高二下学期期中教学质量监控测试数学试题 含答案.docx

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高二下学期期中教学质量监控测试数学试题含答案

2019-2020年高二下学期期中教学质量监控测试数学试题含答案

题号

1~10

11~15

16

17

18

19

20

总分

得分

阅卷人

【注意】：

本试卷中，第10、15题为分叉题，第19、20题的第（3）小题为分叉题，普通中学和重点中学分别选做相对应的题目．请答题者务必看清自己应答的试题．

一、填空题（本大题共10题，每小题3分，满分30分）

1、过点且与直线平行的直线方程为．

2、实数、满足约束条件

，则目标函数的最大值为．

3、若椭圆的两个焦点为、，椭圆的弦过点，且的周长等于20，该椭圆的标准方程为．

4、将画在水平放置的平面上得到，如果是斜边等于的等腰直角三角形，则的面积等于．

5、在的二面角的一个半平面内有一点，它到另一个半平面的距离等于1，则点到二面角的棱的距离为．

6、正方体的内切球与其外接球的表面积之比等于．

7、一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴上，则该圆的方程为．

8、若将一个的直角三角板的一直角边放在一桌面上，另一直角边与桌面所成角为，则此时该三角板的斜边与桌面所成的角等于．

9、用一个不平行于底面的平面截一个底面直径为6的圆柱，得到如图几何体，若截面椭圆的长轴长为10，这个几何体最短的母线长为6，则此几何体的体积为．

10、（普通中学做）对于曲线所在的平面上的定点，若存在以点为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点、恒成立，则称角为曲线的“点视角”，并称其中最小的“点视角”为曲线相对于点的“点确视角”．已知曲线：

，相对于点的“点确视角”的大小是．

10、（重点中学做）对于曲线所在的平面上的定点，若存在以点为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点、恒成立，则称角为曲线的“点视角”，并称其中最小的“点视角”为曲线相对于点的“点确视角”．已知曲线：

（），相对于坐标原点“点确视角”的大小是．

二、选择题（本大题共有5小题，每小题4分，满分20分）

11、若直线∥平面，直线在平面内，则直线与的位置关系为……（）

A、一定平行B、一定异面C、一定相交D、可能平行、可能异面

12、双曲线的焦距等于…………（）

A、2B、4C、3D、6

13、设直线与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是……………………（）

A、在平面内没有直线与直线垂直

B、在平面内有且只有一条直线与直线垂直

C、在平面内有无数条直线与直线垂直

D、在平面内存在两条相交直线与直线垂直

14、过抛物线的焦点作一直线交抛物线于、两点，如果，则线段的中点到准线的距离等于………………（）

A、B、C、D、

15、（普通中学做）是棱长为1的正方体，一个质点从A出发沿正方体的面对角线运动，每走完一条面对角线称为“走完一段”，质点的运动规则如下：

运动第段与第所在直线必须是异面直线（其中是正整数）．问质点从A点出发又回到起点A走完的段数是…………………（）

A、3B、4C、5D、6

15、（重点中学做）是棱长为1的正方体，一个质点从A出发沿正方体的面对角线运动，每走完一条面对角线称为“走完一段”，质点的运动规则如下：

运动第段与第所在直线必须是异面直线（其中是正整数）．质点走完的第99段与第1段所在的直线所成的角是………………（）

A、B、C、D、

三、解答题（本大题共50分．第19、20题的第（3）是分叉题，普通中学和重点中学分别选做相对应的题目．）

16、（本题满分8分）已知圆：

．

（1）求直线被圆截得的弦长；

（2）求过点的圆的切线方程．

17、（本题满分8分）在四面体中，，，

点、、都是所在边的中点，、、这三点所确定的平面与直线相交于点．

（1）证明：

点是线段的中点；

（2）求异面直线与所成的角的大小．

18、（本题满分10分）如图，是圆柱的直径且，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点．

（1）求圆柱的侧面积和体积；

（2）求三棱锥体积的最大值；

（3）若，是的中点，点在线段上，求的最小值．

19、（本题12分．普通中学做第

（1）

（2）小题及第（3）小题的命题甲，重点中学做第

（1）

（2）小题及第（3）小题的命题乙）

已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点为．

（1）求双曲线的方程；

（2）过双曲线上的任意一点，分别作这两条渐近线的平行线与这两条渐近线得到四边形，证明四边形的面积是一个定值；

（3）（普通中学做）命题甲：

设直线与在第一象限内与渐近线所围成的三角形绕着轴旋转一周所得几何体的体积．

（重点中学做）命题乙：

设直线与在第一象限内与双曲线及渐近线所围成的如图所示的图形OABN，求它绕轴旋转一圈所得几何体的体积．

20、（本题12分．普通中学做第

（1）

（2）小题及第（3）小题的命题甲，重点中学做第

（1）

（2）小题及第（3）的命题乙）

已知抛物线：

，焦点，如果存在过点的直线与抛物线交于不同的两点、，使得，则称点为抛物线的“分点”．

（1）如果，直线：

，求的值；

（2）如果为抛物线的“分点”，求直线的方程；

（3）（普通中学做）命题甲：

证明点不是抛物线的“2分点”；

（重点中学做）命题乙：

如果是抛物线的“2分点”，求的取值范围．

虹口区xx第二学期高二年级数学学科

期中教学质量监控测试卷答案

一、填空题

1、；2、10；3、；4、；

5、；6、；7、；8、；

9、；10、（普通）；（重点）

二、选择题

11、D；12、D；13、C；14、C；15、B（普通）、D（重点）

三、解答题

16、（8分）解：

（1）圆心，半径，……………………2分

圆心到直线的距离，弦长．…………4分

另解：

将代入整理得，，，

．

（2）设所求的切线方程为，即，由，整理得，解得，，两条直线方程为，．……………………8分

17、（8分）解：

（1），，∥

∥平面．

又由∥平面，过作平面与平面相交交线为，则∥．，，点是线段的中点．………………4分

（2）连，由

（1）知∥，的大小等于异面直线与所成角的大小或其补角的大小．……………………6分

在中，，，，．

异面直线与所成的角大小等于．…8分

18、（10分）解：

（1）圆柱的底面半径，高，圆柱的侧面积（平方单位）．

圆柱的体积（立方单位）……………………3分

（2）三棱锥的高，底面三角形中，，点到的最大值等于底面圆的半径，所以三棱锥体积的最大值等于．………………6分

（3）将绕着旋转到使其共面，且在的反向延长线上．

，，，，

的最小值等于……………………10分

19、（12分）解：

（1）设双曲线方程为，，渐近线方程为，，且，从而，双曲线的方程为．…………4分

（2）由于两条渐近线互相垂直，四边形为矩形．

设，则，

．

四边形的面积是一个定值．………………8分

（3）命题甲：

设在第一象限内与渐近线的交点N的横坐标，三角形绕着轴旋转一周所得几何体是一个以为半径，为高的圆锥，体积等于（立方单位）…12分

命题乙：

设在第一象限内与渐近线的交点N的横坐标，与双曲线第一象限的交点B的横坐标，记与轴交于点M，因为

根据祖暅原理，可得旋转体的体积为（立方单位）……12分

20（12分）解：

（1）由得，从而，，从而

，

，，…………3分

注：

如果用是的中点，得到结果也可以．

（2）解一：

设、，不妨设，，设直线：

．

得，得．……5分

将代入得，，，得．直线：

，即．……7分

解二：

设直线：

（），代入整理得，

．由韦达定理得

，

．…………5分

点到直线：

的距离．

由得

，解得，

又（），，消得，将代入整理得，，得，直线………………7分

（3）命题甲：

解一：

设直线：

（），代入整理得，

．由韦达定理得

，

．

点到直线：

的距离．

由得

，解得，………………9分

又（），，消得，将代入化简得，解得，矛盾点不是抛物线的“2分点”．………………12分

解二：

如果点是抛物线的“2分点”，则存在直线：

，使得．

由，得，得或……9分

将代入得，，或，得到，与矛盾．点不是抛物线的“2分点”．…………12分

注：

由，得到、一正一负，得到矛盾也可以

命题乙：

设、，不妨设，，设直线：

．

将直线：

代入得，．

由，得

，，……10分

从而

，消得

，求得．…………12分