第一轮复习 命题及其关系充分条件与必要条件.docx
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第一轮复习命题及其关系充分条件与必要条件
第一轮复习命题及其关系、充分条件与必要条件
高三数学第一轮复习备考资料—集合与常用逻辑用语
命题及其关系、充分条件与必要条件
考点与要求1.了解命题的概念.
2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.
3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.知识与方法梳理 一、基础知识
A.命题1.命题
可以判断真假的陈述句,叫做命题.
注:
数学命题的表达形式有:
语言、符号、式子等.
判断一个语句是否是命题,一看“陈述句”,二看“可判断真假”仅此两点.
例如,①今天天气不错;②两直线平行,内错角相等;③2x?
1?
3;④若a?
b,c?
d,则a?
c?
b?
d.
以上四个句子中,①虽是陈述句,但不能判断其真假.“天气不错”的标准不明确.②是陈述句,且能判断正确,因此是命题.对于③,当x?
1时,为真;当x?
1时,为假.这句话虽是陈述句,但无真假可言,因此不是命题.④显然是命题.
2.假命题、真命题
真命题:
可以判断为真的命题,即当题设成立时,结论一定成立,叫做真命题.
假命题:
可以判断为假的命题,即当题设成立时,结论不一定成立或一定不成立,叫做假命题.
注:
判断一个命题的真假时,如果说一个命题是真命题,那么必须证明它的正确性;而判断一个命题是假命题时,只要举出一个反例,它符合命题的题设,但不满足结论就可以了.
延伸阅读:
开句、命题函数、开句的取真集开句、命题函数
形如“2x?
1?
3”、“x?
3?
2”等单独的方程、不等式语句,都不是命题,因为它们也对也不对,即无真假可言.这些语句在数理逻辑上叫做开句.开句又叫做命题函数,意思是当变元取不同的个体的时候,就得到不同的命题.
开句常记作P(x)、Q(y),其中变元x,y是在一定范围里变化.当x取某个个体a时,开句P(x)就变成了命题P(a).如:
对于“x?
3?
2”而言,当x?
?
1时,为真;当x?
?
1时,为假.
开句的取真集
对于开句,最为关心的是,哪些个体使句子为真,哪些个体使句子为假.例如,对于“x?
3?
2”而言,“”时为真,“”时为假.使开句P(x)取真的x的范围叫做的取真集,记作{x|P(x)}.对开句来说,取真集为{x|x?
3?
2}?
{x|x?
?
1}.
解方程,解不等式,本质上是找开句的取真集.将命题函数P(x)变成命题命题函数P(x)变成命题的方法有两个.
方法一:
将命题函数P(x)中的x用特殊个体a代入,从而得到对特殊个体a进行判断的命题,这种命题叫做单称命题P(a).例如“张三是共产党员”,其中“张三”是被判断的个体,“是共产党员”是谓词,“是”是判断词.
再如,命题函数P(x):
x?
3?
2,对x赋值1,?
3,可得到命题P
(1)和P(?
3),即P
(1):
1?
3?
2,和P(?
3):
(?
3)?
3?
2.当然P
(1)是真命题,P(?
3)是假命题.方法二:
利用量词来限制个体的范围
1
高三数学第一轮复习备考资料—集合与常用逻辑用语
例如:
命题函数P(x):
x?
3?
2,前面添加量词“所有的”或“有”,得到命题“所有的实数x都有x?
3?
2”或“有实数x使x?
3?
2”.前者是假命题,后者是真命题.
3.命题的形式若p,则q.
其中p叫做命题的条件,q叫命题的结论.
注:
绝大多数命题都能写成上述形式,但有些则不能,如特称命题.
B.四种命题及其关系
1.四种命题及其关系
四种命题是指原命题、原命题的逆命题、否命题、逆否命题.设原命题为:
“若p,则q”,则原命题的逆命题、否命题、逆否命题分别定义如下:
逆命题:
条件和结论分别是原命题的结论和条件,其形式:
“若q,则p”.否命题:
条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定,其形式:
“若?
p,则?
q”.逆否命题:
条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定,其形式:
“若?
q,则?
p”.
延伸阅读:
偏逆命题
当命题的条件和结论都是一个简单命题时,只要将它们进行交换就得到了原命题的逆命题.如上面例子.
当命题的条件和结论不只是一个简单命题时,将命题条件和结论中的简单命题任意进行交换位臵,就可以得到多个原命题的逆命题.如命题“垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧”,命题条件有两个:
“A:
垂直于弦”、“B:
过圆心”;结论也有两个:
“C:
平分这条弦”、“D:
平分弦所对的两条弧”.其形式即为:
A?
B?
C?
D,该命题的所有偏逆命题有:
A?
C?
B?
D:
弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧;A?
D?
B?
C:
垂直于弦且平分弦所对弧的直线经过圆心并且平分这条弦;B?
C?
A?
D:
平分弦的直径垂直于这条弦并且平分弦所对的两条弧;B?
D?
A?
C:
平分弦所对的弧直径垂直平分这条弦.
2.四种命题的真假关系
四种命题间的三种基本关系:
互逆、互否、互为逆否关系.
具有互逆关系的命题:
原命题与其逆命题、原命题的否命题与原命题的逆否命题.具有互否关系的命题:
原命题与其否命题、原命题的逆命题与原命题的逆否命题.具有互为逆否关系的命题:
原命题与其逆否命题、原命题的逆命题与原命题的否命题.等价命题:
同真同假的两命题称为等价命题.具有互为逆否关系的两个命题等价.
注:
同真同假的含义:
其中任何一个命题的真与假必然导致另一命题的真与假.
不等价关系:
两命题的真假性没有关系.互逆命题、互否命题不等价.C.充分条件与必要条件
记命题“若p,则q”为“q?
p”,若命题“若p,则q”为真,则进一步记作“p?
q”,为假时,则记作p?
?
q.
1.基本概念
若p?
q,则称p是q的充分条件,q是p的必要条件.
若p?
q,且p?
?
q,则称p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件.若p?
q,且p?
q,则称p是q的充要条件,这时,q也是p的充要条件.
若p?
?
q,且p?
?
q,则称p是q的不充分不必要条件,这时,q也是p的不充分不必要条件.
2
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注:
在判断中,要完整地叙述条件类型.比如:
“充分不必要条件”不能只说成“充分条件”.
叙述充要条件的等价语句:
“当且仅当”、“必须且只须”、“若且仅若”等.其中,“当、必须、若”表达的是条件的充分性,而“仅当、只须、仅若”表达的是条件的必要性.
2.对“充分条件”与“必要条件”的理解从定义本身去理解
充分条件:
要使结论q成立,只要具备条件p就足够了.
事实上,式子p?
q已经表明,条件p成立时,结论q一定成立,就是说,要使结论q成立,只要具备条件p就足够了.
必要条件:
当条件q成立时,结论p不一定成立,但条件q不成立时,结论p一定不成立.
依题意,条件为q、结论为p.
一方面,虽然命题“p?
q”为真,但其逆命题“q?
p”却未必为真,因此,当条件q成立时,结论p不一定成立.另一方面,命题“p?
q”为真,从而其逆否命题“?
q?
?
p”也真,即?
q?
?
p,据此可知,条件q不成立时,结论p一定不成立.
利用开关电路图理解“充分条件”与“必要条件”
BAAABACBBCC
③④②①
视“开关A的闭合”为条件p,“灯泡B亮”为结论q,则
图①中,条件p是结论q的 条件. 充分不必要条件图②中,条件p是结论q的 条件. 必要不充分条件图③中,条件p是结论q的 条件. 充要条件
图④中,条件p是结论q的 条件. 不充分不必要条件
从集合间的包含关系理解“充分条件”与“必要条件”
设条件p对应集合A,条件q对应集合B,即p:
A?
{x|p(x)},q:
B?
{x|q(x)}.①若A?
B,则p是q的充分条件,若A?
B,则p是q的充分不必要条件.
?
事实上,若有x?
A,∵A?
B,可得x?
B,即p?
q,∴p是q的充分条件.若有x?
A,∵A?
B,可得x?
B,p?
q且p?
?
q,∴p是q的充分不必要条件.
?
②若B?
A,则p是q的必要条件,若B?
A,则p是q的必要不充分条件.
?
事实上,若有x?
A,∵A?
B,可得x?
B,即p?
q,∴q是p的必要条件.若有x?
A,∵A?
B,可得x?
B,p?
q且p?
?
q,∴p是q的必要不充分条件.
?
③若A?
B,则p与q互为充要条件.
事实上,若有x?
A,∵A?
B,可得x?
B,即p?
q,若有x?
B,∵A?
B,可得x?
A,即q?
p,∴p、q互为充要条件.
④若A?
B且B?
A,则p是q的既不充分条件也不必要条件.
事实上,若有x?
A,∵A?
B,可得x?
B,即p?
?
q,同理p?
?
q,p是q的既不充分也不必要条件.
二、基本思想方法等价转化的思想
示例已知p:
|1?
x?
1|?
2,q:
x2?
2x?
1?
m2?
0(m?
0),若?
p是?
q的充分不必要条件,33
高三数学第一轮复习备考资料—集合与常用逻辑用语
求实数m的取值范围.
解:
|1?
x?
122|?
2得,A?
{x|?
2?
x?
10}.x?
2x?
1?
m?
0(m?
0)得,B?
{x|1?
m?
x?
1?
m,m?
0}.3∵q?
p,∴B?
A.
?
1?
m?
2,?
结合数轴有?
1?
m?
10, 解得0?
m?
3.
?
m?
0.?
点评与警示:
本题利用等价转化思想,把?
p?
?
q转化为q?
p,进一步转化为B是A的子集,然后利用数轴列出不等关系.
题型示例A.命题的判断、命题的真假判断
例判断下列语句哪些是命题?
若是命题,是真命题还是假命题?
空集是任何集合的真子集; 命题;假命题.三角函数是单调函数吗?
疑问句,不是命题.
空间里垂直于同一条直线的两条直线互相平行; 命题;假命题.x?
3;开句,不是命题.
若x?
R,则2x2?
x?
1?
0;命题;真命题.
若整数a是素数,则a是奇数;命题;假命题.(?
2)2?
?
2. 命题;假命题.
点评与警示:
构成命题的条件有两个,一个是陈述句,另一个是能判断真假.
B.命题的形式
例把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.周长相等的两个三角形面积相等;偶数能被2整除;
奇函数的图象关于原点对称; 同弧所对的圆周角不相等; 菱形对角线互相平分;
垂直于同一条直线的两条直线互相平行;负数的立方是负数; 对顶角相等.
解:
若两个三角形的周长相等,则这两个三角形面积相等.假命题.若一个数是偶数,则它能被2整除.真命题.
若一个函数是奇函数,则它的图象关于原点对称.真命题.若两个圆周角是同弧所对的圆周角,则它们不相等.假命题.若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相平分.真命题.若两条直线垂直于同一条直线,则这两条直线平行.真命题.若一个数是负数,则这个数的立方是负数.真命题.若两个角是对顶角,则这两个角相等. 真命题.选填②
4
高三数学第一轮复习备考资料—集合与常用逻辑用语
C.四种命题的概念
例把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.当x?
2时,x2?
3x?
2?
0; 对顶角相等;
等底等高的两三角形全等;
两边及夹角对应相等的两三角形全等.
解:
原命题:
若x?
2,则x2?
3x?
2?
0. 逆命题:
若x2?
3x?
2?
0,则x?
2.否命题:
若x?
2,则x2?
3x?
2?
0. 逆否命题:
若x2?
3x?
2?
0,则x?
2.原命题:
若两个角是对顶角,则它们相等. 逆命题:
若两个角相等,则它们是对顶角.否命题:
若两个角不是对顶角,则它们不相等. 逆否命题:
若两个角不相等,则它们不是对顶角.原命题:
若两个三角形的对应高和底分别相等,则这两个三角形全等.逆命题:
若两个三角形全等,则这两个三角形的对应高和底分别相等.否命题:
若两个三角形的对应高和底不都相等,则这两个三角形不全等.逆否命题:
若两个三角形不全等,则这两个三角形的对应高和底不都相等.原命题:
若两个三角形对应两边和夹角分别相等,则这两个三角形全等.逆命题:
若两个三角形全等,则这两个三角形的对应两边和夹角分别相等.否命题:
若两三角形的应边两对及夹角不都相等,则这两个三角形不全等.逆否命题:
若两个三角形不全等,则这两个三角形的对应两边及夹角不都相等.点评与警示:
正确叙述正面术语的否定形式,如“都”的否定应为“不都”而非“都不”.
D.四种命题之间的关系
例写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题,并判断它们的真假.垂直于平面?
内无数条直线的直线l垂直于平面?
;若q?
0,则方程x2?
x?
q?
0有实根;若x2?
y2?
0,则x?
y?
0;菱形对角线垂直且相等.
解:
原命题:
若直线l垂直于平面?
内无数条直线,则直线l垂直于平面?
. 假命题.逆命题:
若直线l垂直于平面?
,则直线l垂直于平面?
内无数条直线. 真命题.否命题:
若直线l不垂直于平面?
内无数条直线,则直线l不垂直于平面?
. 真命题.逆否命题:
若直线l不垂直于平面?
,则直线l不垂直于平面?
内无数条直线. 假命题.逆命题:
若方程x2?
x?
q?
0有实根,则q?
0. 假命题.否命题:
若q?
0,则方程x2?
x?
q?
0无实根. 假命题.逆否命题:
若方程x2?
x?
q?
0无实根,则q?
0. 假命题.逆命题:
若x?
y?
0,则x2?
y2?
0. 真命题.
否命题:
若x2?
y2?
0,则x,y中至少有一个不为0. 真命题.逆否命题:
若x,y中至少有一个不为0,则x2?
y2?
0. 真命题.逆命题:
对角线垂直且相等的四边形是菱形. 假命题.否命题:
不是菱形的四边形的对角线不垂直或不相等. 假命题.逆否命题:
对角线不垂直或不相等的四边形不是菱形. 假命题.
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高三数学第一轮复习备考资料—集合与常用逻辑用语
E.利用等价命题证明
例证明:
若x2?
y2?
0,则x?
y?
0.
分析:
将“若x2?
y2?
0,则x?
y?
0”视作原命题.要证原命题为真命题,去证它的逆否命题“若x,y中至少有一个不为0,则
x2?
y2?
0”为真命题.
证明:
若x,y中至少有一个不为0,不妨设x?
0,则x2?
0,∴x2?
y2?
0,即x2?
y2?
0.因此,原命题的逆否命题为真命题,从而原命题也为真命题.
F.充要条件的判定
例指出下列各组命题中,p是q的什么条件?
p:
a?
b?
2,q:
直线x?
y?
0与圆(x?
a)2?
(y?
b)2?
2相切.p:
|x|?
x,q:
x2?
x?
0.
设l,m均为直线,?
为平面,其中l?
?
,m?
?
,p:
l//?
,q:
l//m.设,?
,,?
,q:
,q:
tan?
?
tan?
.
?
22?
?
22?
△ABC中,内角A,B对边的长分别为a,b,p:
a?
b,q:
sinA?
sinB.
解:
充分不必要条件;充分不必要条件;必要不充分条件;充要条件;充要条件.
G.充分条件、必要条件求参数取值范围
2n?
3?
1已知条件p:
n条件q:
x2?
x?
a2?
a,且?
p是?
q的一个充分不必要条件,则a的?
0,
2?
2取值范围是
111A.[?
2,?
] B.{,2} C.[?
1,2] D.(?
2,]?
[2,?
?
)
222解:
不等式
?
(2x?
3?
1)(2x?
2)?
0,1?
2n?
3?
1等价于即?
2x?
2,解得?
3?
x?
1,∴条件p对应的取值集合M?
[?
3,2).?
0?
xn2?
2?
0,82?
2?
?
x2?
x?
a2?
a,得(x?
a)[x?
(a?
1)]?
0.当?
a?
a?
1,即a?
1时,解集为(?
a,a?
1),这时条件q对应的取值集合N?
(?
a,a?
1);21时,解集为?
,这时N?
?
;21时,解集为N?
(a?
1,?
a).2当?
a?
a?
1,即a?
当?
a?
a?
1,即a?
∵?
p是?
q的充分不必要条件,∴q是p的充分不必要条件,从而条件q对应的取值集合N是条件p对应的取值集合M的真子集.
当a?
1时,N?
(?
a,a?
1),N21时,N?
?
,显然有N2?
?
3?
?
a,1解得?
a?
2;M,得?
2?
1?
a?
1,当a?
M;
6
高三数学第一轮复习备考资料—集合与常用逻辑用语
当a?
1时,N?
(a?
1,?
a),N2?
?
3?
a?
1,1解得?
1?
a?
.M,得?
2?
1?
?
a,综上,a的取值范围是[?
1,2].答案:
C.
H.错解剖析
写出命题“若a?
b,c?
d,则a?
c?
b?
d”的否命题和逆否命题.否命题是:
.逆否命题是:
.
错解:
否命题:
已知a,b,c,d是实数,若a与b,c与d都不相等,则a?
c?
b?
d.逆否命题:
已知a,b,c,d是实数,若a?
c?
b?
d,则a与b,c与d都不相等.
错因分析:
事件“a?
b,c?
d”的正确否定应为:
①a与b、c与d不都相等;②a?
b或c?
d.正解:
否命题:
已知a,b,c,d是实数,若a?
b,c?
d中至少有一个不成立,则a?
c?
b?
d.逆否命题:
已知a,b,c,d是实数,若a?
c?
b?
d,则a?
b,c?
d中至少有一个不成立.
M.方法规律探究四种条件的判定方法.
定义推断法:
分别去判断p?
q和q?
p是否成立,然后形成结论.
原、逆命题推断法:
原真逆假?
条件为:
充分不必要; 原假逆真?
条件为:
必要不充分;原真逆真?
条件条件为:
充要; 原假逆假?
条件为:
不充分不必要.
逆否命题判别法:
判断命题?
p?
?
q的真假,改为判断其逆否命题q?
p的真假.集合推断法:
具体内容见前面.
传递法:
即p1?
p2?
p3pn,得p1?
pn.
课堂练习一、选择题
1.下列语句不是命题的有 ①x2?
3?
0;
②与一条直线相交的两直线平行吗?
③3?
1?
5; ④5x?
3?
6.
A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④
解:
①开句,不是命题.②疑问句,不是命题.③陈述句,并能判断为假,是命题,假命题.④开句,不是命题.答案:
C.
2.若M,N是两个集合,则下列命题中的真命题是
A.如果M?
N,那么M?
N?
M B.如果M?
N?
N,那么M?
NC.如果M?
N,那么M?
N?
M D.如果M?
N?
N,那么N?
M
答案:
A.
3.有下列四个命题:
①“若x?
y?
0,则x,y互为相反数”的逆命题;②“若a?
b,则a2?
b2”的逆否命题; ③“若x?
?
3,则x2?
x?
6?
0”的否命题;
7
高三数学第一轮复习备考资料—集合与常用逻辑用语
④“若ab是无理数,则a,b是无理数”的逆命题;
其中真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3
解:
①逆命题为:
x,y互为相反数,则x?
y?
0. 真命题.②逆否命题为:
若a2?
b2,则a?
b. 假命题.
③否命题为:
若x?
?
3,则x2?
x?
6?
0.假命题.④逆命题为:
若a,b是无理数,则ab是无理数. 假命题.答案:
B.
二、判断题
4.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.等边三角形的三个内角相等;
当a?
0时,函数y?
ax?
b的值随x值的增加而增加.
解:
若一个三角形是等边三角形,则它的三个内角相等.真命题.当a?
0时,若x的值增加,则函数y?
ax?
b的值也增加,真命题.
5.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.矩形的对角线相等;
线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;能被6整除的数既能被3整除也能被2整除;实数的平方是非负数.
解:
若一个四边形式矩形,则其对角线相等.真命题.
若一个点在线段的垂直平分线上,则它到线段两端点距离相等.真命题.若一个能被6整除,则它既能被3整除也能被2整除.真命题.若一个为实数,则这个数的平方为非负数.真命题.
6.给出以下命题,判断p是q的什么条件?
p:
A?
B,q:
sinA?
sinB;p:
x?
2且y?
3,q:
x?
y?
5;p:
正方形,q:
菱形;p:
a?
b,q:
11?
.ab解:
充分不必要条件;充分不必要条件;充分不必要条件;不充分不必要条件.
二、解答题
7.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出它们的否命题与和逆否命题.ac?
bc?
a?
b;
1当m?
?
时,mx2?
x?
1?
0无实根.
4解:
若ac?
bc,则a?
b. 否命题:
若ac?
bc,则ca?
b. 逆否命题:
若a?
b,则ac?
bc.若m?
?
,则方程mx2?
x?
1?
0无实根. 否命题:
若m?
?
,则方程mx2?
x?
1?
0有实根.
1414逆否命题:
若方程mx2?
x?
1?
0有实根,则m?
?
.
148.有下列四个命题:
①“若x?
y?
0,则x,y互为相反数”的逆命题;②“若a?
b,则a2?
b2”的逆否命题;
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高三数学第一轮复习备考资料—集合与常用逻辑用语
③“若x?
?
3,则x2?
x?
6?
0”的否命题;
④“若ab是无理数,则a,b是无理数”的逆命题;
其中真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3
解:
①逆命题为:
x,y互为相反数,则x?
y?
0.真命题.②逆否命题为:
若a2?
b2,则a?
b. 假命题.
③否命题为:
若x?
?
3,则x2?
x?
6?
0.假命题.④逆命题为:
若a,b是无理数,则ab是无理数. 假命题.答案:
B.
9.写出下列命题“若m?
0且n?
0,则m?
n?
0”的逆命题、否命题与逆否命题,并判断它们的真假.
解:
逆命题:
若m?
n?
0,则m?
0且n?
0.假命题.否命题:
若m?
0或n?
0,则m?
n?
0.假命题.逆否命题:
若m?
n?
0,则m?
0或n?
0.真命题.
10.求证:
若一个三角形的两条边不相等,则这两条边所对的角也不相等.
分析:
将“若一个三角形的两条边不相等,则这两条边所对的角也不相等”视为原命题.要证原命题为真命题,去证它的逆否命题“若一个三角形两条边所对的角相等,则这两条边相等”为真命题.
证明:
若一个三角形两条边所对的角相等,则这两条边相等.因此,原命题的逆否命题为真命题,从而原命题也为真命题.
11.证明:
若a2?
b2?
2a?
4b?
3?
0,则a?
b?
1.
分析:
将“若a2?
b2?
2a?
4b?
3?
0,则a?
b?
1”视为原命题.要证原命题为真命题,去证它的逆否命题“若a?
b?
1,则
a2?
b2?
2a?
4b?
3?
0”为真命题.
证明:
若a?
b?
1,则a?
b?
1,∴a2?
b2?
2a?
4b?
3?
(b?
1)2?
b2?
2(b?
1)?
4b?
3?
2b?
1?
2b?
2?
4b?
3?
0,即a2?
b2?
2a?
4b?
3?
0.
因此,原命题的逆否命题为真命题,从而原命题也为真命题.
b)0?
,12.已知奇函数f(x)是定义在R上的增函数,a,b?
R,若f(a)?
f(求证:
a?
b?
0.
分析:
将“若f(a)?
f(b)?
0,则a?
b?
0”视为原命题.要证原命题为真命题,去证它的逆否命题“若a?
b?
0,则f(a)?
f(b)0?
”为真命题.
证明:
“若a?
b?
0,a?
?
b.∵f(x)为R上的增函数,∴f(a)?
f(?
b),又知f(x)为奇函数,∴f(a)?
?
f(b),即f(a)?
f(b)?
0.因此,原命题的逆否命题为真命题,从而原命题也为真命题.
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命题