解析 由
=
,得x=y.故选A.
3.命题“若α=
,则tanα=1”的逆否命题是( C )
A.若α≠
,则tanα≠1
B.若α=
,则tanα≠1
C.若tanα≠1,则α≠
D.若tanα=1,则α=
解析 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题,即“若tanα≠1,则α≠
”.故选C.
4.设集合A,B,则“A⊆B”是“A∩B=A”成立的( C )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由A⊆B,得A∩B=A;反过来,由A∩B=A,且(A∩B)⊆B,得A⊆B,因此“A⊆B”是“A∩B=A”成立的充要条件.故选C.
5.(2017·天津卷)设x∈R,则“2-x≥0”是|x-1|≤1的( B )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由|x-1|≤1,得0≤x≤2,∵0≤x≤2⇒x≤2,x≤2⇒/ 0≤x≤2.故“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要而不充分条件.故选B.
一 四种命题及其相互关系
与四种命题有关的问题的解题策略
(1)写一个命题的其他三种命题时,需注意:
①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;
②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.
(2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例.
(3)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.
【例1】
(1)(2018·山东邹平双语学校月考)已知命题p:
若x<-3,则x2-2x-8>0,则下列叙述正确的是( D )
A.命题p的逆命题是“若x2-2x-8≤0,则x<-3”
B.命题p的否命题是“若x≥-3,则x2-2x-8>0”
C.命题p的否命题是“若x<-3,则x2-2x-8≤0”
D.命题p的逆否命题是真命题
(2)命题“若x2+y2=0,x,y∈R,则x=y=0”的逆否命题是( D )
A.若x≠y≠0,x,y∈R,则x2+y2=0
B.若x=y≠0,x,y∈R,则x2+y2≠0
C.若x≠0且y≠0,x,y∈R,则x2+y2≠0
D.若x≠0或y≠0,x,y∈R,则x2+y2≠0
(3)下列命题为真命题的是( B )
A.命题“若x>1,则x2>1”的否命题
B.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题
C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题
D.命题“若x2>1,则x>1”的逆否命题
(4)已知命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是( D )
A.否命题是“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”,是真命题
B.逆命题是“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”,是假命题
C.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数”,是真命题
D.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”,是真命题
解析
(1)命题p:
若x<-3,则x2-2x-8>0的逆命题为:
若x2-2x-8>0,则x<-3,A项错误;命题p:
若x<-3,则x2-2x-8>0的否命题为:
若x≥-3,则x2-2x-8≤0,B,C项错误;命题p:
若x<-3,则x2-2x-8>0是真命题,则命题p的逆否命题是真命题.故选D.
(2)将原命题的条件和结论否定,并互换位置即可.由x=y=0知x=0且y=0,其否定是x≠0或y≠0.
(3)对于A项,否命题为“若x≤1,则x2≤1”,易知当x=-2时,x2=4>1,故A项为假命题;对于B项,逆命题为“若x>|y|,则x>y”,分析可知B项为真命题;对于C项,否命题为“若x≠1,则x2+x-2≠0”,易知当x=-2时,x2+x-2=0,故C项为假命题;对于D项,逆否命题为“若x≤1,则x2≤1”,易知当x=-2时,x2=4>1,故D项为假命题.
(4)因为f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则f′(x)=ex-m≥0恒成立,所以m≤1,所以命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”是真命题,所以其逆否命题是真命题.
二 充分、必要条件的判断
充分、必要条件的三种判断方法
(1)定义法:
根据p⇒q,q⇒p进行判断.
(2)集合法:
根据p,q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法:
根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题,常用的是逆否等价法.
①¬q是¬p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件;②¬q是¬p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件;③¬q是¬p的充要条件⇔p是q的充要条件.
【例2】
(1)(2017·浙江卷)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的( C )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)(2017·北京卷)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的( A )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析
(1)因为{an}为等差数列,S4+S6=4a1+6d+6a1+15d=10a1+21d,2S5=10a1+20d,S4+S6-2S5=d,所以d>0⇔S4+S6>2S5.故选C.
(2)对于非零向量m,n,若存在负数λ,使得m=λn,则m,n互为相反向量,则m·n<0,满足充分性;而m·n<0包含向量m,n互为相反向量或者其夹角为钝角两种情况,故由m·n<0推不出m,n互为相反向量,所以不满足必要性.所以“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件.故选A.
三 充分条件、必要条件的应用
充分条件、必要条件的应用的注意点
充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)区间端点值的检验.
【例3】
(1)已知条件p:
|x-4|≤6;条件q:
(x-1)2-m2≤0(m>0),若p是q的充分不必要条件,则m的取值范围是( B )
A.[21,+∞) B.[9,+∞)
C.[19,+∞) D.(0,+∞)
(2)已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,则m的取值范围为__[0,3]__.
解析
(1)条件p:
-2≤x≤10,条件q:
1-m≤x≤m+1,又p是q的充分不必要条件,故有
解得m≥9.
(2)由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,所以P={x|-2≤x≤10},
由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P,又集合S非空,
则
所以0≤m≤3,所以当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件,即所求m的取值范围是[0,3].
1.“直线y=x+b与圆x2+y2=1相交”是“0
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 若“直线y=x+b与圆x2+y2=1相交”,则圆心到直线的距离为d=
<1,即|b|<
,不能得到0
<
<1,所以直线y=x+b与圆x2+y2=1相交.故选B.
2.下列说法中错误的是( C )
A.命题“0既不是正数也不是负数”为真命题
B.“x=1”是“x≥1”的充分不必要条件
C.“sinx=
”的必要不充分条件是“x=
”
D.命题“若x∈R,则x2≥0”的逆否命题为真命题
解析 对于A项,易知正确;对于B项,由于x=1可以推出x≥1,但x≥1不一定能推出x=1,故正确;对于D项,因为原命题“若x∈R,则x2≥0”为真命题,所以其逆否命题为真命题,故正确;对于C项,“x=
”应为“sinx=
”的充分不必要条件.
3.设向量a=(sin2θ,cosθ),b=(cosθ,1),则“a∥b”是“tanθ=
”成立的__必要不充分__条件(填充分不必要、必要不充分、充要或既不充分也不必要).
解析 a∥b⇔sin2θ=cos2θ⇔cosθ=0或2sinθ=cosθ⇔cosθ=0或tanθ=
,所以“a∥b”是“tanθ=
”成立的必要不充分条件.
4.已知“(x-t)2>3(t-1)”是“x2+3x-4<0”成立的必要不充分条件,则实数t的取值范围为__(-∞,-7]∪[1,+∞)__.
解析 设P={x|(x-t)2>3(x-t)}={x|(x-t)(x-t-3)>0}={x|xt+3},Q={x|x2+3x-4<0}={x|(x+4)(x-1)<0}={x|-4错因分析:
对充分、必要、充要条件的概念不清,不知由谁推出谁.
【例1】已知p:
≥1,q:
|x-a|<1,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围为______.
解析 由p,得
-1≥0⇔
≥0⇔
≤0⇔
解得2由q,得a-1因为p是q的充分不必要条件,
所以
解得2答案 (2,3]
【跟踪训练1】已知条件甲:
a+b≠4,条件乙:
a≠1且b≠3,则甲是乙的__既不充分也不必要__条件.
解析 直接看甲、乙之间的推出关系易产生错误.由逆否命题与原命题的等价性可转化为判断“a=1或b=3”是“a+b=4”的什么条件.易知应为既不充分也不必要条件.
课时达标 第2讲
[解密考纲]考查命题及其相互关系、充分条件及必要条件的定义,与高中所学知识交汇考查,常以选择题、填空题的形式呈现,考卷中常排在靠前的位置.
一、选择题
1.(2016·上海卷)设a∈R,则“a>1”是“a2>1”的( A )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
解析 当a>1时,a2>1;当a2>1时,a>1或a<-1.故选A.
2.原命题为“△ABC中,若cosA<0,则△ABC为钝角三角形”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( B )
A.真、真、真 B.假、假、真
C.真、真、假 D.真、假、假
解析 因为cosA<0,00,所以逆命题为假,从而否命题也为假.故选B.
3.l1,l2表示空间中的两条直线,若p:
l1,l2是异面直线,q:
l1,l2不相交,则( A )
A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
C.p是q的充要条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
解析 两直线异面,则两直线一定无交点,即两直线一定不相交;而两直线不相交,有可能是平行,不一定异面,故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件.故选A.
4.(2018·河北邯郸二中期中)已知命题p:
(x-3)(x+1)>0,命题q:
x2-2x+1>0,则命题p是命题q的( A )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由p:
(x-3)(x+1)>0,得x<-1或x>3,由命题q:
x2-2x+1>0,解得x≠1,由于p⇒q成立,q⇒p不成立,即命题p是命题q的充分不必要条件.故选A.
5.A={x||x-1|≥1,x∈R},B={x|log2x>1,x∈R},则“x∈A”是“x∈B”的( B )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由已知得A=(-∞,0]∪[2,+∞),B=(2,+∞),若“x∈B”,则必有“x∈A”,反之不成立,即得“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件.故选B.
6.下列四个选项中错误的是( B )
A.命题“若x≠1,则x2-3x+2≠0”的逆否命题是“若x2-3x+2=0,则x=1”
B.若p∨q为真命题,则p,q均为真命题
C.若命题p:
∀x∈R,x2+x+1≠0,则¬p:
∃x0∈R,x
+x0+1=0
D.“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件
解析 对于A项,显然是正确的;对于B项,根据复合命题的真值表知,有p真q假、p假q真、p真q真三种情况,故B项是错误的;对于C项,由全称命题的否定形式知C项是正确的;对于D项,x2-3x+2>0的解是x>2或x<1,故D项是正确的.
二、填空题
7.已知命题p:
若a>b>0,则log
ab+1,命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为__2__.
解析 ∵a>b>0,∴log
ab,
∴命题p为真命题,
其逆命题为:
若log
ab+1,则a>b>0,
∵a=2,b=2时,log
ab+1,而a=b.
∴逆命题为假命题.
根据命题与其逆否命题的真假相同,逆命题与否命题互为逆否命题,知命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中只有原命题及其逆否命题是真命题.
8.记不等式x2+x-6<0的解集为集合A,函数y=lg(x-a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则实数a的取值范围为__(-∞,-3]__.
解析 由x2+x-6<0,得-30,得x>a,即B=(a,+∞),若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则A⊆B,则a≤-3.
9.能够说明“设a,b,c是任意实数,若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为__-1,-2,-3(答案不唯一)__.
解析 取a=-1,b=-2,c=-3,满足a>b>c,但a+b=-3=c,不满足a+b>c,故“设a,b,c是任意实数,若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为-1,-2,-3.
三、解答题
10.(2018·山东邹平月考)写出“若x=2,则x2-5x+6=0”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假.
解析 逆命题:
若x2-5x+6=0,则x=2,是假命题;否命题:
若x≠2,则x2-5x+6≠0,是假命题;逆否命题:
若x2-5x+6≠0,则x≠2,是真命题.
11.已知函数f(x)=lg(x2-2x-3)的定义域为集合A,函数g(x)=2x-a(x≤2)的值域为集合B.
(1)求集合A,B;
(2)已知命题p:
m∈A,命题q:
m∈B,若綈p是綈q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
解析
(1)A={x|x2-2x-3>0}={x|(x-3)(x+1)>0}={x|x<-1或x>3},B={y|y=2x-a,x≤2}={y|-a<y≤4-a}.
(2)∵¬p是¬q的充分不必要条件,
∴q是p的充分不必要条件,∴BA,
∴4-a<-1或-a≥3,∴a≤-3或a>5,
即实数a的取值范围是(-∞,-3]∪(5,+∞).
12.已知p:
x2-8x-20≤0,q:
x2-2x+1-m4≤0.
(1)若p是q的必要条件,求m的取值范围;
(2)若¬p是¬q的必要不充分条件,求m的取值范围.
解析 由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,
即p:
-2≤x≤10,q:
1-m2≤x≤1+m2.
(1)若p是q的必要条件,
则
即
即m2≤3,解得-
≤m≤
.
故m的取值范围是[-
,
].
(2)∵¬p是¬q的必要不充分条件,
∴q是p的必要不充分条件,
即
即m2≥9,解得m≥3或m≤-3.
故m的取值范围是(-∞,-3]∪[3,+∞).