函数的应用渗透法制教育.docx

函数的应用渗透法制教育.docx

《函数的应用渗透法制教育.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数的应用渗透法制教育.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

函数的应用渗透法制教育

§2.9　函数的应用

一．教材分析

本小节的主要内容是学习函数应用题。

函数的应用涉及的知识丰富、方法灵活，能力要求也高。

复习函数的应用对函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。

2.学情况分析

刚刚进入一轮复习，学生们都还不太适应。

由于函数概念十分抽象，这更加增加了对函数的应用教学的难度。

三．设计理念

本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对函数的应用复习首先要挖掘其知识背景贴近学生实际合理渗透法制教育，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式.

四.教学目标:

1.知识目标：

（1）、掌握函数应用题的一般解题步骤.

（2）、了解几类函数模型及其增长差异

2、法制渗透目标：

（1）《中华人民共和国人口与计划生育法》第一条、第二条、第九条

（2）《中华人民共和国道路交通安全法》第九十一条.

（3）《中华人民共和国个人所得税法》、《中华人民共和国个人所得税法实施条例》

5.教学重难点：

掌握函数应用题的一般解题步骤

六．学法与教学用具

1．学法：

通过让学生思考、交流、讨论、发现函数模型；

2．教学手段：

多媒体计算机辅助教学。

七.教学过程设计

（一）知识回顾，理清教材

1．几类函数模型及其增长差异

（1）几类函数模型

函数模型

函数解析式

一次函数模型

f（x）＝ax＋b（a、b为常数，a≠0）

反比例函数模型

f（x）＝

＋b（k，b为常数且k≠0）

二次函数模型

f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）

指数函数模型

f（x）＝bax＋c（a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1）

对数函数模型

f（x）＝blogax＋c（a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1）

幂函数模型

f（x）＝axn＋b（a，b为常数，a≠0）

（2）三种函数模型的性质

y＝ax（a>1）

y＝logax（a>1）

y＝xn（n>0）

在（0，＋∞）上的增减性

单调递增

单调递增

单调递增

增长速度

越来越快

越来越慢

相对平稳

图象的变化

随x的增大逐渐表现为与y轴平行

随x的增大逐渐表现为与x轴平行

随n值变化而各有不同

值的比较

存在一个x0，当x>x0时，有logax

2.解函数应用问题的步骤（四步八字）

（1）审题：

弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；

（2）建模：

将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

（3）解模：

求解数学模型，得出数学结论；

（4）还原：

将数学问题还原为实际问题的意义．

以上过程用框图表示如下：

（二）题型分类，深度剖析

题型一　二次函数模型

例1、某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段，已知跳水板AB长为2m，跳水板距水面CD的高BC为3m，CE＝5m，CF＝6m，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点hm（h≥1）时达到距水面最大高度4m，规定：

以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．

（1）当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；

（2）若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h的取值范围．

思维启迪　

（1）可根据抛物线方程的顶点式求跳水曲线所在的抛物线方程；

（2）利用x＝5，x＝6时函数值的符号求h范围．

解　

（1）由题意知最高点为（2＋h,4），h≥1，

设抛物线方程为y＝a[x－（2＋h）]2＋4，

当h＝1时，最高点为（3,4），方程为y＝a（x－3）2＋4，

将A（2,3）代入，得3＝a（2－3）2＋4，解得a＝－1.

∴当h＝1时，跳水曲线所在的抛物线方程为y＝－（x－3）2＋4.

（2）将点A（2,3）代入y＝a[x－（2＋h）]2＋4

得ah2＝－1，所以a＝－

.

由题意，得方程a[x－（2＋h）]2＋4＝0在区间[5,6]内有一解．

令f（x）＝a[x－（2＋h）]2＋4＝－

[x－（2＋h）]2＋4，

则f（5）＝－

（3－h）2＋4≥0，且f（6）＝－

（4－h）2＋4≤0.

解得1≤h≤

.

达到压水花的训练要求时h的取值范围为[1，

]．

　某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系是y＝3000＋20x－0.1x2（0

A．100台B．120台

C．150台D．180台

答案　C

解析　设利润为f（x）万元，则

f（x）＝25x－（3000＋20x－0.1x2）

＝0.1x2＋5x－3000（0

令f（x）≥0，得x≥150，

∴生产者不亏本时的最低产量是150台．

设计意图：

　实际生活中的二次函数问题（如面积、利润、产量等），可根据已知条件确定二次函数模型，结合二次函数的图象、单调性、零点解决，解题中一定注意函数的定义域．

题型二　指数函数模型

例2、某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2％，试解答以下问题：

（1）写出该城市人口总数

y（万人）与年份x（年）的函数关系式；

（2）计算10年后该城市人口总数（精确到0.1万人）；

（3）大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）？

思维启迪　从所给信息中找出关键词，增长率问题可以建立指数函数模型．

解：

（1）1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2％=100×（1+1.2％）.

2年后该城市人口总数为y=100×（1+1.2％）+100×（1+1.2％）×1.2％=100×（1+1.2％）

3年后该城市人口总数为y=100×（1+1.2％）

+100×（1+1.2％）

×1.2％=100×（1+1.2％）

……

所以该城市人口总数

y（万人）与年份x（年）的函数关系式y=100×（1+1.2％）

（2）、10年后该城市人口总数

100×（1+1.2％）

≈112.7（万）

（3）、设x年后该城市人口将达到120万人，即

100×（1+1.2％）

≥120所以x≥log

1.2≈15.3≈15（年）

答：

大约15年以后该城市人口将达到120万人.

设计意图：

此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N（1＋p）x（其中N是基础数，p为增长率，x为时间）和幂函数模型y＝a（1＋x）n（其中a为基础数，x为增长率，n为时间）的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．

为控制人口数量，提高人口素质，我国制定了相关法律条文。

《中华人民共和国人口与计划生育法》

第一条为了实现人口与经济、社会、资源、环境的协调发展，推行计划生育，维护公民的合法权益，促进家庭幸福、民族繁荣与社会进步，根据宪法，制定本法。

第二条我国是人口众多的国家，实行计划生育是国家的基本国策。

国家采取综合措施，控制人口数量，提高人口素质。

国家依靠宣传教育、科学技术进步、综合服务、建立健全奖励和社会保障制度，开展人口与计划生育工作。

第九条国务院编制人口发展规划，并将其纳入国民经济和社会发展计划。

县级以上地方各级人民政府根据全国人口发展规划以及上一级人民政府人口发展规划，结合当地实际情况编制本行政区域的人口发展规划，并将其纳入国民经济和社会发展计划。

一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25％的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：

驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL,那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过_______小时才能开车。

（精确到1小时）

解：

设至少经过x小时才能开车。

由题意得

0.3（1-25％）

≤0.09所以0.75

≤0.3，x≥log

0.3≈5

答：

至少5个小时后才能开车。

设计意图：

为了减少酒驾带来的安全隐患，我国制定了相关法律条文。

《中华人民共和国道路交通安全法》

第九十一条饮酒后驾驶机动车的，处暂扣一个月以上三个月以下机动车驾驶证，并处二百元以上五百元以下罚款；醉酒后驾驶机动车的，由公安机关交通管理部门约束至酒醒，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下机动车驾驶

题型三　分段函数模型

例3

　　《中华人们共和国个人所得税法》第十四条中有下表：

 个人所得税税率表一（工资、薪金所得使用）

20XX年9月1日起个人所得税起征点3500元/月

级别

全月应纳税所得额

税率（%）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

不超过1500元部分

超过1500元至4500元部分

超过4500元至9000部分

超过9000元至35000元部分

超过35000元至55000元部分

超过55000元至80000元部分

超过80000元部分

3

10

20

25

30

35

45

目前，上表中“全月应纳税所得额”是从月工资、薪金（缴纳三金后的收入）收入中减去3500后的余额.

（1）写出月工资、薪金的个人所得税y关于收入额x（0

（2）一公司职员某月缴纳个人所得税445元，问她该月薪金收入多少元？

思维启迪　题中y关于x的函数为分段函数关系

解：

（1）设某人缴纳三金后的工资收入为x元，应缴纳税款为y元。

则

y=（x-3500）×3%，（3500≤x<5000）;

y=1500×3%+（x-5000）×10%，（5000≤x<8000）;

y=1500×3%+3000×10%+（x-8000）×20%，（8000≤x<12500）;

所以

（x-3500）×3%，（3500≤x<5000）;

45+（x-5000）×10%，（5000≤x<8000）;

345+（x-7500）×20%，（8000≤x<12500）

设计意图：

（1）分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．

（2）构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏．

（3）告诉学生依法纳税是每个公民应尽的义务，纳税越多为国家作的贡献就越大，同时也说明你的收入越多，我们每个人都应该做个遵纪守法的好公民，热爱祖国，为祖国做贡献

某市居民自来水收费标准如下：

每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x（吨）．

（1）求y关于x的函数；

（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．．

解　

（1）当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，y＝1.8（5x＋3x）＝14.4x；

当甲的用水量超过4吨时，乙的用水量不超过4吨，即3x≤4，且5x>4时，y＝4×1.8＋3x×1.8＋3（5x－4）＝20.4x－4.8.

当乙的用水量超过4吨，即3x>4时，

y＝2×4×1.8＋3×[（3x－4）＋（5x－4）]＝24x－9.6.

所以y＝

（2）由于y＝f（x）在各段区间上均单调递增；

当x∈[0，

]时，y≤f（

）<26.4；

当x∈（

，

]时，y≤f（

）<26.4；

当x∈（

，＋∞）时，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5.

所以甲户用水量为5x＝5×1.5＝7.5吨；

付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70（元）；

乙户用水量为3x＝4.5吨，

付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70（元）．

（三）归纳小结

方法与技巧

1．认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础；

2．实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值．

3．解函数应用题的四个步骤：

①审题；②建模；③解模；④还原．

失误与防范

1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型．

2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．

3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性.

（四）作业布置

教学反思

本节课是高三一轮复习课。

本节课主要学习函数模型的应用题。

本节课教学过程中，根据学生的实际情况对例题进行了再加工，设计了适合学生发展的教学过程，既有针对性又有发展性，既响应高考要求又培养了学生法律意识。

这样的教学内容也能使课堂氛生动、形象、富有情趣。

在教师的指导下让学生自己寻找资料，参与知识的形成和发展过程，能够培养学生获取知识、发展知识、运用知识解决问题的能力，以及用数学语言进行交流的能力。

而且在获取材料的同时能感受到数学的生活气息及时代气息，体会到数学的价值，并能够增强学生运用数学的意识。