培优导学计划高中数学 必修3 苏教版 第二章 统计 231.docx
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培优导学计划高中数学必修3苏教版第二章统计231
§2.3 总体特征数的估计
2．3.1 平均数及其估计
学习目标
1.了解平均数为什么是“最理想”的近似值.2.会计算一组数据的平均数.3.会根据频率分布表或频率分布直方图估计平均数．
知识点一 平均数
思考 处理实验数据的原则是使近似值与实验数据越接近越好．但是实验数据往往很多，怎么刻画“最近”呢？
答案 设近似值为x，实验数据为ai（i＝1,2，…，n），因为x－ai有正有负，故用（x－a1）2＋（x－a2）2＋…＋（x－an）2来刻画近似值与实验数据最接近．
梳理
（1）一般地，使（x－a1）2＋（x－a2）2＋…＋（x－an）2＝nx2－2（a1＋a2＋…＋an）x＋a
＋a
＋…＋a
，最小的x＝
称为这个n个数据a1，a2，…，an的平均数或均值．
（2）n个数据a1，a2，a3，…，an的平均数
＝
.
知识点二 平均数的估计
思考 在频率分布表里，还能看到原始数据吗？
怎样根据频率分布表计算平均数？
答案 在频率分布表里，已看不到原始数据，但可用各区间的组中值近似地表示．
梳理 一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其平均数为
＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
知识点三 总体特征数
1．总体特征数的定义
在数学中，通常把能反映总体某种特征的量称为总体特征数．
2．常见的总体特征数
（1）众数：
一组数据中出现次数最多的数．
（2）中位数：
一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数．如果数据的个数是偶数，则取中间两个数的平均数．
（3）平均数：
n个数据x1，x2，x3，…，xn，则平均数
＝
.
1．中位数是一组数据中间的数．（ × ）
2．众数是一组数据中出现次数最多的数．（ √ ）
3．如果在n个数据中，x1，x2，…，xn出现的频率分别为f1，f2，…，fn，则
＝
.（ × ）
类型一 平均数的计算
例1 一个球队所有队员的身高如下（单位：
cm）：
178,179,181,182,176,183,176,180,183,175,181,185,180,184，问这个球队的队员平均身高是多少？
（精确到1cm）
解 方法一 利用平均数的公式计算．
＝
×（178＋179＋181＋…＋180＋184）
＝
×2523≈180（cm）．
方法二 取a＝180，将上面各数据同时减去180，得到一组新数据：
－2，－1,1,2，－4,3，－4,0,3，－5,1,5,0,4.
′＝
×（－2－1＋1＋2－4＋3－4＋0＋3－5＋1＋5＋0＋4）＝
×3＝
≈0.2，
∴
＝
′＋a＝0.2＋180≈180（cm）．
反思与感悟
（1）在一般情况下，要计算一组数据的平均数可使用“方法一”这个公式．
（2）当数据较大，且大部分数据在某一常数左、右波动时，“方法二”可以减少运算量，故此法比较简便．
跟踪训练1 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：
成绩（单位：
m）
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
1.85
1.90
人数
2
3
2
3
4
1
1
1
求这些运动员成绩的平均数．
解 平均数是
＝
（1.50×2＋1.60×3＋1.65×2＋1.70×3＋1.75×4＋1.80×1＋1.85×1＋1.90×1）＝
≈1.69（m）．
类型二 利用频率分布表或直方图估计平均数
例2 下面是某校学生日睡眠时间（单位：
h）的抽样频率分布表，试估计该校学生的日平均睡眠时间.
睡眠时间
人数
频率
[6,6.5）
5
0.05
[6.5,7）
17
0.17
[7,7.5）
33
0.33
[7.5,8）
37
0.37
[8,8.5）
6
0.06
[8.5,9]
2
0.02
合计
100
1
解 方法一 总睡眠时间约为6.25×5＋6.75×17＋7.25×33＋7.75×37＋8.25×6＋8.75×2＝739（h）．
故平均睡眠时间约为7.39h.
方法二 求组中值与对应频率之积的和．
6．25×0.05＋6.75×0.17＋7.25×0.33＋7.75×0.37＋8.25×0.06＋8.75×0.02＝7.39（h）．
答 估计该校学生的日平均睡眠时间约为7.39h.
反思与感悟 一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其平均数为x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
跟踪训练2 一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，球的直径频率分布直方图如图．试估计这个样本的平均数．
解 平均数为39.96×0.1＋39.98×0.2＋40×0.5＋40.02×0.2＝39.996.
类型三 众数、中位数、平均数的简单应用
例3 某公司的33名职工的月工资（单位：
元）如下表：
职位
董事长
副董事长
董事
总经理
经理
管理员
职员
人数
1
1
2
1
5
3
20
工资
5500
5000
3500
3000
2500
2000
1500
（1）求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；
（2）若董事长、副董事长的工资分别从5500元、5000元提升到30000元、20000元，那么公司职工的月工资的新的平均数、中位数和众数又是什么？
（3）你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的工资水平？
解
（1）公司职工月工资的平均数为
＝
＝
≈2091（元）．
若把所有数据从大到小排序，则得到中位数是1500元，众数是1500元．
（2）若董事长、副董事长的工资提升后，职工月工资的平均数为
＝
＝
≈3288（元）．
中位数是1500元，众数是1500元．
（3）在这个问题中，中位数和众数都能反映出这个公司职工的工资水平，因为公司少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司职工的工资水平．
反思与感悟 如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中极端数据的信息，帮助我们作出决策．
跟踪训练3 今年西南一地区遭遇严重干旱，某乡计划向上级申请支援，为上报需水量，乡长事先抽样调查了100户村民的月均用水量，得到这100户村民月均用水量的频率分布表如表所示：
（月均用水量的单位：
吨）
月均用水量分组
频数
频率
[0.5,2.5）
12
[2.5,4.5）
[4.5,6.5）
40
[6.5,8.5）
0.18
[8.5,10.5]
6
合计
100
1
（1）请完成该频率分布表，并画出相对应的频率分布直方图和频率分布折线图；
（2）估计样本的中位数是多少？
（3）已知上级将按每户月均用水量向该乡调水，若该乡共有1200户，请估计上级支援该乡的月调水量是多少吨？
解
（1）频率分布表与相应的频率分布直方图和频率分布折线图如下：
月均用水量分组
频数
频率
[0.5,2.5）
12
0.12
[2.5,4.5）
24
0.24
[4.5,6.5）
40
0.40
[6.5,8.5）
18
0.18
[8.5,10.5]
6
0.06
合计
100
1
（2）设中位数为x，因为月均用水量在[0.5,4.5）内的频率是（0.06＋0.12）×2＝0.36，月均用水量在[0.5,6.5）内的频率是（0.06＋0.12＋0.20）×2＝0.76，
所以x∈[4.5,6.5），则（x－4.5）×0.20＝0.5－0.36，
解得x＝5.2.
故样本的中位数是5.2.
（3）该乡每户月均用水量估计为
1．5×0.12＋3.5×0.24＋5.5×0.40＋7.5×0.18＋9.5×0.06＝5.14（吨）．
5．14×1200＝6168（吨）．
所以估计上级支援该乡的月调水量是6168吨．
1．下列说法错误的是________．（填序号）
①在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体；
②一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据；
③平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势；
④众数是一组数据中出现次数最多的数．
答案 ②
解析 平均数不大于最大值，不小于最小值．
2．下面是高一八班十位同学的数学测试成绩：
82,91,73,84,98,99,101,118,98,110，则该组数据的中位数是________．
答案 98
解析 将这组数据按从小到大排列为73,82,84,91,98,98,99,101,110,118，则最中间的两个数为98,98，故中位数是
（98＋98）＝98.
3．一个样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，则x为________．
答案 21
解析 数据个数为偶数时，中位数为中间两数的平均值
＝22，所以x＝21.
4．某高校有甲，乙两个数学建模兴趣班，其中甲班40人，乙班50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是______分．
答案 85
解析 平均成绩为
＝85（分）．
5．样本容量为100的频率分布直方图如图所示，根据样本频率分布直方图，则平均数为________．
答案 14.84
解析 平均数
＝10×0.06＋12×0.1＋14×0.4＋16×0.24＋18×0.2＝14.84.
1．能反映总体某种特征的量称为总体特征数，如平均数，中位数，使总体特征数通常难以获得，故常以样本特征数估计总体特征数．
2．平均数是离差的平方和最小的近似值，计算器、计算机均有专门的程序，手工计算要细致，不要漏加或重复．
3．若数据xi的频率为pi（i＝1,2，…，n），则
＝
ipi，该值公式可以用在频率分布表中估计平均数．
一、填空题
1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数为________．
答案 87
解析 平均数是
×（100＋95＋2×90＋4×85＋80＋75）＝87.
∴平均数是87.
2．已知一组数据为－3,5,7，x,11，且这组数据的众数为5，那么数据的中位数是________．
答案 5
解析 这组数据的众数为5，则5出现的次数最多，所以x＝5，那么这组数据从小到大排列为－3,5,5,7,11，则中位数为5.
3．已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则a，b，c的大小关系为________．
答案 c>b>a
解析 由题意a＝
（16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13）＝
＝15.7，
中位数为16，众数为18，即b＝16，c＝18，
所以c>b>a.
4．某台机床加工的1000只产品中次品数的频率分布如下表：
次品数
0
1
2
3
4
频率
0.5
0.2
0.05
0.2
0.05
则次品数的众数，平均数依次为________．
答案 0,1.1
解析 由于次品数为0的频率最大，所以众数为0；数据xi出现的频率为pi（i＝1,2，…，n），则x1，x2，…，xn的平均数为x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝0×0.5＋1×0.2＋2×0.05＋3×0.2＋4×0.05＝1.1.
5．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为________．
答案 －3
解析 少输入90，
＝3，平均数少3，求出的平均数减去实际的平均数等于－3.
6．有容量为100的样本，数据分组及各组的频数、频率如下：
[12.5,14.5），6,0.06；[14.5,16.5），16,0.16；[16.5，18.5），18,0.18；[18.5,20.5），22,0.22；[20.5,22.5），20,0.20；[22.5,24.5），10,0.10；[24.5,26.5），8,0.08.则估计总体的平均数为________．
答案 19.42
解析 由于每组数据是一个范围，所以可以用组中值近似地表示平均数．
方法一 总体的平均数约为
（13.5×6＋15.5×16＋17.5×18＋19.5×22＋21.5×20＋23.5×10＋25.5×8）＝19.42.
故总体的平均数约为19.42.
方法二 组中值与对应频率积的和为13.5×0.06＋15.5×0.16＋17.5×0.18＋19.5×0.22＋21.5×0.20＋23.5×0.10＋25.5×0.08＝19.42.
故总体的平均数约为19.42.
7．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.40,0.15,0.10,0.05.
则估计高一参赛学生的成绩的众数、中位数分别为________，________.
答案 65 65
解析 由图可知众数为65，
又∵第一个小矩形的面积为0.3，
∴设中位数为60＋x，
则0.3＋x×0.04＝0.5，得x＝5，
∴中位数为60＋5＝65.
8．已知样本数据x1，x2，…，x10，其中x1，x2，x3的平均数为a，x4，x5，x6，…，x10的平均数为b，则样本数据的平均数为________．
答案
解析 前3个数据的和为3a，后7个数据的和为7b，样本平均数为10个数据的和除以10.
9．某商店的大米价格是3.00元/千克，面粉价格是3.60元/千克，大米与面粉的销量分别是1000千克，500千克，则该商店出售的粮食的平均价格是______元/千克．
答案 3.20
解析 平均价格为
（3.60×500＋3.00×1000）＝1.20＋2.00＝3.20（元/千克）．
10．若有一个企业，70%的员工年收入1万，25%的员工年收入3万，5%的员工年收入11万，则该企业员工的年收入的平均数是________万，中位数是________万，众数是________万．
答案 2 1 1
解析 年收入的平均数是1×70%＋3×25%＋11×5%＝2（万）．中位数与众数都是1万．
11．某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h，1020h，1032h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为________h.
答案 1013
解析 依题意可知平均数
＝
＝1013（h）．
二、解答题
12．某地区全体九年级的3000名学生参加了一次科学测试，为了估计学生的成绩，从不同学校的不同程度的学生中抽取了100名学生的成绩如下：
100分12人，90分30人，80分18人，70分24人，60分12人，50分4人．
请根据以上数据估计该地区3000名学生的平均分、合格率（60或60分以上均属合格）．
解 平均分为
＝79.40（分），
（12＋30＋18＋24＋12）÷100＝96%，
所以样本的平均分是79.40分，合格率是96%，由此来估计总体3000名学生的平均分是79.40分，合格率是96%.
13．为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：
h），试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2
3．5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1
2．3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3
1．4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2
2．7 0.5
（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
（2）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
解
（1）
A＝
（0.6＋1.2＋2.7＋1.5＋2.8＋1.8＋2.2＋2.3＋3.2＋3.5＋2.5＋2.6＋1.2＋2.7＋1.5＋2.9＋3.0＋3.1＋2.3＋2.4）＝2.3（h）．
B＝
（3.2＋1.7＋1.9＋0.8＋0.9＋2.4＋1.2＋2.6＋1.3＋1.4＋1.6＋0.5＋1.8＋0.6＋2.1＋1.1＋2.5＋1.2＋2.7＋0.5）＝1.6（h）．
从计算结果看，A药服用者的睡眠时间增加的平均数大于服用B药的，所以A药的疗效更好．
（2）
从茎叶图看，A药的疗效更好．
三、探究与拓展
14．某班有四个学习小组，各小组人数分别为10,10，x,8，已知这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数．
解 该组数据的平均数为
（10＋10＋x＋8）＝
（28＋x），中位数是这4个数按从小到大的顺序排列后处在最中间两个数的平均数．
（1）当x≤8时，原数据从小到大排序为x,8,10,10，中位数是9，由
（28＋x）＝9，得x＝8，符合题意，此时中位数是9；
（2）当8＜x≤10时，原数据从小到大排序为8，x,10,10，中位数是
（x＋10），由
（28＋x）＝
（10＋x），得x＝8，与8＜x≤10矛盾，舍去；
（3）当x＞10时，原数据从小到大排序为8,10,10，x，中位数是10，由
（28＋x）＝10，得x＝12，符合题意，此时中位数是10.
综上所述，这组数据的中位数是9或10.
15．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：
吨），将数据按照[0,0.5），[0.5,1）…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中a的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；
（3）估计居民月均用水量的中位数．
解
（1）由频率分布直方图，可知：
月均用水量在[0,0.5）的频率为0.08×0.5＝0.04.
同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.
由1－（0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02）
＝0.5×a＋0.5×a，
解得a＝0.30.
（2）由
（1）知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12＝36000.
（3）设中位数为x吨．
因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5.
而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5.
所以2≤x<2.5.
由0.50×（x－2）＝0.5－0.48，解得x＝2.04.
故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．
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