N
9.已知平面α∩平面β=直线l,点A、C∈α,点B、D∈β,且
分别是线段AB、CD的中点,则下列说法正确的是(B)
A.当|CD|=2|AB|时,M、N不可能重合
B.M、N可能重合,但此时直线AC与l不可能相交
C.当直线AB、CD相交,且AC∥l时,BD可与l相交
D.当直线AB、CD异面时,MN可能与l平行
A、B、C、D
l,点
M、
【解析】对于A,当|CD|=2|AB|时,若A、B、C、D四点共面且AC∥BD时,则M、N
两点能重合.故A不对;对于B,若M、N两点可能重合,则AC∥BD,故AC∥l,此时直
线AC与直线l不可能相交,故B对;对于C,当AB与CD相交,直线AC平行于l时,直线BD可以与l平行,故C不对;对于D,当AB、CD是异面直线时,MN不可能与l平行,
从而D不对,故选B.
x-y≥0,
10.若存在实数x,y使不等式组x-3y+2≤0,与不等式x-2y+m≤0都成立,则实数x+y-6≤0
m的取值范围是(B)
A.m≥0B.m≤3C.m≥1D.m≥3
x-y≥0,
【解析】作出不等式组x-3y+2≤0,表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,
x+y-6≤0
其中A(4,2),B(1,1),C(3,3).设z=F(x,y)=x-2y,将直线l:
z=x-2y进行平移,当
l经过点A时,目标函数z达到最大值,可得z最大值=F(4,2)=0;当l经过点C时,目标函
数z达到最小值,可得z最小值=F(3,3)=-3,因此,z=x-2y的取值范围为[-3,0],∵存在实数m,使不等式x-2y+m≤0成立,即存在实数m,使x-2y≤-m成立,∴-m大于或等于z=x-2y的最小值,即-3≤-m,解之得m≤3,故选B.
x
2
y
2
2+(y-b)2=4与l交于
2
2
,b>0)
的一条渐近线为
11.已知双曲线a
-b
=1(a>0
l,圆C:
x
π
第一象限A、B两点,若∠ACB=3,且|OB|=3|OA|其中O为坐标原点,则双曲线的离心率为(D)
21313
A.3B.3
2
13
21
C.
5
D.
3
x2
y2
b
2
2
【解析】双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为:
y=ax,圆C:
x+(y-b)
=4
的
π
圆心坐标为(0,b),半径为2,由∠ACB=3所以三角形ABC是边长为2的等边三角形,故
b
AB=2,OA=1,圆心到直线y=ax的距离为
3,在△OBC,△OAC中,由余弦定理得
cos∠
b2+1-4
=
32+b2-4
2
圆心到直线y=
b
ab
=
c
7
BOC=
2b
6b
,解得b=7
ax的距离为
3,有c
3,∴=
a
3
21
=3,故选D.
12.已知函数y=f(x)的定义域为R,当x<0时f(x)>1,且对任意的实数
x,y∈R,等式
1
(n∈N
*
),且a1=f(0),则下列结论成
f(x)f(y)=f(x+y)成立,若数列{an}满足f(an+1)f1+an
=1
立的是(A)
)>f(
)
B.f(
)>f(
)
A.f(
a2016
a2018
a2017
a2020
C.f(a2018)>f(a2019)
D.f(a2016)>f(a2019)
【解析】由题意可知,不妨设f(x)=1
x
1
,则f(0)=1,∵f(an+1)f
1+an
=1=f(0),∴则an
2
1
1
1
+1+
=0,即an+1=-
且a1=1,当n=1时,a2=-
2;当n=2时,a3=-2;当n
1+an
1+an
=3时,a4=1,所以数列{an}是以3为周期的周期数列;
a2016=a3=-2,a2017=a1=1,a2018
1
1x
=a2=-
2,a2
019=a3=-2,a2020=a1=1,又因为
f(x)=
2是单调递减函数
,所以
f(a2016)>f(a2018).故答案选A.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.
第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第
22、23题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:
本大题共
4个小题,每小题5分,满分20分.请把答案填在答题卷对应题
号后的横线上.
13.已知a=(3,4),b=(t,-6),且a,b共线,则向量a在b方向上的投影为__-5__.
14.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知
3(acosC-ccosA)=b,B=
60°,则A的大小为__75°__.
【解析】由3(acosC-ccosA)=b及正弦定理得
3(sinAcosC-sinCcosA)=sinB,即3
3
1
sin(A-C)=2
,sin(A-C)=2,∴A-C=30°,又∵A+C=180°-B=120°,∴2A=150°,得A
=75°.
15.已知点A(-2,0)、B(0,2),若点C是圆x
2-2ax+y2+a2-1=0上的动点,△ABC
面积的最小值为
3-2,则a的值为__1或-5__.
【解析】圆的标准方程为(x-a)2+y2=1,圆心M(a,0)到直线AB:
x-y+2=0
的距离
|a+2|
AB
的最短距离为
|a+2|
△
1×22
为d=
,圆上的点到直线
d-1=
-1,(SABC)min=
2
2
2
|a+2|-2
×
=3-2,解得a=1或a=-5.
2
16.已知函数
21≤x≤e,e为自然对数的底数
与h(x)=2lnx的图象上存在关
g(x)=a-xe
于x轴对称的点,则实数a的取值范围是__[1,e2-2]__.
2
1
【解析】因为函数
g(x)=a-x
e≤x≤e,e为自然对数的底数
与h(x)=2lnx的图象上存
2
2
1
在关于x轴对称的点,等价于a-x
=-2lnx-a=2lnx-x
,在e,e上有解,设f(x)=2ln
2
2
2(1+x)(1-x)
1
x-x,求导得f(x)=
-2x=
x
,∵≤x≤e,∴f′(x)=0在x=1有唯一的极值
x
e
1
1
1
点,f(x)在e,1上单调递增,在[1,e]上单调递减,f(x)max=f
(1)=-1,∵fe
=-2-e2,f(e)
=2-e2,f(e)
2-e2≤-a≤-1,从而a的取值范围是[1,e2-2],故答案为[1,e2-2].
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本题满分12分)
已知数列{an}前n项和为Sn,a1=2,且满足Sn=12an+1+n,(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(4n-2)an+1,求数列{bn}的前n项和Tn.
n=
1
n+1+n,
S
2a
1
an+1-1
an+1,
【解析】
(1)
(n≥2)时,an=
Sn-1=
1
an+(n-1),
2
2
2
即an+1=3an-2(n≥2),即(an+1-1)=3(an-1),当a1=2时,a2=2,
a2-1
=1≠3,
a1-1
故{an-1}是以a2-1=1为首项,3为公比的等比数列,∴an-1=1·3n-2,即an=3n-2+1,
n≥2.
∴an=
2,n=1,
6分
3n-2+1,n≥2.
(2)bn=(4n-2)an+1=(4n-2)·(3n-1+1)=(4n-2)3n-1+(4n-2)
记sn′=2·30+6·31+10·32++(4n-2)3n-1,①
n′=2·31+6·32++(4n-6)3n-1+
(4n-2)3n,②
3s
0
1
2
++3
n1
n
,
由①-②得,-2sn′=2·3+4·(3
+3
-)-(4n-2)
·3
∴sn′=2+(2n-2)3n,
n
+
(4n-2+2)n
n
2
分
∴Tn=2+(2n-2)·3
=2+(2n-2)·3+2n
.12
2
18.(本题满分12分)
如图所示,四棱锥P-ABCD,底面ABCD为四边形,AC⊥BD,BC=CD,PB=PD,平
面PAC⊥平面PBD,AC=23,∠PCA=30°,PC=4.
(1)求证:
PA⊥平面ABCD;
PM
(2)若四边形ABCD中,∠BAD=120°,AB⊥BC,M为PC上一点,且MC=2,求三棱锥M-PBD体积.
【解析】
(1)设AC∩BD=O,连接PO,
∵BC=CD,AC⊥BD,∴O为BD中点.
又∵PB=PD,∴PO⊥BD,∵平面PAC⊥平面PBD,平面PAC∩平面PBD=PO,
∴BD⊥平面PAC,PA平面PAC,∴PA⊥BD,
在△PCA中,由余弦定理得PA2=PC2+AC2-2PC·ACcos30°,
PA2=16+12-2×4×23×23=4,而PA2+AC2=PC2,
∴PA⊥AC,
PA⊥BD,
PA⊥平面ABCD.6分
BD∩AC=O,
PM
2
(2)因为MC=2,可知点M到平面PBD的距离是点
C到平面PBD的距离的
3,
2
2
∴VM-PBD=VC-PBD=VP-BCD,在四边形ABCD中,∠BAD=120°,AB⊥BC,
3
3
△
3×32
9
3
,
则∠BAC=60°,AB=ACsin30°=3,BC=3,则SBCD=
4
=
4
2
2
1
9
3
3.12分
∴VM-PBD=VP-BCD=××
×2=
3
3
3
4
19.(本题满分
12分)
某公司计划购买
1台机器,且该种机器使用三年后即被淘汰.在购进机器时
,可以一次
性额外购买几次维修服务,每次维修服务费用
200元,另外实际维修一次还需向维修人员支
付小费,小费每次
50元.在机器使用期间,如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数
,
则每维修一次需支付维修服务费用
500元,无需支付小费.现需决策在购买机器时应同时一
次性购买几次维修服务,为此搜集并整理了
100台这种机器在三年使用期间的维修次数
,得
如下统计表:
维修次数
8
9
10
11
12
频数
10
20
30
30
10
记x表示1台机器在三年使用期内的维修次数
,y表示1台机器在维修上所需的费用
(单
位:
元),n表示购机的同时购买的维修服务次数.