中考数学二轮专题复习讲义第22讲 圆的基本性质.docx
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中考数学二轮专题复习讲义第22讲圆的基本性质
第22讲 圆的基本性质
1．圆的有关概念
考试内容
考试
要求
圆的定义
定义1：
在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．
b
定义2：
圆是到定点的距离定长的所有点组成的图形．
弦
连结圆上任意两点的叫做弦．
直径
直径是经过圆心的，是圆内最的弦．
弧
圆上任意两点间的部分叫做弧，弧有____________________之分，能够完全重合的弧叫做____________________.
a
等圆
能够重合的两个圆叫做等圆.
同心圆
圆心相同的圆叫做同心圆．
2.圆的对称性
考试内容
考试
要求
圆的对称性
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过的直线．
c
圆是中心对称图形，对称中心为____________________.
圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量，那么它们所对应的其余各组量也分别相等．
3.圆周角
考试内容
考试
要求
圆周角的定义
顶点在圆上，并且都和圆相交的角叫做圆周角．
b
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的．
c
推论1
同弧或等弧所对的圆周角．
推论2
半圆（或直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是．
推论3
圆内接四边形的对角．
4.点与圆的位置关系
考试内容
考试
要求
位置关系
点在圆内
点在圆上
点在圆外
b
数量（d与r）的大小关系（设圆的半径为r，点到圆心的距离为d）
_________________
_________________
_____________
考试内容
考试
要求
基本
思想
分类讨论思想：
在很多没有给定图形的题目中，常常不能根据题目的条件把图形确定下来，因此会导致解的不唯一性．对于这种多解题必须要分类讨论，分类时要注意标准一致，不重不漏．如：
圆周角所对的弦是唯一的，但是弦所对的圆周角不是唯一的．
c
基本
方法
辅助线：
有关直径的问题，如图，常作直径所对的圆周角．
1．（2016·绍兴）如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，
＝
，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是（ ）
A．60°B．45°C．35°D．30°
2．（2015·宁波）如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝72°，则∠BCO的度数为（ ）
A．15°B．18°C．20°D．28°
3．（2017·绍兴）如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则∠DOE的度数为____________________．
第3题图 第4题图
4．（2017·湖州）如图，已知在△ABC中，AB＝AC.以AB为直径作半圆O，交BC于点D.若∠BAC＝40°，则
的度数是____________________度．
【问题】如图，四边形ABCD内接于⊙O，CE是直径．
（1）观察图形，你能得到哪些信息？
（2）若∠ADC＝130°，则∠B＝______，∠AOC＝______，
的度数为____；
（3）若AC＝6，AO＝5，则AE＝________．
【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理圆的有关性质，弦、弧、圆心角的关系定理及推论，圆周角定理，圆的内接四边形等．
类型一 圆的有关概念
下列语句中，正确的是__________________．
①半圆是弧；②长度相等的弧是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是对称轴；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径；⑥三个点确定一个圆；⑦直径是圆中最长的弦；⑧一个点到圆的最小距离为6cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是1.5cm或7.5cm；⑨⊙A的半径为6，圆心A（3，5），则坐标原点O在⊙A内．
【解后感悟】圆中相关概念经常会出现错误，需要辨析，如在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等．
1．
（1）A、B是半径为5cm的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是（ ）
A．AB>0B．0（2）下列说法中，正确的是（ ）
A．同一条弦所对的两条弧一定是等弧
B．相等圆周角所对弧相等
C．正多边形一定是轴对称图形
D．三角形的外心到三角形各边的距离相等
（3）（2017·河北模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是____________________．
类型二 圆的内接多边形
（2017·陕西模拟）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F.
（1）若∠E＝∠F时，求证：
∠ADC＝∠ABC；
（2）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β.请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
【解后感悟】本题主要考查圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
2．
（1）（2015·杭州）圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝70°，则∠C＝（ ）
A．20°B．30°C．70°D．110°
（2）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（ ）
A．45°B．50°C．60°D．75°
（3）（2015·南京）如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝____________________.
类型三 圆心角与圆周角的关系
（1）如图，AB为⊙O的直径，诸角p，q，r，s之间的关系①p＝2q；②q＝r；③p＋s＝180°中，正确的是（ ）
A．只有①和②B．只有①和③C．只有②和③D．①，②和③
（2）（2015·台州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC.
①若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；
②求证：
∠1＝∠2.
【解后感悟】解题利用图形联想，揭示数量关系，如等腰三角形、圆周角定理、圆内接四边形等知识；圆周角定理及其推论建立了圆心角、弦、弧、圆周角之间的关系，最终实现了圆中的角（圆心角和圆周角）的转化；当图中出现同弧或等弧时，常常考虑到弧所对的圆周角或圆心角，“一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半”，通过弧把角联系起来．注意掌握数形结合思想的应用．
3．
（1）（2017·衢州模拟）如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD等于____________________．
（2）（2017·巴中模拟）如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连结AE，∠E＝36°，则∠ADC的度数是____________________．
（3）（2017·潍坊模拟）如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD.已知DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦BC的弦心距等于____________________．
类型四 圆的综合运用
（2017·台州）如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．
（1）求证：
△APE是等腰直角三角形；
（2）若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．
【解后感悟】解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，注意数形结合的应用．
4．（2017·丽水）如图，在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.
（1）求证：
∠A＝∠ADE；
（2）若AD＝16，DE＝10，求BC的长．
【探索研究题】
（2017·杭州）如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB＝α，∠ACB＝β，∠EAG＋∠EBA＝γ，
（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：
α
30°
40°
50°
60°
β
120°
130°
140°
150°
γ
150°
140°
130°
120°
猜想：
β关于α的函数表达式，γ关于α的函数表达式，并给出证明；
（2）若γ＝135°，CD＝3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．
【方法与对策】本题涉及圆周角定理，勾股定理，解方程，垂直平分线的性质等知识，这样要联想，并及时调整图形，揭示数量关系特征，从而解决问题，这是中考命题的热点．
【忽视圆周角顶点可能在优弧上，也可能在劣弧上】
一条弦的长度等于它所在的圆的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数是________．
参考答案
第22讲 圆的基本性质
【考点概要】
1．等于 线段 弦 长 优弧、半圆、劣弧 等弧
2．圆心 圆心 相等 3.两边 一半 相等 直角 直径 互补 4.d＜r d＝r d＞r
【考题体验】
1．D 2.B 3.90° 4.140
【知识引擎】
【解析】
（1）由圆心角、圆周角定理，圆的内接四边形可知：
∠B＝∠E＝
∠AOC,∠B＋∠D＝180°，∠CAE＝90°等；
（2）50°，100°，80°； （3）8.
【例题精析】
例1 ①④⑦⑧⑨
例2
（1）∠E＝∠F，∵∠DCE＝∠BCF，∴∠ADC＝∠E＋∠DCE，∠ABC＝∠F＋∠BCF，∴∠ADC＝∠ABC；
（2）由
（1）知∠ADC＝∠ABC，∵∠EDC＝∠ABC，∴∠EDC＝∠ADC，∴∠ADC＝90°，∴∠A＝90°－42°＝48°；（3）连结EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD＝∠A，∵∠ECD＝∠1＋∠2，∴∠A＝∠1＋∠2，∵∠A＋∠1＋∠2＋∠E＋∠F＝180°，∴2∠A＋α＋β＝180°，∴∠A＝90°－
. 例3
（1）A；
（2）①∵BC＝CD，∴
＝
.∴∠BAC＝∠CAD＝∠CBD.∵∠CBD＝39°，∴∠BAC＝∠CAD＝39°.∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝78°.②∵EC＝BC，∴∠CBE＝∠CEB，∵∠CBE＝∠1＋∠CBD，∠CEB＝∠2＋∠BAC，又∵∠BAC＝∠CBD，∴∠1＝∠2.
例4
（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠C＝∠ABC＝45°，∴∠AEP＝∠ABP＝45°，∵PE是直径，∴∠PAE＝90°，∴∠APE＝∠AEP＝45°，∴AP＝AE，∴△PAE是等腰直角三角形.
（2）作PM⊥AC于M，PN⊥AB于N，则四边形PMAN是矩形，∴PM＝AN，∵△PCM，△PNB都是等腰直角三角形，∴PC＝
PM，PB＝
PN，∴PC2＋PB2＝2（PM2＋PN2）＝2（AN2＋PN2）＝2PA2＝PE2＝22＝4.（也可以证明△ACP≌△ABE，△PBE是直角三角形）
【变式拓展】
1．
（1）D
（2）C （3）3（1）D
（2）C（3）215° 3.
（1）32°
（2）54° （3）3
4.
（1）连结OD，∵DE是切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ADE＋∠BDO＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO，∴∠ADE＝∠A.
（2）连结CD.∵∠ADE＝∠A，∴AE＝DE，∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴EC是⊙O的切线，∴ED＝EC，∴AE＝EC，∵DE＝10，∴AC＝2DE＝20，在Rt△ADC中，DC＝
＝12，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2＋122，在Rt△ABC中，BC2＝（x＋16）2－202，∴x2＋122＝（x＋16）2－202，解得x＝9，∴BC＝
＝15.
【热点题型】
【分析与解】
（1）猜想：
β＝α＋90°，γ＝－α＋180°，连结OB，∴由圆周角定理可知：
2∠BCA＝360°－∠BOA，∵OB＝OA，∴∠OBA＝∠OAB＝α，∴∠BOA＝180°－2α，∴2β＝360°－（180°－2α），∴β＝α＋90°，∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴OE是线段BC的垂直平分线，∴BE＝CE，∠BED＝∠CED，∠EDC＝90°，∵∠BCA＝∠EDC＋∠CED，∴β＝90°＋∠CED，∴∠CED＝α，∴∠CED＝∠OBA＝α，∴O、A、E、B四点共圆，∴∠EBO＋∠EAG＝180°，∴∠EBA＋∠OBA＋∠EAG＝180°，∴γ＋α＝180°；
（2）当γ＝135°时，此时图形如图所示，∴α＝45°，β＝135°，∴∠BOA＝90°，∠BCE＝45°，由
（1）可知：
O、A、E、B四点共圆，∴∠BEC＝90°，∵△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，∴
＝4，∴
＝3，设CE＝3x，AC＝x，由
（1）可知：
BC＝2CD＝6，∵∠BCE＝45°，∴CE＝BE＝3x，∴由勾股定理可知：
（3x）2＋（3x）2＝62，x＝
，∴BE＝CE＝3
，AC＝
，∴AE＝AC＋CE＝4
，在Rt△ABE中，由勾股定理可知：
AB2＝（3
）2＋（4
）2，∴AB＝5
，∵∠BAO＝45°，∴∠AOB＝90°，在Rt△AOB中，设半径为r，由勾股定理可知：
AB2＝2r2，∴r＝5，∴⊙O半径的长为5.
【错误警示】30°或150°
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