重庆中考26题专题训练.docx

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重庆中考26题专题训练

1、如图，四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=3，动点M从D点出发，以1个单位/秒的速度沿DA向终点A运动，同时动点N从A点出发，以2个单位/秒的速度沿AB向终点B运动、当其中一点到达终点时，运动结束、过点N作NP⊥AB，交AC于点P连接MP、已知动点运动了x秒．

（1）请直接写出PN的长；（用含x的代数式表示）

（2）试求△MPA的面积S与时间x秒的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；

（3）在这个运动过程中，△MPA能否为一个等腰三角形？

若能，求出所有x的对应值；若不能，请说明理由．

分析：

（1）∵NP⊥AB，四

边形ABCD为矩形，

∴PN∥CB可得AN

AB=PN

BC；由

AB=4，AD=3，可知

BC=AD=3；动点动了x秒，

可知AN=2x；于是2x

4=PN

3，

即PN可求．

（2）△MPA的面积S=1

2

AM•AN，AM=AD-DM=3-

x，∴S=1

2•（3-x）•2x，动点

M由点D到达点A用时间为3

秒，动点N由A到B用时间为2

秒；N先到达终点，其中一点

到达终点时，运动结束，即0

＜x≤2．整理S=-（x-3

2）2+9

4，

可求S的最大值．

（3）假设△MPA为一个等腰

三角形，则会有PM=PA或

MP=AM或AP=AM．

过点P作PQ⊥AD交AD于点Q

①当PM=PA时，据

PQ⊥AD，得MQ=QA=PN=3

2

x，又DM+MQ+QA=AD，所

以4x=3，即x可求．

②当MP=AM时，由题意：

MQ=AD-AQ-DM=3-5

2x，

PQ=2x，MP=MA=3-x，在

Rt△PMQ中，由勾股定理

得：

MP2=MQ2+PQ2，x可

求．

③当AP=AM时，由PN∥BC，

得AP

AC=AN

AB，于是AP=5

2x，又

AM=3-x，则5

2x=3-x，即x可

求．综合可知△MPA能为一

个等腰三角形．

解答：

解：

（1）PN=3x

2．

（2）

过点P

作

PQ⊥AD交AD于点Q，

可知PQ=AN=2x

依题意，可得AM=3-x

∴S=1

2•AM•PQ=1

2•（3-x）

•2x=-x2+3x

亦即S=-（x-3

2）2+9

4

自变量x的取值范围是：

0＜

x≤2

∴当x=3

2时，S有最大值，S最

大值=9

4

（3）△MPA能成为等腰三角

形，共有三种情况：

①当PM=PA时，

∵PQ⊥AD，

∴MQ=PA=PN=3

2x

又∵DM+MQ+QA=AD，

∴4x=3，即x=3

4

②当MP=AM时，由题意：

MQ=AD-AQ-DM=3-5

2x，

PQ=2x，MP=MA=3-x

在Rt△PMQ中，由勾股定理

得：

MP2=MQ2+PQ2，

∴（3-x）2=（3-5

2x）

2+（2x）2

解之得：

x=36

37，x=0（不合

题意，舍去）

③当AP=AM时，

∵PN∥BC，

∴AP

AC=AN

AB，

∴AP=5

2x，

∵AM=3-x

∴5

2x=3-x，

解之得：

x=6

7．

综上所述，当x=3

4，或x=

36

37，或x=6

7时，△MPA是等

腰三角形．

点评：

此题为综合应用类型

的题目，有难度，但能考查

综合知识点运用的能力．

2、如图，在矩形ABCD中，AD=8，AB=6，点M是BC的中点，点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动，在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作正方形PQEF，使它与矩形ABCD在BC的同侧，点P，Q同时出发，当点P返回点M时停止运动，点Q也随之停止，设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）

（1）用含t的代数式表示线段BQ的长；

（2）设正方形PQEF与矩形ABCD重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

（3）连接AC，当正方形PQEF与△ADC重叠部分为三角形时，直接写出t的取值范围．

（1）求出BM，MQ，即可得出答案；

（2）分为三种情况：

①当0＜t≤3时，根据PQ=2t得出S=（2t）2；②当3＜t≤4时，根据PQ=2t，AB=6求出S=12t；③

当4＜t≤8时，根据PC=12-t，ab=6求出S=-6t+72；

（3）当点E在AC上时求出t=

12

11

，当F在AC上时求出t=

12

5

，即可得出答案；当点F在BA的延长线上时求出t=4．

解答：

解：

（1）∵在矩形ABCD中，AD=8，点M是BC的中点，

∴BC=AD=8，BM=4，

∵MQ=t，

∴BQ=t+4；

（2）分为三种情况：

①如图1，

当0＜t≤3时，

∵PQ=2t，

∴S=（2t）2，

∴S=4t2；

②如图2，

当3＜t≤4时，

∵PQ=2t，AB=6，

∴S=12t；

③如图3，

当4＜t≤8时，

∵PC=12-t，ab=6，

∴S=-6t+72；

（3）如图4，

当点E在AC上时，

∵△CEQ∽△CAB，

∴

EQ

AB

=

CQ

BC

，

∴

2t

6

=

4−t

8

，

∴t=

12

11

，

当F在AC上时，

∵△CPF∽△CBA，

∴

PF

AB

=

CP

BC

，

∴

2t

6

=

t+4

8

，

∴t=

12

5

，

∴

12

11

＜t≤

12

5

；

如图5，

当点F在BA的延长线上时，t=4，

即t的取值范围是

12

11

＜r≤

12

5

或t=4．

点评：

本题考查了正方形性质，相似三角形的性质和判定的应用，题目综合性比较强，难度偏大，注意要进行分类讨论啊．

答题：

zjx111老师

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3、如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，BC=2cm，∠A=30°；四边形DEFG为矩形，DE=2

cm，EF=6cm，且点C、B、E、F在同一条直线上，点B与点E重合．将Rt△ABC以每秒1cm的速度沿矩形DEFG的边EF向右平移，当点C与点F重合时停止移动，设Rt△ABC与矩形DEFG重叠部分的面积为y，Rt△ABC平移的时间为x （s）．

（1）求边AC的长；

（2）求y 与x 的函数关系式；（3）当Rt△ABC移动至重叠部分的面积为y＝

cm2时，将Rt△ABC沿边AB向上翻折，得到Rt△ABC′，请求出Rt△ABC′与矩形DEFG重叠部分的周长．（4）点P从点D出发，沿矩形DEFG的边DE、EF、FG运动到点G停止．其中点P在DE边上的速度为2

cm/s，在EF边上的速度为1cm/s，在FG边上的速度为4

cm/s．若点P与△ABC同时运动，请直接写出点P落在△ABC内部（不含边）时运动时间x的取值范围．

4、如图，在Rt△ABC中，AB=AC=4

．一动点P从点B出发，沿BC方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C即停止．在整个运动过程中，过点P作PD⊥BC与Rt△ABC的直角边相交于点D，延长PD至点Q，使得PD=QD，以PQ为斜边在PQ左侧作等腰直角三角形PQE．设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）在整个运动过程中，设△ABC与△PQE重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及相应的自变量t的取值范围；

（2）当点D在线段AB上时，连接AQ、AP，是否存在这样的t，使得△APQ成为等腰三角形？

若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由；

（3）当t=4秒时，以PQ为斜边在PQ右侧作等腰直角三角形PQF，将四边形PEQF绕点P旋转，PE与线段AB相交于点M，PF与线段AC相交于点N．试判断在这一旋转过程中，四边形PMAN的面积是否发生变化？

若发生变化，求出四边形PMAN的面积y与PM的长x之间的函数关系式以及相应的自变量x

的取值范围；若不发生变化，求出此定值．

（1）当PQ过A时求出t=4，当E在AB上时求出t=

16

3

，当P到C点时t=8，即分为三种情况：

根据三角形面积公式求出当0＜t≤4时，S=

1

4

t2，当4＜t≤

16

3

时，S=-

3

4

t2+8t-16，当

16

3

＜t＜8时，S=

3

4

t2-12t+48；

（2）存在，当点D在线段AB上时，求出QD=PD=t，PD=2t，过点A作AH⊥BC于点H，PH=BH-BP=4-t，在Rt△APH中求出AP=

AH2+PH2

＝

t2−8t+32

，（ⅰ）若AP=PQ，则有

t2−8t+32

=2t，（ⅱ）若AQ=PQ，过点Q作QG⊥AP于点G，根据△PGQ∽△AHP求出PG=

8t

t2−8t+32

，若AQ=PQ，得出

8t

t2−8t+32

=

1

2

t2−8t+32

．（ⅲ）若AP=AQ，过点A作AT⊥PQ于点T，得出4=

1

2

×2t，求出方程的解即可；

（3）四边形PMAN的面积不发生变化，连接AP，此时t=4秒，求出S四边形PMAN=S△APM+S△APN=S△CPN+S△APN=S△ACP=

1

2

×CP×AP=8．

解答：

解：

（1）当0＜t≤4时，S=

1

4

t2，

当4＜t≤

16

3

时，S=-

3

4

t2+8t-16，

当

16

3

＜t＜8时，S=

3

4

t2-12t+48；

（2）存在，理由如下：

当点D在线段AB上时，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C=

1

2

（180°-∠BAC）=45°．

∵PD⊥BC，

∴∠BPD=90°，

∴∠BDP=45°，

∴PD=BP=t，

∴QD=PD=t，

∴PQ=QD+PD=2t．

过点A作AH⊥BC于点H，

∵AB=AC，

∴BH=CH=

1

2

BC=4，AH=BH=4，

∴PH=BH-BP=4-t，

在Rt△APH中，AP=

AH2+PH2

＝

t2−8t+32

；

（ⅰ）若AP=PQ，则有

t2−8t+32

=2t．

解得：

t1=

4

7

−4

3

，t2=

−4

7

−4

3

（不合题意，舍去）；

（ⅱ）若AQ=PQ，过点Q作QG⊥AP于点G，如图

（1），

∵∠BPQ=∠BHA=90°，

∴PQ∥AH．

∴∠APQ=∠PAH．

∵QG⊥AP，

∴∠PGQ=90°，

∴∠PGQ=∠AHP=90°，

∴△PGQ∽△AHP，

∴

PG

AH

＝

PQ

AP

，即

PG

4

＝

2t

t2−8t+32

，

∴PG=

8t

t2−8t+32

，

若AQ=PQ，由于QG⊥AP，则有AG=PG，即PG=

1

2

AP，

即

8t

t2−8t+32

=

1

2

t2−8t+32

．

解得：

t1=12-4

7

，t2=12+4

7

（不合题意，舍去）；

（ⅲ）若AP=AQ，过点A作AT⊥PQ于点T，如图

（2），

易知四边形AHPT是矩形，故PT=AH=4．

若AP=AQ，由于AT⊥PQ，则有QT=PT，即PT=

1

2

PQ，

即4=

1

2

×2t．解得t=4．

当t=4时，A、P、Q三点共线，△APQ不存在，故t=4舍去．

综上所述，存在这样的t，使得△APQ成为等腰三角形，即t1=

4

7

−4

3

秒或t2=（12-4

7

）秒；

（3）四边形PMAN的面积不发生变化．理由如下：

∵等腰直角三角形PQE，

∴∠EPQ=45°，

∵等腰直角三角形PQF，

∴∠FPQ=45°．

∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=45°+45°=90°，

连接AP，如图（3），

∵此时t=4秒，

∴BP=4×1=4=

1

2

BC，

∴点P为BC的中点．

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AP⊥BC，AP=

1

2

BC=CP=BP=4，∠BAP=∠CAP=

1

2

∠BAC=45°，

∴∠APC=90°，∠C=45°，

∴∠C=∠BAP=45°，

∵∠APC=∠CPN+∠APN=90°，

∠EPF=∠APM+∠APN=90°，

∴∠CPN=∠APM，

∴△CPN≌△APM，

∴S△CPN=S△APM，

∴S四边形PMAN=S△APM+S△APN=S△CPN+S△APN=S△ACP=

1

2

×CP×AP=

1

2

×4×4=8．

∴四边形PMAN的面积不发生变化，此定值为8．

5、如图，∠C=90°，点A、B在∠C的两边上，CA=30，CB=20，连接AB．点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC方向运动，到点C停止．当点P与B、C两点不重合时，作PD丄BC交AB于D，作DE丄AC于E，F为射线CB上一点，且∠CEF=∠ABC．设点P的运动时间为x（秒）．

（1）用含有x的代数式表示CE的长．

（2）求点F与点B重合时x的值．

（3）当点F在线段CB上时，设四边形DECP与四边形DEFB重叠部分图形的面积为y（平方单位）．求y与x之间的函数关系式．

（4）当x为某个值时，沿PD将以D、E、F、B为顶点的四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出所有符合上述条件的x值．

（1）首先证明△ABC∽△DBP∽△FEC，即可得出比例式进而得出表示CE的长；

（2）根据当点F与点B重合时，FC=BC，即可得出答案；

（3）首先证明Rt△DOE∽Rt△CEF，得出

DO

DE

＝

CE

CF

，即可得出y与x之间的函数关系式；

（4）根据三角形边长相等得出答案．

解答：

解：

（1）∵PD⊥BC，DE⊥AC，且∠C=90°，

∴四边形DECP为矩形，

∴DE=PC，DP=EC，

又∵∠CEF=∠ABC，

∴△ABC∽△DBP∽△FEC，

∴

FC

EC

＝

DP

BP

＝

AC

BC

，

∵CA=30，CB=20，BP=4x，

∴

FC

EC

＝

DP

4x

＝

30

20

，

∴FC=9x，DP=EC=6x．

（2）当点F与点B重合时，FC=BC，

∴FC=BC，

∴9x=20，

解得：

x=

20

9

，

（3）当点F与点P重合时，4x+9x=20，

解得x=

20

13

，

∵FP=BC-FC-PB=20-9x-4x=20-13x，

∵DE=PC=BC-PB=20-4x，

∴y=（DE+FP）•DP•0.5=（20-4x+20-13x）•6x×0.5=3x（40-17x）=120x-51x2；

当

20

13

＜x≤

20

9

时，

矩形DECP中DP∥EC，

∴∠DOE=∠FEC，

∴Rt△DOE∽Rt△CEF，

∴

DO

DE

＝

CE

CF

，

∴

DO

20−4x

＝

6x

9x

，

∴DO=

2

3

（20-4x），

∴y=

1

2

DO•DE=

1

2

×

2

3

（20-4x）（20-4x）=

16

3

（5-x）2；

（4）①如图③，当PD=PF时，6x=20-13x，解得：

x=

20

19

；△B′DE为拼成的三角形；

②如图④当点F与点P重合时，4x+9x=20，解得：

x=

20

13

；△BDC为拼成的三角形；

③如图⑤，当DE=PB，20-4x=4x，解得：

x=

5

2

，△DPF为拼成的三角形．

6、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠B=60°，∠C=30°，AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，BE＝

，Rt△ABE沿BC方向匀速运动，平移速度为每秒1个单位，当点E与点C重合时停止运动，在整个平移过程中，设△ABE与直角梯形ADCE重叠部分的面积为S，设运动时间为t秒．

（1）直接写出当点E与点C重合时t的值；

（2）求S与t的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；

（3）点G为直线DF上一动点，当△ABE平移到点A与点D重合时，将△BDG绕点D逆时针旋转60°，得到△B′DG′（B的对应点为B′，G的对应点为G′），△BGG′的面积能否等于

？

若能，请求CG′的长度，若不能，请说明理由．

7、已知：

如图，等边△ABC的边长是4，在等边△ABC上再叠加一个Rt△DEF，∠DEF=90°，∠F=30°，等边△ABC的边BC与EF重合，顶点E与B重合，顶点A在DF上，

（1）求边EF的长；

（2）若△ABC沿EF方向从E运动到F，速度为1m/s，时间为x秒，设Rt△DEF和等边△ABC重合部分的面积是y，请你写出y与x之间的函数关系式；

（3）重合部分的面积与Rt△DEF的面积的比有可能是7：

24吗？

如果有可能，请求出此时x的值；如果没有可能，请说明理由．

8、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，点B（10，0），C（7，4）．直线l经过A，D两点，且sin∠DAB=

．动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．

（1）点A的坐标为，直线l的解析式为；

（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；

（3）试求

（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；

（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：

当t为何值时，△QMN为等腰三角形？

请直接写出t的值．