几何问题.docx
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几何问题
几何问题
这里我们主要研究平面图形的面积计算、立体图形的表面积和体积计算。
解答这些题，除了要熟练掌握平面图形和立体图形的特征和计算公式外，还要深刻理解这些图形面积、体积公式推导过程，并且还要能够灵活地运用一些方法。
1．移动法就是把图形中的某一部分通过平移、旋转、翻折等方法移动位置，从而构成新的规则图形，进而解决问题。
2．分割法在要求两个图形问的大小关系时，把图形分割成若千个大小相等的基本单位，再通过基本单位的个数就可找到两者的关系。
3．代换法利用题中数量问的相等关系，在不影响结果的前提下，使计算简便或利用已知条件求出未知。
4．变形法没入水中和捞出水面的物体的体积可以通过储水器皿中水的上升或下降部分的体积来求得。
5．公式推导法就是根据图形计算公式的推导过程来寻找所求问题的本质，从而根据相关条件迅速求解的方法。
例1下面是一块长方形草地，长方形的长是16米，宽是lO米，中间有四条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么，草地部分的面积有多大?
[分析解答一]平行四边形的底是2米，高恰好是长方形的宽10米。
长方形路的长是16米，宽是2米。
（16－2）×（10—2）
=14×8
=112（平方米）
答：
草地部分的面积有112平方米。
[分析解答二]
16×2+10×2－2×2=48（平方米）
16×10—48=112（平方米）
例2图中三角形的高是5，面积是20，长方形的宽是7，长方形的面积是三角形面积的多少倍?
[分析解答一]三角形的面积是“底×高÷2”，长方形的面积是“长×宽”，根据图示，三角形的“底”等于长方形的“长”，假如长方形的宽等于三角形的高，长方形的面积就是三角形面积的2倍；假如长方形的宽等于三角形的高的x倍，那么长方形的面积就是三角形面积的2x倍。
7÷5×2=2．8
答：
长方形的面积是三角形面积的2．8倍。
[分析解答二]根据三角形面积公式先求出长方形的长，进而求出长方形与三角形面积的关系
20×2÷5=8
7×8=56
56÷20=2．8
例3如图所示，在长方形ABCD中，AB=100厘米，截去一个正方形EBCF，剩下的长方形AEFD的周长是多少?
[分析解答]因为截去的正方形的4条边长是相等的，所以AB=AE+EF，剩下长方形的长与宽的和就是100厘米，剩下长方形的周长就是100×2=200（厘米）。
例4一个长方形的周长24分米，如果它的长和宽各增加3分米，得到的新长方形比原长方形面积大多少平方分米?
[分析解答一]我们可以根据题意画出示意图。
（如下图）从图中可以看出要求的面积就是图中阴影部分的面积。
把阴影部分分割后，可以拼成一个长方形。
它的宽是3分米，它的长就是原长方形周长的一半加上3分米。
（24÷2+3）×3
=15×3
=45（平方分米）
答：
得到的新长方形比原长方形面积大45平方分米。
[分析解答二]假设原长方形的长是8分米，宽就是24÷2—8=4（分米），增加的面积是：
（8+3）×（4+3）一8×4
=11×7－32
=77－32
=45（平方分米）
例5李叔叔承包一块菜地，这块菜地共15畦，每畦都是长12米、宽1．5米，离菜地18米远处有一个池塘。
浇水池，李叔叔从池塘挑一担水后，绕着一畦菜地走一圈，正好浇一畦菜，他浇完整块菜地共走了多少米?
（从池塘挑第一次水算起，到全部浇完回到池塘为止）
[分析解答]浇第1畦回到池塘所走的路是18+（12+1．5）×2+18=63米。
浇第二畦回到池塘边所走的路比第一畦时多走1．5×2=3米，走了66米；浇第三畦回到池塘边所走的路比浇第二畦时多走1．5×2=3米，走了69米；每浇下一畦都比上畦多走3米，那么第四畦到第十五畦分别是：
72，75……105米，所以浇完整块地所走的路是：
63+66+……+102+105=1260（米）
答：
他共走了1260米。
例6图中所示，在一个大正方形中，有两个带阴影的小正方形。
较大的一个带阴影的小正方形的面积与较小的一个带阴影的小正方形的面积的比是多少?
[分析解答]根据条件可知无法直接求到两个正方形的面积大小，这就需要我们寻求一个标准来作比较。
经观察可以发现，大阴影正方形是大正方形面积的一半的一半，即它的
；小阴影正方形是大正方形面积的一半的
，即它的
。
小阴影正方形与大阴影正方形面积之比是
：
=8：
9。
例7小刚要做一个正方形画框，可是细木条的长短都不一样，有1，2，3，4，5，6，7，8，9厘米长的细木条各一根。
他可以怎么做这个画框?
（细木条不可折断，且连接处损耗不计）
[分析解答]他怎样做这个画框，关键是确定正方形的边长，19九根木条总长度为45厘米，因此正方形的边长最大是1l厘米，然后思考怎样得到四条ll厘米的边长，正方形的边长也可以是10厘米、9厘米……逐一推算可得以下几种方法。
方案
边长一
边长二
边长三
边长四
1
9+2
8+3
7+4
6+5
2
9+1
8+2
7+3
6+4
3
9
8+1
7+2
6+3
4
9
8+1
7+2
4+5
5
9
8+1
6+3
4+5
6
9
4+5
6+3
7+2
7
4+5
8+1
7+2
6+3
8
8
7+1
6+2
5+3
9
7
1+6
2+5
3+4
例8求阴影部分的面积。
单位：
厘米
[分析解答]我们把这个四边形看作同底的上、下两个三角形，上面三角形高是a，下面三角形的高是b。
那么，5×a÷2+5×6÷2＝5×（a+b）-2，又因为a+b=4，所以阴影部分的面积是：
5×4÷2=10（平方厘米）
答：
阴影部分的面积是10平方厘米。
例9在图中，小圆的
有阴影，大圆的
有阴影。
大圆阴影部分的面积与小圆阴影部分的面积之比是多少?
[分析解答]大圆中，阴影部分与空白部分的比是
：
（1一
）=5：
2，小圆中，空白部分与阴影部分面积的比是（1一
）：
=1：
2=2：
4。
因为两个圆的空白部分相等，所以大圆阴影部分的面积与小圆阴影部分的面积之比是5：
4。
解法二：
大圆面积×（1一
）=空白部分，小圆面积×（1一
）=空白部分，所以大圆面积×
=小圆面积×
，假设它们都等于1，因此，大圆面积相当于
，小圆面积相当于
，大小圆阴影部分的比是：
（
×
）：
（
×
）=5：
4
例10人民公园有一个正方形月季花坛，在月季花坛的四周种了2米宽的蝴蝶花。
如图，已知蝴蝶花的总面积是64平方米，求月季花的面积。
[分析解答一]把蝴蝶花的面积平均分成四个小长方形，每个长方形的宽都是2米。
面积都是64÷4=16（平方米），由此可求出长方形的长16÷2=8（米），8－2=6（米）求出正方形的边长，再求月季花的面积6×6=36（平方米）
（64÷4÷2－2）2=36（平方米）
答：
月季花的面积是36平方米。
例11求阴影部分面积。
（单位：
厘米）
[分析解答一]将图中左半边阴影部分向右翻折，与右上部分的
阴影合拼成斜边为4厘米的等腰直角三角形。
如下图：
4×4÷4=4（平方厘米）
答：
阴影部分的面积是4平方厘米。
[分析解答二]
4×4÷2=8（平方厘米）
（4÷2）×（4÷2）÷2=2（平方厘米）
3．14×（4÷2）2÷4=3．14（平方厘米）
3．14－2+（8－2－3．14）=4（平方厘米）
例12下图由直径分别为4厘米、6厘米和10厘米的三个半圆所组成的图形，求图中阴影部分的周长。
[分析解答一]图中直径为6厘米和4厘米的两个圆的周长之和等于直径为（6+4）=10厘米的圆的周长，因此，甲乙两条线之和等于丙。
求图中阴影部分的周长就是求直径10厘米圆的周长。
3．14×（6+4）=31．4（厘米）
答：
图中阴影部分的周长是31．4厘米。
[分析解答二]图中阴影部分的周长由三部分构成，三部分都是所在圆周长的一半，都可由公式叮Td÷2得到。
3．14×6÷2=9．42（厘米）
3．14×4÷2=6．28（厘米）
3．14×（6+4）÷2=15．7（厘米）
9．42+6．28+1．57=31．4（厘米）
例13图中正方形的面积是24平方米，求圆的面积。
[分析解答]设：
图的半径是r，则正方形的面积=
圆的面积=
（平方厘米）
答：
圆的面积是37．68平方厘米。
例14一只羊被拴在边长3米的建筑物墙角A处，周围都是草地，绳长4米（如图）。
（1）求羊所能吃到草的地方的总面积。
（2）如有一堆鲜草距A处有4．1米，请问这只羊能吃到这堆鲜草吗?
[分析解答]绳长4米拴在A点，羊的活动范围是以A为圆心，4米为半径的圆，但边长3米的建筑物包含在这个圆内，因此要减去圆心角600的扇形面积，还有在三角形下面有两个小扇形部分羊是可以吃到草的，所以再加上这两个扇形面积，才是羊能吃到草的面积。
（如图）
=14π（平方米）
=43．96（平方米）
答：
羊所能吃到草的地方的总面积为43．96平方米。
（2）因为这堆鲜草距A处4．1米，4．1米>4米，所以这只羊不能吃到这堆鲜草。
例15用绿、白两种颜色的小正方形瓷砖400块铺成一块正方形墙面，这个墙面最外一周铺的是白色瓷砖，由外到里的第二周是绿色瓷砖，第三周是白色的，第四周又是绿色的……这样依次下去，问这个墙面上绿色瓷砖有多少块?
[分析解答一]总共400块瓷砖铺成一个正方形墙面，可知最外一周每边20块，最里一周每边2块，共十周，从外往里，绿色的在双数层上，每周边长分别是18块、14块、10块、6块、2块。
分别求出每周的块数再相加。
（18—1）×4+（14—1）×4+（10—1）×4+（6一1）×4+（2一1）×4=180（块）
[分析解答二]外面一周所铺的块数比它相邻的里面一周所铺地块数多8块，铺白色瓷砖的五周比铺绿色瓷砖的五周总共多的块数是：
8×5=40（块）
所以绿瓷砖块数是
（400—40）÷2=180（块）
答：
这个墙面上绿色瓷砖180块。
例16周长50厘米、宽40厘米的长方形铁皮，做一只深lO厘米的无盖的长方体盒（焊接处铁皮厚度不计）。
这个长方体盒的容积是多少?
[分析解答一]
如图所示，在四个角剪去一个边长10厘米的正方形，再焊接成长方体，长、宽、高分别是30cm，20cm，lOcm．容积：
（50－10×2）×（40一10×2）×10
=6000（立方厘米）
答：
长方体盒的容积是6000立方厘米。
[分析解答二]
如图所示，将剪下的2个正方形焊接到右边，这样做成的长方体
长、宽、高分别是40cm，20cm，lOcm，容积是：
（50－10）×（40－10×2）×10=8000（立方厘米）
答：
长方体盒的容积是8000立方厘米。
例17把8个小正方体拼成一个大正方体。
已知小正方体的表面积是54平方厘米，求大正方体的表面积。
[分析解答一]小正方体的表面积是54平方厘米。
每个面的面积就是54÷6=9（平方厘米），大正方体每个面的面积是9×4=36（平方厘米），大正方体的表面积就是36×6=216（平方厘米）。
54÷6×4×6=216（平方厘米）
答：
大正方体的表面积是216平方厘米。
[分析解答二]因为大正方体每个面的面积都是小正方体每个面面积的4倍，所以大正方体的表面积也必定是小正方体表面积的4倍。
54×4=216（平方厘米）
[分析解答三]先求出小正方体每个面的面积
54÷6=9（平方厘米）
由小正方体一个面的面积是9平方厘米可知小正方体的棱长是3厘米。
9=3×3
（3×2）2×62=216（平方厘米）
例18一个圆柱体的表面积和长方形的面积相等，长方形的长等于圆柱体的底面周长，已知长方形的面积是251．2平方厘米，圆柱体的底面半径是2厘米，圆柱体的高是多少?
[分析解答一]把一个圆柱体表面展开后是一个长方形和2个圆形，长方形的长是圆柱底面周长，而2个圆形又可以剪拼成一个长方形，并且它的长也是圆柱底面的周长，它的宽是圆柱底面半径。
如
下图：
251．2÷（2×3．14×2）－2
=251．2÷12．56－2
=20－2=18（厘米）
答：
圆柱体的高是18厘米。
[分析解答二]
（251．2－3．14×22x2）÷（2×3．14×2）
=（251．1－25．12）÷12．56=18（厘米）
例19一个圆柱体的体积是50．24立方厘米，底面半径是2厘米。
将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米?
[分析解答]根据圆柱体的体积公式推导过程，要求增加的表面
积，实际上就是求拼成的长方体的左、右两个面积之和，从拼成的长
方体来看：
体积÷长=右侧面积。
解法一：
50．24÷（2×3．14）×2=16（平方厘米）
答：
表面积增加了16平方厘米。
解法二：
50．24÷（3．14×22）=4（厘米）
2×4×2=15（平方厘米）
解法三：
用长方体的表面积减去圆柱体的表面积。
50．24÷（3．14×22）=4（厘米）
3．14×2=6．28（厘米）
（6．28×2+6．2．8×4+4×2）×2=91．35（平方厘米）
2×3．14×2×4+3．14×22×2=75．36（平方厘米）
91．36－75．36=15（平方厘米）
例20把棱长3分米的正方体木块平均分成27个小正方体后，表面积增加了多少平方分米?
[分析解答]要把正方体木块平均分成27个小正方体，必须按
下图进行分割。
每分割一处，表面积就增加2个边长3分米的正方
形面积，共需分割六处，就增加12个正方形面积。
解法一：
32×12．=108（平方分米）
答：
表面积增加了108平方分米。
解法二：
3÷3=l（分米）
12×6×27－32×6
=162－54
=108（平方分米）
例2l一段圆柱体木料，如果截成两段，它的表面积增加6．2．8平方厘米；如果沿着直径劈成两个半圆柱体，它的表面积将增加80平方厘米。
求原圆柱体的表面积。
[分析解答]圆柱体的表面积等于侧面积+2个底面积，圆柱体截成两段后增加的6．28平方厘米就是2个底面积，沿直径劈成两半增加的80平方厘米写成算式是“直径×高×2”，求圆柱侧面积用“直径×π×高”，所以题中“80÷2×3．14=侧面积”。
解法一：
80÷2×3．14+6．28
=125．6+6．28
=131．88（平方厘米）
答：
原圆柱体的表面积是131．88平方厘米。
解法二：
5．28÷2÷3．14=l（平方厘米）
由底面半径的平方是1可知底面半径是1厘米
3．14×12×2+2×3．14×1×[80÷2÷（2×1）]
=5．2．8+6．2．8×2．0
=6．2．8+125．6
=131．88（平方厘米）
例22一个底面直径为18厘米，高为8厘米的圆锥形木块，沿底面直径分成形状大小完全相同的两半，表面积比原来增加了多少?
[分析解答]圆锥形木块分成相等的两半后，表面积比原来增加的面积，实际上是以圆锥底面直径为底，圆锥的高为高的两个大小相同的三角形面积。
解：
18×8=144（平方厘米）
答：
表面积比原来增加了144平方厘米。
例23一块长方体木料，长100厘米，宽40厘米，高60厘米，如果把它锯成两个大小、形状完全相同的长方体，有几种锯法?
锯后的表面积比原来增加多少平方厘米?
[分析解答]锯的方法不同，所得到的长方体的形状也不同。
可以沿长的中点垂直锯开，也可沿宽的中点垂直锯开或沿高的中点垂直锯开。
方法一：
沿长的中点垂直锯开，表面积增加了：
40×60×2=4800（平方厘米）
方法二：
沿宽的中点垂直锯开，表面积增加了：
60×100×2=12000（平方厘米）
方法三：
沿高的中点垂直锯开，表面积增加了：
40×100×2=8000（平方厘米）
答：
有三种锯法，锯后得到的两个长方体的表面积分别比原来增加了4800平方厘米、12000平方厘米、8000平方厘米。
例24将一个底面半径为3分米的圆柱体的底面平均分成若干个扇形后，截开拼成一个和它等底等高的长方体后表面积增加了12平方分米。
求圆柱体的体积。
[分析解答]根据圆柱体的体积推导过程，增加的表面积实际上就是长方体左、右两个面的面积。
又据“长方体的体积=截面积×长”可求出长方体的体积，也就是圆柱体的体积。
长方体的截面积是12÷2=6（平方分米），长方体的长是圆柱体底面周长的一半
解法一：
12÷2×（3．14×3）
=6×942
=56．52（立方分米）
答：
圆柱体的体积是56．52立方分米。
解法二：
3．14×32×（12÷2÷3）
=3．14×9×2
=28．26×2
=56．52（立方分米）
例25有一只底面半径是20厘米的圆柱形水桶里，有一段半径是5厘米的圆柱形钢材浸没在水中。
当钢材从水桶取出后，桶里的水下降了3厘米，这段钢材有多长?
[分析解答]根据题意可知圆柱形钢材的体积等于桶里下降部分水的体积，因为钢材底面半径是水桶底面半径的
，即
，钢材底面积就水桶底面积的
。
根据体积一定，圆柱体的底面积与高成反比，可知钢材的长是水面下降高度的16倍。
解法一：
3÷（
）2
＝3÷
=48（厘米）
答：
这段钢材有48厘米。
解法二：
3．14×202×3÷（3．14×52）
=3．14×400×3÷（3．14×25）
=48（厘米）
例26一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，水深8厘米，现将一个底面积是16平方厘米的长方体铁块竖放在水中后，仍有一部分铁块露在外面，现在水深多少厘米?
[分析解答]玻璃杯中水的体积80X8=640（立方厘米）没有变，放人长方体铁块后水的底面积是80一16=64（平方厘米），用水的体积除以现在水的底面积就是现在水的高度。
解法一：
80×8÷（80－16）
=640÷64
=10（厘米）
答：
现在水深10厘米。
解法二：
设水面上升了x厘米。
根据上升部分的体积=浸入水中铁块的体积列方程：
80×x=16×（8+x）
80x=128+16x
64x=128
x=2
8+2=10（厘米）
例27有甲、乙两个容器（如下图），先将甲容器注满水，然后将水倒人乙容器。
求乙容器的水深。
[分析解答]根据条件将甲容器内的水倒入乙容器，水的体积不
变。
在圆柱体中，体积一定，高和底面积成反比。
解法一：
10×筹÷3=7．5（厘米）
答：
乙容器的水深7．5厘米。
解法二：
3．14×62×10÷3=376．8（立方厘米）
376．8÷（3．14×42）=7．5（厘米）
例28一个长方体积木的棱长分别是1厘米、2厘米、3厘米，如果用6块这样的积木拼一个大长方体，会有多少种不同拼法?
表面积各是多少?
[分析解答]因为6=l×6=2×3，所以有两种类型的拼法。
“1×6”型有3种：
（1×2+l×3+2×3）×2×6－1×2×（2×5）=112平方厘米
（1×2+l×3+2×3）×2×6－l×3×（2×5）=102平方厘米
（1×2+1×3+2×3）×2×6－2×3×（2×5）=72平方厘米
“2×3”型有6种：
（1×2+1×3+2×3）×2×6－1×2×（2×4）－1×3×（2×3）=98（平方厘米）
（1×2+l×3+2×3）×2×6－1×2×（2×4）一2×3×（2×3）=80（平方厘米）
（1×2+1×3+2×3）×2x6－1×2×（2×3）一1×3×（2×4）=96（平方厘米）
（1×2+1×3+2×3）×2×6－1×3×（2×4）-2×3×（2×3）
=72（平方厘米）
（1×2+1×3+2×3）×2×6－1×2×（2×3）一2×3×（2×4）=72（平方厘米）
（1×2+1×3+2×3）×2×6－1×3×（2×3）－2×3×（2×4）=66（平方厘米）
练习三
1．一个长方形草坪，长20米，宽14米，中间有一条宽2米的曲折小路，如图下所示，求小路的占地面积?
2．如图，已知三个圆的半径分别为1厘米、2厘米、3厘米，AB和CD垂直且这三个圆的共有圆心，图中阴影部分与非阴影部分的面积的比是多少?
3．如图阴影部分的面积是1000平方厘米，大长方形的周长是多少厘米?
4．图中圆的周长是16．4厘米，圆的面积等于长方形的面积，图中阴影部分的周长是多少厘米?
5．如图，A、B、C是三个圆的圆心，圆的半径都是10厘米，求阴影部分的面积?
6．如下图
（1）、
（2），阴影部分的面积为30平方厘米，求环形面积?
7．如图，两个相同的直角三角形部分叠在一起，求阴影部分面积?
（单位：
厘米）
8．如图，已知长方形长8厘米，宽4厘米，图中阴影部分的面积是10平方厘米，求OD的长?
9．如图，AABC和ADEC都是等腰直角三角形，阴影部分是一个正方形。
GABC与ADEC的面积比是多少?
lO．如图，已知一个四边形的两条边和三个角，求这个四边形面积?
11．如图，在长方形ABCD中，AD=15厘米，AB=8厘米，阴影部分的面积是70平方厘米，求四边形EFGO的面积?
12．如图，已知正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长lO厘米，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米?
13．如图，已知小正方形的边长是7厘米，大正方形的边长不知道，你能求出阴影部分的面积吗?
14．如图，有一只狗被拴在一建筑物的墙面上，这个建筑物边长都是6米的正三角形，绳长8米，求绳被狗拉紧时，狗运动后所围成的总面积?
15．如图，P为长方形ABCD内的一点，三角形PAB面积等于5，三角形PBC的面积等于13，求三角形PBD的面积?
16．如图，用一张斜边为29厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为49厘米的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，红蓝两张三角形纸片面积之和是多少?
17．如图，在长方形内画了一些直线，已知三块图形的面积分别是13，35，49，求阴影部分面积。
18．如图，两个相同的直角三角形部分叠在一起，求阴影部分的面积?
（单位：
厘米）
19．如图，在一张正方形的大纸片上，覆盖着A、B两张面积相等的小正方纸片，已知A与B重叠的小正方形面积是5平方厘米，且两个空白部分的面积和是40平方厘米，求大正方形纸片的面积?
20．如图，有大、中、小三个正方形，边长都是整厘米数，小正方形的周长比中正方形的边长大，把两个正方形放在大正方形上，大正方形露出部分的面积
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