冬季学期微积分project.docx

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冬季学期微积分project

2013-2014冬学期微积分

（2）-Projects1

杜一凡

13124167

1.用Mathematical软件计算下列不定积分和定积分。

1）∫（x^5）*cos（x^3）dx=Cos[x^3]/3+1/3x^3Sin[x^3]

2）∫1/（a^2+x^2）^4dx=（33a5x+40a3x3+15ax5+15（a^2+x^2）3ArcTan[x/a]）/（48a7（a^2+x^2）3）

3）∫（Sin[x]）^10dx=（63x）/256-105/512Sin[2x]+15/256Sin[4x]-（15Sin[6x]）/1024+（5Sin[8x]）/2048-Sin[10x]/5120

4）∫1/[（x+1）^2*（x-1）^4]^（1/3）dx=-（（3（-1+x）（1+x））/（2（（-1+x）^4（1+x）^2）1/3））

5）

=-6（21/6（120-2021/3+22/3）Cos[21/6]-5（24-1221/3+22/3）Sin[21/6]）

6）

=1/8Log[2]

2.用mathematical软件作出下列曲面的图形。

1）z=3x^2-5y^2

2）8x^2+15y^2+5z^2=100

3）z2=x2+4y2

4）z=y2+xy

5）z=Sin[x]+Sin[y]

6）z=（Sin[x]*Sin[y]）/（x*y）

3.利用mathematical软件做出下列曲线的图形

1）

x=（4+sin20t）cost,

环面螺线

y=（4+sin20t）sint,

z=cos20t;

2）

x=（2+cos3/2t）cost

三叶线

y=（2+cos3/2t）sint

z=cos3/2t

4.用mathematical软件做出曲面z=x^2+y^2和z=1-y^2（-1.2<=x<=1.2且-1.2<=y<=1.2），观察这两个曲面的交线，并证明此交线在xoy上的投影是一个椭圆。

XoY投影：

证明：

x^2+y^2=z和z=1-y^2有交线，所以x^2+y^=1-y^2移项后得到x^2+2*y^2=1是一个椭圆形的曲线方程，因此交线在xoy的投影为椭圆。

5.用mathematical软件做出曲面z=x^2+y^2+kxy的图形，特别注意确定k的这样一些值，当k经过这些值时，曲面从一种类型的二次曲面变成另一种类型的二次曲面。

答：

当K=0时经过该值，曲面从一种类型变成另一种类型。

K=0；

K>0

K<0

6.利用计算机做出下列二元函数的图形及他们的等值线图

1）f[x,y]=-xy*

二元函数图形：

等值线图：

2）f[x,y]=（-3y）/（x2+y2+1）

二元函数图：

等值线图：

3）f[x,y]=Sin

二元函数图：

等值线图：

7.设f（x,y）=x^3+x^2y^3−2y^2,求出fx,fy,fxy,fxxfyy,并利用计算机做出五个函数的图形，从图形上观察出偏导数的几何意义。

原函数f（x，y）=x3+x2y3-2y2

D[x3+x2y3-2y2,x]=3x2+2xy3

D[x3+x2y3-2y2,y]=-4y+3x2y2

D[x3+x2y3-2y2,x,y]=6xy2

D[x3+x2y3-2y2,x,x]=6x+2y3

D[x3+x2y3-2y2,y,y]=-4+6x2y

偏导数的几何意义：

偏导数fx是原函数f（x,y）将y固定后对x进行求导，即在原函数图像上做y=y0的平面，使与原函数有交线，该交线在x0z平面内的，fx即是对xoz平面内的该曲线进行求导，fx是该曲线在各点所作切线与x轴夹角的正切值即各切线的斜率所构成的函数。

同时不同的y0，对fx也有影响。

因此fx同时由x，y所影响，所构成的是一个曲面。

同理fy也是如此。

而fxy是又对fx进行对y的求导。

固定x于x0，使fx曲面与平面x=x0有交线，该交线处于y0z平面内，对y进行求导，所得的fxy就是yoz平面内曲线各点切线斜率所构成的函数。

同理，fxx是对fx再进行对x求偏导，fyy是对fy再进行对y的求偏导。

8.在同一平面上显示下列曲面、曲面在指定点处的切平面和发现，注意选取适当的视角以清楚地显示这些图

1）z=2x^2+y^2,点（1,1,3）

2）xyz=6，点（1,2,3）

3）z=x^3+2xy,点（1,2,5）

个人总结与体会：

此次project要求我们运用mathematical软件完成。

不仅教会我们如何运用这个软件，更重要的事我们通过这个软件更形象地理解多元函数的几何意义，使平时抽象地多元函数如今更加具体地展现在我们的面前。

方便了我们理解许多书本上的定理，而且便于我们日后在做题的同时脑海中形成立体的图形。

这次project不仅锻炼了我们对软件处理的动手行为能力更重要的是锻炼我们的思维能力。

这8道题目给予了我不同的体会。

第一道题计算6个不定积分或定积分，这6道小题都是含有次方、根号的，一般情况下难以通过手算很快算出结果。

借助mathematical软件，我们方便快捷地计算出了这6道小题的答案，由此给我的体会是mathematical更便于计算，给我们带来了方便。

第二道题要求用mathematical软件做6个函数的曲面。

这6个函数都是二元函数，有些是二次函数，所以若是仅仅依靠大脑抽象和用笔纸绘制，难以将整个曲面表现出来。

运用了mathematical软件将这些平日里难以表现出来的曲面表现了出来，方便了我们对这一类函数的理解，使我们对其有了更深的印象。

第三道题要求我们用mathematical绘制两类曲线图形，环面螺线和三叶线。

这两类图形从函数形式中就可以看出极为复杂，由于都含有三角函数，可见这两个函数都是周期函数，但是是以参数形式变现x，y，z的由于存在三个变量，因此又是难以简单构成的立体图形，因此通过mathematical软件是这两种图形更具体地展现在了我们的面前，方便了我们对两类图形的研究。

环面螺线是一圈圈的螺线形成一个环面，因此有了环面螺线这一名称。

三叶线则是形成了如三片叶子般的立体图形，因此叫三叶线。

第四道题要求我们观察两曲面的交线。

虽然这两个曲面极为简单，可以很容易地求得他们的交线的方程。

但是却给了我们一种思维，倘若是两个极为复杂的曲面交线在某个面上的投影，我们可以利用mathematical软件从不同角度观察，从而形象地得出交线投影的图形名称。

虽然仅靠肉眼观察不太科学，但我们还是可以通过mathematical软件更加精确地展现交线的特征。

第五道题利用mathematical软件确定k从某种类型的曲面变到另一种类型k的值。

由此可以看出利用mathematical软件可以方便我们观察函数中某一值变化对函数的影响，对曲面图形类型的影响。

由此可以看出函数所形成的曲面类型还与变量前的系数有关。

第六道题利用mathematical软件做出一些函数的图形和等值线。

等值线类似于地理中的等高线。

等值线通过颜色深浅表现数值变化趋势。

由此我们可以通过等值线图观察函数的变化趋势和离散程度。

也可以通过等值线方便了解这些函数的特征。

第七道题通过绘制某函数的一阶偏导和二阶偏导的图形，从图形了解其的几何意义。

这也是mathematical软件的作用所在，通过将函数形象化，方便我们对书本上的那些定理进行理解。

对偏导数的几何意义的理解方便了我们对定义法求偏导的理解，使其更深刻地印在我们的脑海中。

第八道题将曲面和曲面所指定的切平面及其法线放置于同一图形中。

展现了切平面是如何和曲面相切，切平面只在指定点一定的领域范围内与曲面有且只有一个角点，但并不表示切平面与曲面毫无交点。

而法线则是与切平面垂直的一条线，也同样与曲面不一定只有一个交点，但是与切平面交线只有一个。

此外，当点固定后切平面与法线唯一。

相信mathematical软件不仅仅只用于数学的计算和分析，在生活中我们也可以运用mathematical软件将那些抽象难以在我们脑海中直接形成的图形，形象地展示给我们，方便我们的认识与理解。