道答案不同的题各对了3道；
由此可知第1、4、6、9题的答案分别是×、√、×、√；
由于丙的1、4、6、9题的答案分别是√、×、√、×；所以丙的这四道题答错，又丙得60分，
所以丙的其他题目全部答对，即2，3，5，7，8，10的答案分别是×，×、√、√、×、×．
这10道题的答案分别是：
所以丁的只的2题，扣10分，得90分．
故答案为：
90．
6.五行（火水木金土）相生相克，其中每一个元素都生一个，克一个，被一个生和被一个克，水克火是我们熟悉的，有一个俗语叫做“兵来将挡，水来土掩”，是说土能克水．另外，水能生木，火能生土．请把五行的相生相克关系画出来．
【解析】根据五行相生：
水生木→木生火→火生土→土生金→金生水
五行相克：
木克土→土克水→水克火→火克金→金克木
得出图为：
7.4支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛结果，各队的总得分恰好是4个连续的自然数．问：
输给第一名的队的总分是多少？
【解析】4×（4﹣1）÷2=6场，
即共要进行6场比赛．
又各队的总得分恰好是四个连续的自然数．
则第一名肯定不能是胜两场，否则得分不连续，
只胜一场的队有两个，另外两个队伍一场都没胜，因为胜一场至少3分，
一场没胜至多3分．得分只能是5、4、3、2或4、3、2、1．
如果是4、3、2、1，3分的队伍需要输两场，也就是别的至少两个队伍得到至少3分，
但最后两名都没胜过，因此不可能是4、3、2、1．只能是5、4、3、2．
由此可得：
第一名：
1胜2平0负5分（甲）胜乙平丙平丁
第二名：
1胜1平1负4分（乙）胜丁平丙负甲
第三名：
0胜3平0负3分（丙）平甲平乙平丁
第四名：
0胜2平1负2负（丁）平甲负乙平丙
所以输给第一名的是乙，总分为4分．
8.A、B、C、D四个足球队进行循环比赛．赛了若干场后，A、B、C三队的比赛情况如表：
问：
D赛了几场？
D赛的几场的比分各是多少？
场数胜平负进球失球
A321020
B211043
C200236
D
【解析】由分析可知，4个队共赛4×3=12场，去掉重复的情况，实际只赛了12÷2=6场，结合表中比赛情况可知：
A赛了3场有一场是跟D进行的，B、C各赛了2场，都没有跟D进行，所以D队一共赛了1场，是跟A进行的，由于A的1平是跟B进行的，两场胜利是跟C、D进行的，所以D队与A队比赛的比分是0：
1．
答：
D对只与A对赛了1场．比分是0：
1．
9.一次象棋比赛共有10位选手参加，他们分别来自甲、乙、丙3个队．每人都与其余9人比赛一盘，每盘胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分．结果乙队平均得分为3.6分，丙队平均得分为9分，那么甲队平均得多少分？
【解析】据题意，可得10名选手共赛：
10×9÷2=45盘，总分为45分；
因为丙队平均得分为9分，而最多只能有一人得分为9分，
可得丙队有1人，而且9盘比赛全部获胜，
则甲乙两队总得分为：
45﹣9=36分；
根据题意，可得每个人的得分是整数或整数加上0.5分，
可得乙队的总得分，即3.6乘以乙队的人数是整数或整数加上0.5分，
利用穷举法，可得乙队的人数只能是5，
则甲队的人数是：
9﹣5=4（人），
故甲队平均得分是：
（36﹣3.6×5）÷4
=18÷4
=4.5（分）
答：
甲队平均得4.5分．
Ø课后反击
1.有A、B、C三支足球队，每两队比赛一场，比赛结果为：
A：
两胜，共失2球；B：
进4球，失5球；C：
有一场踢平，进2球，失8球．则A与B两队间的比分是多少？
【解析】总进球=总失球
A进球+4+2=2+5+8
A进球=9
A全胜那么B与C打平
又因为B比C多进2球
那么B对A进的球比C对A进的球多2个
又因为A只失2球
那么B对A进2球C对A进0球
那么B：
C=2：
2
那么A：
B=3；2
答：
A与B两队间的比分是3：
2．
2.赵、钱、孙、李、周5户人家，每户至少订了A、B、C、D、E这5种报纸中的一种．已知赵、钱、孙、李分别订了其中的2、2、4、3种报纸，而A、B、C、D这4种报纸在这5户人家中分别有1、2、2、2家订户．周姓订户订有这5种报纸中的几种？
报纸E在这5户人家中有几家订户？
【解析】赵钱孙李订的份数：
2+2+4+3=11份
A，B，C，D订的份数：
1+2+2+2=7份
根据题意可知周至少订了1份
所以5人一共最少订了11+1=12份
那么订E的就有12﹣7=5户
如果周订的不止1份，假设周至少订了2份
那么5人订报总数至少为11+2=13份
那么订E的至少有：
13﹣7=6户，这与一共有5户矛盾
所以周只能订1种，订E的有5户
答：
周姓订户订有这5种报纸中的1种，报纸E在这5户人家中有5家订户．
3.A、B、C、D、E、F六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场），每天同时在3个场地各进行一场比赛，已知第一天B对D，第二天C对E，第三天D对F，第四天B对C请问：
第五天与A队比赛的是哪支队伍？
【解析】第二天A不能对B，否则A对B、D对F与第三天D对F矛盾，所以应当B对F、A对D．
第三天A也不能对B，否则C对E与第二天C对E矛盾，应当B对E（不能B对C，与第四天矛盾），A对C．
第四天B对C，D对E，A对F，所以第五天A对B．
答：
第五天与A队比赛的是B支队伍．
4.A、B、C、D、E五位同学分别从不同的途径打听到五年级数学竞赛获得第一名的那位同学的情况：
A打听到的：
姓李，是女同学，13岁，东城区；
B打听到的：
姓张，是男同学，11岁，海淀区；
C打听到的：
姓陈，是女同学，13岁，东城区；
D打听到的：
姓黄，是男同学，11岁，西城区；
E打听到的：
姓张，是男同学，12岁，东城区．’
实际上第一名同学的情况在上面都出现过，而且这五位同学的消息都仅有一项正确，那么第一名的同学应该是哪个区的，今年多少岁呢？
【解析】由于五位同学打听到的情况，每人仅有一项是正确的，所以，这位获第一名的同学不可能姓李或陈，这是因为A，C打听到的情况除了姓什么不一样外其他都一样，如姓李是正确的，那么就不是女同学，不是13岁，不是东城区，这样C打听到的姓陈又是正确的，互相矛盾．如果姓张，B，E打听到的姓什么是正确的，其他是不正确的，即不是男同学，不是11，12岁，不是海淀区，东城区．那么，只能是女同学，13岁，西城区，这样，A打听到的就有两项是正确的，显然矛盾，那么，最后剩下D，D打听到的姓黄应是正确的．又由D知不是男同学，是女同学；再看A和D可知年龄不是11岁，13岁，不是东城区也不是西城区人，而是12岁，海淀区．
综上所述，获第一名的同学：
姓黄，女，12岁，海淀区．
答：
那么第一名的同学应该是海淀区的，姓黄，女，12岁．
5.10名选手参加象棋比赛，每两名选手间都要比赛一次，已知胜一场得2分，平一场得1分，负一场不得分．比赛结果：
选手们所得分数各不相同，前两名选手都没输过，前两名的总分比第三名多20分，第四名得分与后四名所得总分相等，问：
前六名的分数各为多少？
【解析】设第k名选手的得分为ak（1≤k≤10），依题意得：
a1＞a2＞a3＞…a9＞a10
a1≤1+2×（9﹣1）=17，
a2≤a1﹣1=16，
a3+20=a1+a2，
所以a3≤13①，
又后四名棋手相互之间要比赛
=6场，每场比赛双方的得分总和为2分，
所以a7+a8+a9+a10≥12，
所以a4≥12而a3≥a4+1≥13，②所以由①②得：
a3=13，
所以a1+a2=33，
所以a1=17，a2=16，又因为a1≤a3﹣1=12，
所以a4=12，
因为a1+a2+a3+…a8+a9+a10=
×2=90，所以17+16+13+12+a5+a6+12=90，
而a5+a6≤a5+a5﹣1，
即：
a5≥10\frac{1}{2}，又a5＜a4=12，
则a5=11，a6=9，
答：
前六名得分分别是：
17分，16分，13分，12分，11分，9分．
6.阿奇和8个好朋友去李老师家玩，李老师给每人发了一顶帽子，并在每个人的帽子上写了一个两位数，这9个两位数互不相同，且每个小朋友只能看见别人帽子上的数．
李老师在纸上写了一个自然数A，问这9位同学：
“你们知道自己帽子上的数能否被A整除吗？
知道的请举手，”结果有4人举手．
李老师又问：
“现在你们知道自己帽子上的数能否被24整除吗？
知道的请举手．”结果有6人举手．
已知阿奇两次都举手了，并且这9位同学都足够聪明且从不说谎．请问：
除了阿奇之外的人帽子上8个两位数的总和是多少？
【解析】知道自己帽子上的数能否被A整除的人=知道自己的帽子的数不能被A整除，也就是说9个两位数只有5个能被A整除，所以5A≤99，6A＞100，所以A只能在17～19中取数．
同理，知道自己帽子上的数能否被24整除的人=知道自己的帽子的数不能被24整除，24的倍数有24，48，72，96，按理应该有5人举手才对，那么说明至少有一个人肯定知道自己能被24整除，同时也说明了A只能是18，因为24的倍数里72能同时被18整除．
所以，其他8个人帽子上的两位数分别是：
18，36，54，（72），90，24，48，96，所以总和是438
重点回顾
（1）学会对一个问题进行分析、推理；
（2）利用我们的逻辑推理来解决一些推理的问题；
重点和难点突破：
（1）理解每一个题的逻辑关系；
（2）掌握推理的一般方法。
Ø本节课我学到了
Ø我需要努力的地方是
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