甘肃省届高三下学期第一次高考诊断考试理科数学试题含答案解析.docx
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甘肃省届高三下学期第一次高考诊断考试理科数学试题含答案解析
甘肃省2022届高三下学期第一次高考诊断考试理科数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．复数
（
为虚数单位）的共轭复数
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．2021年7月下旬某省遭遇特大洪涝灾害，某品牌服饰公司第一时间向该省捐款5000万元物资以援助抗灾，该品牌随后受到消费者的青睐．右图为该品牌服饰某分店1—8月的销量（单位：
件）情况．以下描述不正确的是（ ）
A．这8个月销量的极差为4132
B．这8个月销量的中位数2499
C．这8个月中2月份的销量最低
D．这8个月中销量比前一个月增长最多的是7月份
4．如图，AB是
的直径，点C，D是半圆弧
上的两个三等分点，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
6．函数
的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
的最小正周期是
B．直线
是
图象的一条对称轴
C．点
是
图象的一个对称中心
D．
的单调递减区间是
7．定义在R上的奇函数
，满足
，且当
时，
，则
（ ）
A．-8B．-2C．2D．8
8．直线
与椭圆
相交于A，B两点，若将x轴下方半平面沿着x轴翻折，使之与上半平面成直二面角，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．在直角△ABC中，
，
，
，且
，分别以BC，AC，AB所在直线为轴，将△ABC旋转一周，形成三个几何体，其表面积和体积分别记为
，
，
和
，
，
，则它们的关系为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
10．已知以圆
：
的圆心为焦点的抛物线
与圆在第一象限交于
点，
点是抛物线
：
上任意一点，
与直线
垂直，垂足为
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．线段AB上任取一点C，若
，则点C是线段AB的“黄金分割点”，以AC，BC为邻边组成的矩形称为“黄金矩形”．现在线段AB上任取一点C，若以AC，BC为邻边组成矩形，则该矩形的面积小于“黄金矩形”的面积的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．设函数
函数
若存在唯一的
，使得
的最小值为
，则实数
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．若双曲线
的离心率为
，则该双曲线的渐近线方程为______．
14．已知等差数列
满足
，
，则
______．
15．曲线
的一条切线的方程为
，则实数
______．
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．若角C的平分线交AB于D点，且
，则
的最小值为______．
三、解答题
17．已知数列
满足
，
．数列
满足
，
，
，
．
（1）求数列
及
的通项公式；
（2）求数列
的前n项和
．
18．2021年国庆节过后我省多地突发新冠疫情，某行业主管部门为了了解本行业中的小企业在疫情后的恢复生产情况，随机调查了150个企业，得到这些企业第四季度相对于去年同期产值增长率的频数分布表如下：
增长率分组
企业数
15
30
50
38
17
（1）根据上述增长率的频数分布表，估计这些企业中产值负增长的企业比例（用百分数表示）；估计这150个企业同期产值增长率的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）某调研部门要从当地本行业所有企业中任意选取两个企业做调查研究，若被调查的企业同期增长率
，则调研价值为1；被调查的企业同期增长率
，则调研价值为2；被调查的企业同期增长率
，则调研价值为3．以表中对应各组的频率为概率，设选取的两个企业的调研价值之和为X，求X的分布列及数学期望．
19．如图，三角形ABC是边长为3的等边三角形，E，F分别在边AB，AC上，且
，M为BC边的中点，AM交EF于点O，沿EF将三角形AEF折到DEF的位置，使
．
（1）证明：
平面EFCB；
（2）若平面EFCB内的直线
平面DOC，且与边BC交于点N，问在线段DM上是否存在点P，使二面角P—EN—B的大小为60°？
若存在，则求出点P；若不存在，请说明理由．
20．已知动点P到点
的距离与它到直线
的距离之比为
．
（1）求动点P的轨迹所形成曲线C的方程；
（2）
，分别过
，
作斜率为k
的直线与曲线C交于x轴上方A，B两点，若四边形
的面积为
，求k的值．
21．已知函数
，
．
（1）判断函数
的单调性；
（2）当
时，关于x的不等式
恒成立，求实数b的取值范围．
22．如图，曲线
是著名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为
．曲线
是经过极点且在极轴上方的圆，其圆心在经过极点且垂直于极轴的直线上，直径为1．
（1）求曲线
的极坐标方程，并求曲线
和曲线
交点的极坐标；
（2）以极点为坐标原点，极轴所在的直线为x轴，经过极点且垂直于极轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系，曲线
的参数方程为
（t为参数）．若曲线
与曲线
相交于除极点外的M，N两点，求线段MN的长度．
23．已知函数
．
（1）求不等式
的解集；
（2）若
，
，且
，求证：
．
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据对数函数的单调性解不等式求集合A，再由集合的交运算求
.
【详解】
由题设，
，而
，
所以
.
故选：
B
2．B
【解析】
【分析】
根据复数乘法及共轭复数的概念求解.
【详解】
，
，
故选：
B
3．B
【解析】
【分析】
根据销量折线图，结合极差、中位数的概念，逐项分析即可得解.
【详解】
由折线图可知极差为
，故A正确；
销量由小到大排列为
，所以中位数为
，故B错误；
由折线图可知2月份销量最低，故C正确；
由折线图可知，7月份销量比6月份销量增长
件，最大，故D正确.
故选：
B
4．C
【解析】
【分析】
根据圆的几何性质、菱形以及向量运算确定正确选项.
【详解】
画出图象如下图所示，
由于
是半圆弧
上的两个三等分点，
所以
是等边三角形，
所以
，
所以四边形
是菱形，四边形
是菱形，
所以
.
故选：
C
5．A
【解析】
【分析】
分别求解“
”与“
”的充要条件再判断即可.
【详解】
易得当
时,
.当
时,
.
故“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：
A
【点睛】
本题主要考查了三角函数值求定义域的方法以及充分与必要条件的判定,属于基础题.
6．C
【解析】
【分析】
根据函数图象求出周期
，判断A，再由正弦型函数的对称轴、对称中心、单调区间判断BCD即可.
【详解】
由图象可知
，即
，故A错误；
由
可得
，又因为函数图象过点
，
所以
，由五点法作图可知，
即
，又
，故
，
所以
，
当
时，
故B错误；
因为
，所以点
是
图象的一个对称中心，故C正确；
令
，解得
，
即函数的单调递减区间为
，故D错误.
故选：
C
7．D
【解析】
【分析】
根据f（x）是R上的奇函数，并且
，便可推出
，即f（x）的周期为8，由周期性及函数为奇函数即可得解.
【详解】
∵
是定义在R上的奇函数，且
，
∴
，
∴
，
∴
的周期为8，
∵
时，
；
.
故选：
D
8．C
【解析】
【分析】
判断直线与椭圆的交点的位置,然后求解|AB|的取值范围即可．
【详解】
由
可知，椭圆的短轴长
，长轴长
，
又直线
与椭圆
相交于A，B两点，
所以
的最大值为
，
将x轴下方半平面沿着x轴翻折，使之与上半平面成直二面角，此时
的最大值仍然是长轴长
，而短轴两个端点间的距离为
，由于A,B不能在短轴端点处，
所以
，
故选：
C
9．B
【解析】
【分析】
由直角三角形绕其直角边旋转可以得到一个圆锥,直角三角形绕其斜边旋转可以得到两个共用同一底面的圆锥的组合体,采用特例法，不妨令c=3、b=4、a=5，绕三边旋转一周分别形成三个几何体，求出他们的表面积和体积，进行比较可得答案.
【详解】
不妨设直角三角形的三边长分别为
，
当直角三角形绕
边旋转时，其表面是两个圆锥的表面，所以其表面积为
，体积
；
当直角三角形绕
边旋转时,
体积
；
当直角三角绕
边旋转时，
体积
.
；
故选：
B
10．A
【解析】
由圆的标准方程求得圆心，可得抛物线
方程，利用运用抛物线的定义可得
，从而可得结果.
【详解】
因为
的圆心
所以以
为焦点的抛物线方程为
，
由
，解得
，
抛物线
的焦点为
，准线方程为
，如图，
即有
，
当且仅当
在
之间）三点共线，可得最大值
，
故选：
A
【点睛】
方法点睛：
与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：
（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；
（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.
11．A
【解析】
【分析】
设
，求出“黄金矩形”的面积，再求出在线段AB上任取一点C，以AC，BC为邻边组成矩形的面积，由题意建立不等式求解，再根据几何概型,由线段长度求概率即可.
【详解】
设
，则由
解得
.
此时“黄金矩形”的面积为
.
在线段AB上任取一点C，并设
则以AC，BC为邻边组成矩形的面积为
，由该矩形的面积小于“黄金矩形”的面积可得
，解得
或
，故所求概率为
.
故选：
A
12．A
【解析】
【详解】
作出函数
的图象，
可得
的最小值为0，最大值为2；
，
当且仅当
取得最小值
，由存在唯一的
，使得
的值
为
，可得
，解得
，故选A．
13．
【解析】
【分析】
根据离心率求出
的值，进而可得渐近线方程.
【详解】
双曲线
的离心率为
，则
，
所以
，
，则渐近线方程为
．
故答案为：
.
14．6
【解析】
【分析】
由等差中项的性质求解即可.
【详解】
由等差中项可知，
，
故答案为：
6
15．9
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义求出切线斜率，再根据切点即在在曲线上也在切线上建立方程求解即可.
【详解】
设切点为
，
因为
，所以
，
又
，
所以
，即
，解得
，
所以
.
故答案为：
16．4
【解析】
【分析】
由正弦定理和三角函数恒等变换公式对已知式子化简可求得
，再由
平分
结合
，
，可得
，然后利用基本不等式可求得结果
【详解】
因为
，
所以由正弦定理得
因为
，所以
，
显然
，所以
因为
，所以
，
因为角
的平分线交AB于D点，
所以
，
因为
，且
，
所以
，
即
，
所以
，
所以
，当且仅当
时等号成立，
所以
，当且仅当
时等号成立，
所以
的最小值为4，
故答案为：
4
17．
（1）
，
；
（2）
【解析】
【分析】
（1）根据等差、等比数列的定义直接求出通项公式即可；
（2）利用分组求和及等差、等比数列的求和公式求解.
（1）
由
得
，
所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
故
，
由
可知数列
是等差数列，首项
，公差
，
所以
.
（2）
即
18．
（1）
；
（2）分布列见解析；
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得负增长的企业比例，由公式直接求平均数.
（2）先求出被调查的企业同期增长率在对应范围内的概率，然后得出
的取值，并求出各个取值对应的概率，得出分布列，由期望公式得出其期望.
（1）
负增长的企业比例为
这150个企业同期产值增长率的平均数为：
（2）
由题意被调查的企业同期增长率
的概率为
被调查的企业同期增长率
的概率为；
被调查的企业同期增长率
的概率为；
由题意选取的两个企业的调研价值之和X的取值为：
2,3,4,5,6
；
，
，
所以X的分布列为
X
2
3
4
5
6
19．
（1）证明见解析；
（2）存在，
.
【解析】
【分析】
（1）先由勾股定理证
，易得
，即得证；
（2）连接
，过
作
交
于
，如图建立空间直角坐标系
设
，再利用向量法求解.
（1）
证明：
在
中，易得
，
，
，
由
，得
，
又
，
，
，
又
为
中点，
，
，
因为
，
平面
，
平面
.
（2）
解：
连接
，过
作
交
于
，
平面
，
平面
，则
平面
，
又
，
四边形
为平行四边形，
，
如图建立空间直角坐标系
设
，
由题得平面
的法向量为
.
设平面
的法向量为
，
由题得
所以
，所以
.
由题得
所以
所以
，所以
，
因为二面角P—EN—B的大小为60°，
所以
，解之得
（舍去）或
.
此时
.
20．
（1）
；
（2）
.
【解析】
【分析】
（1）设
，利用直接法即可求解；
（2）延长
交椭圆
于点
，根据椭圆的对称性
，设
，将直线与椭圆方程联立，利用弦长公式求出
，再利用点到直线的距离公式求出点
到直线
的距离，进而表示出
，解方程即可.
（1）
设
，由题意得
，
整理得
，即为曲线C的方程．
（2）
由题意知
，延长
交椭圆
于点
，
由椭圆的对称性知
，
所以
，
设
，与
联立消得，
，
设
，
，
则
，
，
所以
，
因为点
到直线
的距离
所以
，
平方化简得
，解得
或
（舍），
所以
．
【点睛】
关键点点睛：
本题考查了直接法求动点的轨迹方程，直线与椭圆的位置关系，解题的关键是利用椭圆的性质可得
，求出弦长，考查了运算求解.
21．
（1）答案见解析；
（2）
.
【解析】
【分析】
（1）求出函数导数，对a分类讨论，解不等式即可得到函数
的单调性；
（2）关于
的不等式
恒成立等价于
在
恒成立，构建函数
，研究其单调性与最值即可.
（1）
的定义域为
，求导得：
，
若
时，则
，此时
在
单调递增；
若
时，则当
时
，
在
单调递减，
当
时，
，f（x）在
单调递增.
（2）
当
时，
，
由题意
在
上恒成立，
令
，则
，
令
，则
，所以
在
上递增，
又
，所以
在
上有唯一零点
，
由
得
，
当
时，
即
，
单调递减；
时，
即
，
单调递增，所以
为
在定义域内的最小值.
即
令
，则方程
等价于
，
又易知
单调递增，所以
，即
所以，
的最小值
所以
，即实数
的取值范围是
【点睛】
利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
22．
（1）
；
（2）2.
【解析】
【分析】
（1）根据圆的极坐标方程求出
，联立曲线
和曲线
的方程求交点即可；
（2）写出
的极坐标方程，求出M,N的极坐标，由极坐标的意义求线段MN的长度.
（1）
曲线
的极坐标方程为
.
与
方程联立代入得
，
解得
或
故所求交点坐标分别为
（2）
因为曲线
为过原点倾斜角是
的直线，故其极坐标方程为
和
.
联立两曲线
与
的方程，解得两交点的极坐标分别为
，
所以
.
23．
（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）将
表示为分段函数的形式，从而求得不等式
的解集.
（2）结合分析法以及基本不等式来证得不等式成立.
（1）
因为
，
由
，得
或
或
，
解得
或
或
，
所以不等式
的解集为
.
（2）
要证
，
即证
，
即证
，
因为
，
，
故只需证
.
由基本不等式可知，
，
当且仅当
时等号成立.
故命题得证.
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