版考前三个月浙江专版文理通用高考知识方法篇 专题6 立体几何与空间向量第24练.docx

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版考前三个月浙江专版文理通用高考知识方法篇专题6立体几何与空间向量第24练

第24练　完美破解立体几何的证明问题

[题型分析·高考展望]　立体几何证明题是高考必考题，证明平行、垂直关系是主要题型，特别是垂直关系尤为重要．掌握判定定理、性质定理并能灵活运用是解题的根本．学会分析推理的方法和证明技巧是提升推理能力的关键，在二轮复习中，通过专题训练，使解立体几何证明的能力更上一层楼，确保该类题型不失分．

体验高考

1．（2015·福建）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　m垂直于平面α，当l⊂α时，也满足l⊥m，但直线l与平面α不平行，∴充分性不成立，反之，l∥α，一定有l⊥m，必要性成立．故选B.

2．（2016·山东）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.

3．（2016·课标全国甲）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′－EF的位置．

（1）证明：

AC⊥HD′；

（2）若AB＝5，AC＝6，AE＝

，OD′＝2

，求五棱锥D′－ABCFE的体积．

（1）证明　由已知得AC⊥BD，AD＝CD，又由AE＝CF得

＝

，故AC∥EF，由此得EF⊥HD，折后EF与HD保持垂直关系，即EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.

（2）解　由EF∥AC得

＝

＝

.

由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝

＝4，

所以OH＝1，D′H＝DH＝3，

于是OD′2＋OH2＝（2

）2＋12＝9＝D′H2，

故OD′⊥OH.

由

（1）知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，

所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′，

又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC.

又由

＝

得EF＝

.

五边形ABCFE的面积S＝

×6×8－

×

×3＝

.

所以五棱锥D′－ABCFE的体积V＝

×

×2

＝

.

4．（2016·四川）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝

AD.

（1）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；

（2）证明：

平面PAB⊥平面PBD.

（1）解　取棱AD的中点M（M∈平面PAD），点M即为所求的一个点，理由如下：

因为AD∥BC，BC＝

AD，

所以BC∥AM，且BC＝AM.

所以四边形AMCB是平行四边形，所以CM∥AB.

又AB⊂平面PAB，CM⊄平面PAB.

所以CM∥平面PAB.

（说明：

取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点）

（2）证明　由已知，PA⊥AB，PA⊥CD.

因为AD∥BC，BC＝

AD，所以直线AB与CD相交，

所以PA⊥平面ABCD，

所以PA⊥BD.

因为AD∥BC，BC＝

AD，M为AD的中点，连接BM，

所以BC∥MD，且BC＝MD.

所以四边形BCDM是平行四边形，

所以BM＝CD＝

AD，所以BD⊥AB.

又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB.

又BD⊂平面PBD，

所以平面PAB⊥平面PBD.

5．（2016·课标全国丙）如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．

（1）证明：

MN∥平面PAB；

（2）求四面体NBCM的体积．

（1）证明　由已知得AM＝

AD＝2.

如图，取BP的中点T，连接AT，TN，

由N为PC中点知TN∥BC，TN＝

BC＝2.

又AD∥BC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.

因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，

所以MN∥平面PAB.

（2）解　因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，

所以N到平面ABCD的距离为

PA.

如图，取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝

＝

.

由AM∥BC得M到BC的距离为

，

故S△BCM＝

×4×

＝2

.

所以四面体NBCM的体积

VNBCM＝

×S△BCM×

＝

.

高考必会题型

题型一　空间中的平行问题

例1　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：

（1）直线EG∥平面BDD1B1；

（2）平面EFG∥平面BDD1B1.

证明　

（1）如图，连接SB，

∵E、G分别是BC、SC的中点，

∴EG∥SB.

又∵SB⊂平面BDD1B1，

EG⊄平面BDD1B1，

∴直线EG∥平面BDD1B1.

（2）连接SD，

∵F、G分别是DC、SC的中点，

∴FG∥SD.

又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，

∴FG∥平面BDD1B1，由

（1）知，

EG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，

FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，

∴平面EFG∥平面BDD1B1.

点评　证明平行关系的方法

（1）证明线线平行的常用方法：

①利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；

②利用平行四边形进行转换；

③利用三角形中位线定理证明；

④利用线面平行、面面平行的性质定理证明．

（2）证明线面平行的常用方法：

①利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证明线线平行；

②利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证明面面平行．

（3）证明面面平行的方法：

证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行．

变式训练1　（2015·天津改编）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2

，AA1＝

，BB1＝2

，点E和F分别为BC和A1C的中点．

求证：

（1）EF∥平面A1B1BA；

（2）平面AEA1⊥平面BCB1.

证明　

（1）如图，连接A1B，在△A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，

所以EF∥BA1.又因为EF⊄平面A1B1BA，BA1⊂平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA.

（2）因为AB＝AC，E为BC中点，所以AE⊥BC，因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，所以BB1⊥平面ABC，从而BB1⊥AE.又因为BC∩BB1＝B，所以AE⊥平面BCB1，又因为AE⊂平面AEA1，所以平面AEA1⊥平面BCB1.

题型二　空间中的垂直问题

例2　如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．

求证：

（1）AF∥平面BCE；

（2）平面BCE⊥平面CDE.

证明　

（1）如图，取CE的中点G，连接FG，BG.

∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝

DE.

∵AB⊥平面ACD，

DE⊥平面ACD，

∴AB∥DE，∴GF∥AB.

又AB＝

DE，∴GF＝AB.

∴四边形GFAB为平行四边形，∴AF∥BG.

∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，

∴AF∥平面BCE.

（2）∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，

∴AF⊥CD.

∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.

又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE.

∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.

∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.

点评　

（1）证明线面垂直的常用方法：

①利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；

②利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证明面面垂直；

③利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．

（2）证明面面垂直的方法：

证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线来解决．

变式训练2　（2016·北京）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.

（1）求证：

DC⊥平面PAC；

（2）求证：

平面PAB⊥平面PAC；

（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？

说明理由．

（1）证明　∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，

∴PC⊥DC.又AC⊥DC，PC∩AC＝C，PC⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴DC⊥平面PAC.

（2）证明　∵AB∥CD，CD⊥平面PAC，

∴AB⊥平面PAC，又∵AB⊂平面PAB，

∴平面PAB⊥平面PAC.

（3）解　棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.

证明如下：

取PB的中点F，连接EF，CE，CF，又∵E为AB的中点，∴EF为△PAB的中位线，∴EF∥PA.又PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，∴PA∥平面CEF.

题型三　空间中的平行、垂直综合问题

例3　（2015·山东）如图，三棱台D－EFABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．

（1）求证：

BD∥平面FGH；

（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：

平面BCD⊥平面EGH.

证明　

（1）方法一　如图，连接DG，设CD∩GF＝M，

连接MH.

在三棱台DEF－ABC中，

AB＝2DE，G为AC的中点，

可得DF∥GC，DF＝GC，

所以四边形DFCG为平行四边形．

则M为CD的中点，

又H为BC的中点，

所以HM∥BD，

又HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，

所以BD∥平面FGH.

方法二　在三棱台DEF－ABC中，

由BC＝2EF，H为BC的中点，

可得BH∥EF，BH＝EF，

所以四边形HBEF为平行四边形，

可得BE∥HF.

在△ABC中，G为AC的中点，

H为BC的中点，

所以GH∥AB.

又GH∩HF＝H，AB∩BE＝B，

所以平面FGH∥平面ABED.

又因为BD⊂平面ABED，

所以BD∥平面FGH.

（2）连接HE，

因为G，H分别为AC，BC的中点，

所以GH∥AB.

由AB⊥BC，得GH⊥BC.

又H为BC的中点，

所以EF∥HC，EF＝HC，

因此四边形EFCH是平行四边形，

所以CF∥HE.

又CF⊥BC，所以HE⊥BC.

又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，

所以BC⊥平面EGH.

又BC⊂平面BCD，

所以平面BCD⊥平面EGH.

点评　

（1）立体几何中，要证线垂直于线，常常先证线垂直于面，再用线垂直于面的性质易得线垂直于线．要证线平行于面，只需先证线平行于线，再用线平行于面的判定定理易得．

（2）证明立体几何问题，要紧密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要多画出一些图形辅助使用．

（3）平行关系往往用到三角形的中位线，垂直关系往往用到三角形的高线、中线．

变式训练3　（2015·北京）如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝

，O，M分别为AB，VA的中点．

（1）求证：

VB∥平面MOC；

（2）求证：

平面MOC⊥平面VAB；

（3）求三棱锥V－ABC的体积．

（1）证明　因为O，M分别为AB，VA的中点，

所以OM∥VB，

又因为VB⊄平面MOC，

所以VB∥平面MOC.

（2）证明　因为AC＝BC，O为AB的中点，

所以OC⊥AB.

又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，

所以OC⊥平面VAB.又OC⊂平面MOC，

所以平面MOC⊥平面VAB.

（3）解　在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝

，

所以AB＝2，OC＝1，

所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝

.

又因为OC⊥平面VAB.

所以VC－VAB＝

·OC·S△VAB＝

，

又因为三棱锥V－ABC的体积与三棱锥C－VAB的体积相等，

所以三棱锥V－ABC的体积为

.

高考题型精练

1．（2016·浙江）已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（　　）

A．m∥lB．m∥n

C．n⊥lD．m⊥n

答案　C

解析　由已知，α∩β＝l，∴l⊂β，又∵n⊥β，∴n⊥l，C正确．故选C.

2．（2015·安徽）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（　　）

A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行

B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行

C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线

D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面

答案　D

解析　对于A，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，故A错；对于B，m，n平行于同一平面，m，n关系不确定，可平行、相交、异面，故B错；对于C，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C错；对于D，若假设m，n垂直于同一平面，则m∥n，其逆否命题即为D选项，故D正确．

3．已知α，β是两个不同的平面，给出下列四个条件：

①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，可以推出α∥β的是（　　）

A．①③B．②④C．①④D．②③

答案　C

解析　对于②，平面α与β还可以相交；

对于③，当a∥b时，不一定能推出α∥β，

所以②③是错误的，易知①④正确，故选C.

4．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，AC∩EF＝G.现在沿AE，EF，FA把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，则在四面体P－AEF中必有（　　）

A．AP⊥△PEF所在平面

B．AG⊥△PEF所在平面

C．EP⊥△AEF所在平面

D．PG⊥△AEF所在平面

答案　A

解析　在折叠过程中，AB⊥BE，AD⊥DF保持不变．

∴

⇒AP⊥平面PEF.

5.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是AA1，A1D1，CC1，BC的中点，给出以下四个结论：

①A1C⊥MN；②A1C∥平面MNPQ；③A1C与PM相交；④NC与PM异面．其中不正确的结论是（　　）

A．①B．②

C．③D．④

答案　B

解析　作出过M，N，P，Q四点的截面交C1D1于点S，交AB于点R，如图所示中的六边形MNSPQR，显然点A1，C分别位于这个平面的两侧，故A1C与平面MNPQ一定相交，不可能平行，故结论②不正确．

6．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（　　）

A．①③B．①④C．②③D．②④

答案　B

解析　①中易知NP∥AA′，MN∥A′B，

∴平面MNP∥平面AA′B可得出AB∥平面MNP（如图）．

④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.

7．（教材改编）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．

答案　平行

解析　连接BD，设BD∩AC＝O，

连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，

则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，

所以BD1∥平面ACE.

8.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论：

①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.

其中正确的有________（把所有正确的序号都填上）．

答案　①④

解析　由PA⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，得PA⊥AE，

又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB＝A，

得AE⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴AE⊥PB，①正确；

∵平面PAD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；由正六边形的性质得BC∥AD，

又AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD，

∴直线BC∥平面PAE也不成立，③错；

在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，④正确．

9．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C，则B1C与AB的位置关系为________．

答案　异面垂直

解析　∵AO⊥平面BB1C1C，∴AO⊥B1C，

又∵平面BB1C1C为菱形，∴B1C⊥BO，

∴B1C⊥平面ABO，∵AB⊂平面ABO，∴B1C⊥AB.

10．（2016·课标全国甲）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.

②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.

③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.

④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．

其中正确的命题有________．（填写所有正确命题的编号）

答案　②③④

解析　当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.

11．（2015·江苏）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.

求证：

（1）DE∥平面AA1C1C；

（2）BC1⊥AB1.

证明　

（1）由题意知，E为B1C的中点，

又D为AB1的中点，因此DE∥AC.

又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，

所以DE∥平面AA1C1C.

（2）因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，

所以CC1⊥平面ABC.

因为AC⊂平面ABC，

所以AC⊥CC1.

又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，

所以AC⊥平面BCC1B1.

又因为BC1⊂平面BCC1B1，

所以BC1⊥AC.

因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，

因此BC1⊥B1C.

因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，

所以BC1⊥平面B1AC.

又因为AB1⊂平面B1AC，

所以BC1⊥AB1.

12．（2016·山东）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.

（1）已知AB＝BC，AE＝EC，求证：

AC⊥FB；

（2）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：

GH∥平面ABC.

证明　

（1）因为EF∥DB，

所以EF与DB确定平面BDEF，

如图①，连接DE.因为AE＝EC，

D为AC的中点，

所以DE⊥AC.同理可得

BD⊥AC.

又BD∩DE＝D，

所以AC⊥平面BDEF.

因为FB⊂平面BDEF，

所以AC⊥FB.

（2）如图②，设FC的中点为I，

连接GI，HI.

在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF.

又EF∥DB，

所以GI∥DB.

在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC.

又HI∩GI＝I，

所以平面GHI∥平面ABC，

因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.