N
9．已知平面α∩平面β＝直线l，点A、C∈α，点B、D∈β，且
分别是线段AB、CD的中点，则下列说法正确的是（B）
A．当|CD|＝2|AB|时，M、N不可能重合
B．M、N可能重合，但此时直线AC与l不可能相交
C．当直线AB、CD相交，且AC∥l时，BD可与l相交
D．当直线AB、CD异面时，MN可能与l平行
A、B、C、D
l，点
M、
【解析】对于A，当|CD|＝2|AB|时，若A、B、C、D四点共面且AC∥BD时，则M、N
两点能重合．故A不对；对于B，若M、N两点可能重合，则AC∥BD，故AC∥l，此时直
线AC与直线l不可能相交，故B对；对于C，当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l平行，故C不对；对于D，当AB、CD是异面直线时，MN不可能与l平行，
从而D不对，故选B.
x－y≥0，
10．若存在实数x，y使不等式组x－3y＋2≤0，与不等式x－2y＋m≤0都成立，则实数x＋y－6≤0
m的取值范围是（B）
A．m≥0B．m≤3C．m≥1D．m≥3
x－y≥0，
【解析】作出不等式组x－3y＋2≤0，表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，
x＋y－6≤0
其中A（4，2），B（1，1），C（3，3）．设z＝F（x，y）＝x－2y，将直线l：
z＝x－2y进行平移，当
l经过点A时，目标函数z达到最大值，可得z最大值＝F（4，2）＝0；当l经过点C时，目标函
数z达到最小值，可得z最小值＝F（3，3）＝－3，因此，z＝x－2y的取值范围为[－3，0]，∵存在实数m，使不等式x－2y＋m≤0成立，即存在实数m，使x－2y≤－m成立，∴－m大于或等于z＝x－2y的最小值，即－3≤－m，解之得m≤3，故选B.
x
2
y
2
2＋（y－b）2＝4与l交于
2
2
，b>0）
的一条渐近线为
11．已知双曲线a
－b
＝1（a>0
l，圆C：
x
π
第一象限A、B两点，若∠ACB＝3，且|OB|＝3|OA|其中O为坐标原点，则双曲线的离心率为（D）
21313
A.3B.3
2
13
21
C.
5
D.
3
x2
y2
b
2
2
【解析】双曲线a2－b2＝1（a>0，b>0）的一条渐近线为：
y＝ax，圆C：
x＋（y－b）
＝4
的
π
圆心坐标为（0，b），半径为2，由∠ACB＝3所以三角形ABC是边长为2的等边三角形，故
b
AB＝2，OA＝1，圆心到直线y＝ax的距离为
3，在△OBC，△OAC中，由余弦定理得
cos∠
b2＋1－4
＝
32＋b2－4
2
圆心到直线y＝
b
ab
＝
c
7
BOC＝
2b
6b
，解得b＝7
ax的距离为
3，有c
3，∴＝
a
3
21
＝3，故选D.
12．已知函数y＝f（x）的定义域为R，当x<0时f（x）>1，且对任意的实数
x，y∈R，等式
1
（n∈N
*
），且a1＝f（0），则下列结论成
f（x）f（y）＝f（x＋y）成立，若数列{an}满足f（an＋1）f1＋an
＝1
立的是（A）
）>f（
）
B．f（
）>f（
）
A．f（
a2016
a2018
a2017
a2020
C．f（a2018）>f（a2019）
D．f（a2016）>f（a2019）
【解析】由题意可知，不妨设f（x）＝1
x
1
，则f（0）＝1，∵f（an＋1）f
1＋an
＝1＝f（0），∴则an
2
1
1
1
＋1＋
＝0，即an＋1＝－
且a1＝1，当n＝1时，a2＝－
2；当n＝2时，a3＝－2；当n
1＋an
1＋an
＝3时，a4＝1，所以数列{an}是以3为周期的周期数列；
a2016＝a3＝－2，a2017＝a1＝1，a2018
1
1x
＝a2＝－
2，a2
019＝a3＝－2，a2020＝a1＝1，又因为
f（x）＝
2是单调递减函数
，所以
f（a2016）>f（a2018）.故答案选A.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．
第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第
22、23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：
本大题共
4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题
号后的横线上．
13．已知a＝（3，4），b＝（t，－6），且a，b共线，则向量a在b方向上的投影为__－5__．
14．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知
3（acosC－ccosA）＝b，B＝
60°，则A的大小为__75°__．
【解析】由3（acosC－ccosA）＝b及正弦定理得
3（sinAcosC－sinCcosA）＝sinB，即3
3
1
sin（A－C）＝2
，sin（A－C）＝2，∴A－C＝30°，又∵A＋C＝180°－B＝120°，∴2A＝150°，得A
＝75°.
15．已知点A（－2，0）、B（0，2），若点C是圆x
2－2ax＋y2＋a2－1＝0上的动点，△ABC
面积的最小值为
3－2，则a的值为__1或－5__．
【解析】圆的标准方程为（x－a）2＋y2＝1，圆心M（a，0）到直线AB：
x－y＋2＝0
的距离
|a＋2|
AB
的最短距离为
|a＋2|
△
1×22
为d＝
，圆上的点到直线
d－1＝
－1，（SABC）min＝
2
2
2
|a＋2|－2
×
＝3－2，解得a＝1或a＝－5.
2
16．已知函数
21≤x≤e，e为自然对数的底数
与h（x）＝2lnx的图象上存在关
g（x）＝a－xe
于x轴对称的点，则实数a的取值范围是__[1，e2－2]__．
2
1
【解析】因为函数
g（x）＝a－x
e≤x≤e，e为自然对数的底数
与h（x）＝2lnx的图象上存
2
2
1
在关于x轴对称的点，等价于a－x
＝－2lnx－a＝2lnx－x
，在e，e上有解，设f（x）＝2ln
2
2
2（1＋x）（1－x）
1
x－x，求导得f（x）＝
－2x＝
x
，∵≤x≤e，∴f′（x）＝0在x＝1有唯一的极值
x
e
1
1
1
点，f（x）在e，1上单调递增，在[1，e]上单调递减，f（x）max＝f
（1）＝－1，∵fe
＝－2－e2，f（e）
＝2－e2，f（e）
2－e2≤－a≤－1，从而a的取值范围是[1，e2－2]，故答案为[1，e2－2]．
三、解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本题满分12分）
已知数列{an}前n项和为Sn，a1＝2，且满足Sn＝12an＋1＋n，（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝（4n－2）an＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.
n＝
1
n＋1＋n，
S
2a
1
an＋1－1
an＋1，
【解析】
（1）
（n≥2）时，an＝
Sn－1＝
1
an＋（n－1），
2
2
2
即an＋1＝3an－2（n≥2），即（an＋1－1）＝3（an－1），当a1＝2时，a2＝2，
a2－1
＝1≠3，
a1－1
故{an－1}是以a2－1＝1为首项，3为公比的等比数列，∴an－1＝1·3n－2，即an＝3n－2＋1，
n≥2.
∴an＝
2，n＝1，
6分
3n－2＋1，n≥2.
（2）bn＝（4n－2）an＋1＝（4n－2）·（3n－1＋1）＝（4n－2）3n－1＋（4n－2）
记sn′＝2·30＋6·31＋10·32＋＋（4n－2）3n－1，①
n′＝2·31＋6·32＋＋（4n－6）3n－1＋
（4n－2）3n，②
3s
0
1
2
＋＋3
n1
n
，
由①－②得，－2sn′＝2·3＋4·（3
＋3
－）－（4n－2）
·3
∴sn′＝2＋（2n－2）3n，
n
＋
（4n－2＋2）n
n
2
分
∴Tn＝2＋（2n－2）·3
＝2＋（2n－2）·3＋2n
.12
2
18．（本题满分12分）
如图所示，四棱锥P－ABCD，底面ABCD为四边形，AC⊥BD，BC＝CD，PB＝PD，平
面PAC⊥平面PBD，AC＝23，∠PCA＝30°，PC＝4.
（1）求证：
PA⊥平面ABCD；
PM
（2）若四边形ABCD中，∠BAD＝120°，AB⊥BC，M为PC上一点，且MC＝2，求三棱锥M－PBD体积．
【解析】
（1）设AC∩BD＝O，连接PO，
∵BC＝CD，AC⊥BD，∴O为BD中点．
又∵PB＝PD，∴PO⊥BD，∵平面PAC⊥平面PBD，平面PAC∩平面PBD＝PO，
∴BD⊥平面PAC，PA平面PAC，∴PA⊥BD，
在△PCA中，由余弦定理得PA2＝PC2＋AC2－2PC·ACcos30°，
PA2＝16＋12－2×4×23×23＝4，而PA2＋AC2＝PC2，
∴PA⊥AC，
PA⊥BD，
PA⊥平面ABCD.6分
BD∩AC＝O，
PM
2
（2）因为MC＝2，可知点M到平面PBD的距离是点
C到平面PBD的距离的
3，
2
2
∴VM－PBD＝VC－PBD＝VP－BCD，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，AB⊥BC，
3
3
△
3×32
9
3
，
则∠BAC＝60°，AB＝ACsin30°＝3，BC＝3，则SBCD＝
4
＝
4
2
2
1
9
3
3.12分
∴VM－PBD＝VP－BCD＝××
×2＝
3
3
3
4
19．（本题满分
12分）
某公司计划购买
1台机器，且该种机器使用三年后即被淘汰．在购进机器时
，可以一次
性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用
200元，另外实际维修一次还需向维修人员支
付小费，小费每次
50元．在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数
，
则每维修一次需支付维修服务费用
500元，无需支付小费．现需决策在购买机器时应同时一
次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了
100台这种机器在三年使用期间的维修次数
，得
如下统计表：
维修次数
8
9
10
11
12
频数
10
20
30
30
10
记x表示1台机器在三年使用期内的维修次数
，y表示1台机器在维修上所需的费用
（单
位：
元），n表示购机的同时购买的维修服务次数．
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