人教版初中数学七年级下册522 平行线的判定学案.docx
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人教版初中数学七年级下册522平行线的判定学案
平行线的判定(基础)知识讲解
【学习目标】
1.熟练掌握平行线的画法;
2.掌握平行公理及其推论;
3.掌握平行线的判定方法,并能运用“平行线的判定方法”,判定两条直线是否平行.
【要点梳理】
要点一、平行线的画法及平行公理
1.平行线的画法
用直尺和三角板作平行线的步骤:
①落:
用三角板的一条斜边与已知直线重合.
②靠:
用直尺紧靠三角板一条直角边.
③推:
沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.
④画:
沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.
2.平行公理及推论
平行公理:
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
推论:
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
要点诠释:
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”,而非直线上的点,要区别于垂线的第一性质.
(2)公理中“有”说明存在;“只有”说明唯一.
(3)“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
要点二、平行线的判定
判定方法1:
同位角相等,两直线平行.如上图,几何语言:
∵ ∠3=∠2
∴ AB∥CD(同位角相等,两直线平行)
判定方法2:
内错角相等,两直线平行.如上图,几何语言:
∵ ∠1=∠2
∴ AB∥CD(内错角相等,两直线平行)
判定方法3:
同旁内角互补,两直线平行.如上图,几何语言:
∵ ∠4+∠2=180°
∴ AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)
要点诠释:
平行线的判定是由角相等或互补,得出平行,即由数推形.
【典型例题】
类型一、平行公理及推论
1.下列说法中正确的有()
①一条直线的平行线只有一条;②过一点与已知直线平行的直线只有一条;③因为a∥b,c∥d,所以a∥d;④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
A.1个B2个C.3个D.4个
【答案】A
【解析】一条直线的平行线有无数条,故①错;②中的点在直线外还是在直线上位置不明确,所以②错,③中b与c的位置关系不明确,所以③也是错误的;根据平行公理可知④正确,故选A.
【总结升华】本题主要考察的是“平行公理及推论”的内容,要正确理解必须要抓住关键字词及其重要特征,在理解的基础上记忆,在比较中理解.
举一反三:
【变式】直线a∥b,b∥c,则直线a与c的位置关系是.
【答案】平行
类型二、平行线的判定
2.(2019秋•龙岗区期末)已知:
如图,∠C=∠1,∠2和∠D互余,BE⊥FD于点G.求证:
AB∥CD.
【思路点拨】首先由BE⊥FD,得∠1和∠D互余,再由已知,∠C=∠1,∠2和∠D互余,所以得∠C=∠2,从而证得AB∥CD.
【答案与解析】证明:
∵BE⊥FD,
∴∠EGD=90°,
∴∠1+∠D=90°,
又∠2和∠D互余,即∠2+∠D=90°,
∴∠1=∠2,
又已知∠C=∠1,
∴∠C=∠2,
∴AB∥CD.
【总结升华】此题考查的知识点是平行线的判定,关键是由BE⊥FD及三角形内角和定理得出∠1和∠D互余.
举一反三:
【变式1】(2019•郑州一模)如图,能判定EC∥AB的条件是( )
A.∠B=∠ACEB.∠A=∠ECDC.∠B=∠ACBD.∠A=∠ACE
【答案】D.
提示:
A、两个角不是同位角、也不是内错角,故选项错误;
B、两个角不是同位角、也不是内错角,故选项错误;
C、不是EC和AB形成的同位角、也不是内错角,故选项错误;
D、正确.
【变式2】已知,如图,BE平分∠ABC,CF平分∠BCD,∠1=∠2,求证:
AB//CD.
【答案】∵∠1=∠2
∴2∠1=2∠2,即∠ABC=∠BCD
∴AB//CD(内错角相等,两直线平行)
3.如图所示,由
(1)∠1=∠3,
(2)∠BAD=∠DCB,可以判定哪两条直线平行.
【思路点拨】试着将复杂的图形分解成“基本图形”.
【答案与解析】
解:
(1)由∠1=∠3,
可判定AD∥BC(内错角相等,两直线平行);
(2)由∠BAD=∠DCB,∠1=∠3得:
∠2=∠BAD-∠1=∠DCB-∠3=∠4(等式性质),即∠2=∠4
可以判定AB∥CD(内错角相等,两直线平行).
综上,由
(1)
(2)可判定:
AD∥BC,AB∥CD.
【总结升华】本题探索结论的过程采用了“由因索果”的方法.即在条件下探索由这些条件可推导出哪些结论,再由这些结论推导出新的结论,直到得出结果.
4.在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行吗?
为什么?
【答案与解析】
解:
这两条直线平行.理由如下:
如图:
∵b⊥a,c⊥a
∴∠1=∠2=90°
∴b∥c(同位角相等,两直线平行).
【总结升华】本题的结论可以作为两直线平行的判定方法.
举一反三:
【变式】已知,如图,EF⊥EG,GM⊥EG,∠1=∠2,AB与CD平行吗?
请说明理由.
【答案】
解:
AB∥CD.理由如下:
如图:
∵EF⊥EG,GM⊥EG(已知),
∴∠FEQ=∠MGE=90°(垂直的定义).
又∵∠1=∠2(已知),
∴∠FEQ-∠1=∠MGE-∠2(等式性质),
即∠3=∠4.
∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行).
平行线的判定(基础)巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1.下列关于作图的语句正确的是().
A.画直线AB=10厘米.
B.画射线OB=10厘米.
C.已知A,B,C三点,过这三点画一条直线.
D.过直线AB外一点画一条直线和直线AB平行.
2.下列判断正确的个数是().
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行;②两条不相交的直线叫做平行线;③在同一平面内不相交的两条射线是平行线.
A.0个B.1个C.2个D.3个
3.若直线a∥b,b∥c,则a∥c的依据是().
A.平行的性质
B.等量代换
C.平行于同一直线的两条直线平行
D.以上都不对
4.下列说法中不正确的是().
A.同位角相等,两直线平行.
B.内错角相等,两直线平行.
C.同旁内角相等,两直线平行.
D.在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行.
5.如图所示,给出了过直线
外一点P作已知直线l的平行线的方法,其依据是().
A.同位角相等,两直线平行B.内错角相等,两直线平行
C.同旁内角互补,两直线平行D.以上都不对
6.(2019•福州)下列图形中,由∠1=∠2能得到AB∥CD的是( )
A.
B.
C.
D
二、填空题
7.两条射线或线段平行,是指.
8.如图所示,直线a,b被c所截,∠1=30°,∠2:
∠3=1:
5,则直线a与b的位置关系是________.
9.(2019春•伊宁市校级月考)如图,
(1)要证AD∥BC,只需∠B= ,根据是 ;
(2)要证AB∥CD,只需∠3= ,根据是 .
10.如图,已知若∠1+∠2=180°,则∠3+∠4=,ABCD.
11.小军在一张纸上画一条直线,再画这条直线的平行线,然后依次画前一条直线的平行线,当他画到第十条直线时,第十条直线与第一条直线的位置关系是________.
12.已知直线a、b都过点M,且直线a∥l,b∥l,那么直线a、b是同一条直线,根据是________.
三、解答题
13.(2019春•南平期末)已知:
如图AB⊥BC,BC⊥CD且∠1=∠2,试说明:
BE∥CF.
解:
∵AB⊥BC,BC⊥CD(已知)
∴ = =90°( )
∵∠1=∠2(已知)
∴ = (等式性质)
∴BE∥CF( )
14.(黄石)已知如图,∠ABC=∠ADC,BF、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线,∠1=∠2,那么CD与AB平行吗?
写出推理过程.
15.如图所示,∠1=60°,∠2=60°,∠3=100°,要使AB∥EF,∠4应为多少度,说明理由.
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】D;
2.【答案】A;
【解析】①该点若在已知直线上,画不出与已知直线平行的直线;②平行线的定义必须强调在同一平面内,如图①中的AB与CC′不相交,但也不平行.③如图②中,射线AB与射线CD既不相交,也不平行.
3.【答案】C;
【解析】这是平行线的传递性,其实质是平行公理的推论.
4.【答案】C;
【解析】同旁内角互补,两直线平行.
5.【答案】A;
【解析】这种作法的依据是:
同位角相等,两直线平行.
6.【答案】B;
【解析】如图所示:
∵∠1=∠2(已知),
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行),故选B
二、填空题
7.【答案】射线或线段所在的直线平行;
8.【答案】平行;
【解析】由已知可得:
∠2=30°,所以∠1=∠2,可得:
a∥b.
9.【答案】∠1,同位角相等,两直线平行;∠2,内错角相等,两直线平行.
10.【答案】180°,∥;
【解析】∠1=∠3,∠2=4,可得:
∠3+∠4=∠1+∠2=180°.
11.【答案】平行;
【解析】平行公理的推论
12.【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;
【解析】这是平行公理的具体内容.
三、解答题
13.【解析】
解:
∵AB⊥BC,BC⊥CD(已知),
∴∠ABC=∠BCD=90°(垂直的定义),
∵∠1=∠2(已知),
∴∠3=∠4(等式性质),
∴BE∥CF(内错角相等,两直线平行).
故答案为:
∠ABC;∠BCD;90°;∠3;∠4;内错角相等,两直线平行.
14.【解析】
解:
CD∥AB.理由如下:
∵BF、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线,
∴∠3=
∠ADC,∠2=
∠ABC.
∵∠ABC=∠ADC,
∴∠3=∠2.
又∵∠1=∠2,
∴∠3=∠1.
∴CD∥AB(内错角相等,两直线平行).
15.【解析】
解:
∠4=100°.理由如下:
∵∠1=60°,∠2=60°,
∴∠1=∠2.
∴AB∥CD.
又∵∠3=∠4=100°,
∴CD∥EF.
∴AB∥EF.